P 150: Am liebsten harmonisch!

 27. Wie kann man eine Schwingung beschreiben?

27.1 Harmonische Schwingungen

Wenn man eine Kreisbewegung von der Seite ansieht, erkennt man nur ein Hin- und her...eine Schwingung.

Fachlicher ausgedrückt: Die Projektion einer Kreisbewegung ist eine Schwingung.

In diesem Video ist das wunderbar für eine Federschwingung zu sehen (das Justieren und Abstimmen muss Stunden gedauert haben...):

Aber umgekehrt gilt das nicht: Es gibt Schwingungen, die man nicht als Projektion einer Kreisbewegung darstellen kann (z.B. die Dreiecksschwingung).

Das Weg-Zeit-Diagramm der Projektion einer (gleichförmigen) Kreisbewegung ist eine Sinuskurve. Und solche Schwingungen, also die Sinus-Schwingungen, nennt man auch harmonisch.

 Bild aus leifiphysik

Hier ist r der Kreisradius und y(t) die Auslenkung. Die gelben Pfeile markieren die Projektionsrichtung.

Harmonische Schwingungen sind besonders wichtig, aber auch einfach zu beschreiben: Bei ihnen ist die rücktreibende Kraft immer proportional zur Auslenkung.

Blick einmal zurück: Wann sind Pendelschwingungen harmonisch?

--- Nur bei kleinen Auslenkungen, wenn der Unterschied zwischen dem Bogen und der seitlichen Auslenkung vernachlässigbar ist, also x in etwa so lange ist wie s. Nur der Auslenkungsbogen s und der Auslenkungswinkel φ sind zueinander proportional: s/(2π l) = φ/(2π), hierbei ist der Winkel  φ im Bogenmaß angegeben (2π entspricht dann 360°).

Durch Kürzen erhält man: s = φ * l

l ist also als Pendellänge die Proportionalitätskonstante, wenn man φ im Bogenmaß angibt.

Übrigens: Ganz entsprechende Formeln hatten wir bei der Einführung der Kreisbewegung: s = φ*r).

Federschwingungen sind, so lange die Feder nicht überdehnt wird, immer harmonisch. Und hier kennen wir auch die Federkraft als rücktreibende Kraft: F = D * s  (D: Federkonstante, Hookesches Gesetz).

Also: Das Hookesche Gesetz sorgt für eine harmonische Federschwingung.

In Mathematik hattet ihr eigentlich alles zu diesem Thema. Denn über Kreise habt ihr die Sinusfunktionen für den Winkelbereich bis 360° eingeführt. Nur hat sich da nichts bewegt...und es gab auch keine Verbindung zur physikalischen Welt.

Deshalb wiederholen wir das im nächsten Post nochmal.

P 149: Die gute und die schlechte Seite

 26.4 Positive und negative Rückkopplungen

 Negative Rückkopplungen

Fangen wir mit dem Guten an...

Von negativer Rückkopplung spricht man, wenn die Rückkopplung zu einer Abschwächung der Eigenschaften führt.

Technische ausgereifte Systeme nutzen regelnde Rückkopplungen:

Das System misst die Abweichung eines Istwertes von einem Sollwert und steuert der Abweichung entgegen. Dadurch wird der Sollzustand stabilisiert. Der Rückkopplungskreis wird dann auch Regelkreis genannt. Lebewesen sind solche Systeme, denn zur Aufrechterhaltung der Körperfunktionen müssen bestimmte Eigenschaften stabil gehalten werden: Wenn der Körper zu überhitzen droht, dann schwitzen wir oder hecheln mit der Zunge, wenn wir bellen können...

Friert der Körper, dann erzeugen die Muskeln Zitterbewegungen zur Erwärmung.

Unerwünscht sind oft positive Rückkopplungen, denn sie führen letztlich zu einem Aufschaukeln, zu einer unerwünschten, oft unbegrenzten, Verstärkung. Diesen Effekt kennen wir z.B. bei der Kombination eines Mikrophons mit  einem Lautsprecher.

Kritisch sind positive Rückkopplungen auch  beim Klima auf der Erde:

Steigt die Temperatur, so tauen Permafrostböden auf. Dadurch entweicht das Treibhausgas Methan, dass zu einer weiteren Temperaturerhöhung führt...usw...

Das wärmere Meer kann auch weniger Kohlendioxid speichern, so dass auch hier die Erwärmung verstärkt wird.

Eiszeiten entstehen durch Vereisungen, die mehr Sonnenlicht reflektieren und dadurch eine weitere Abkühlung erzeugen.

Umgekehrt schmilzt Eis bei der Erwärmung wird weniger Sonnenlicht reflektiert und die Erwärmung wird verstärkt.

Solche positiven Rückkopplungen führen zu Kipppunkten im Klimasystem. Sind diese überschritten, ist eine Rückkehr in einen früheren Zustand nahezu ausgeschlossen.

Die Menschheit ist nicht weit von solchen Kipppunkten entfernt...recherchiert hier einmal!

Positive und negative Rückkopplungen liegen dicht beieinander (Respiration: Atmung):

Hamburgerbildungsserver

P 148: Die Globalisierung beginnt

26.3 Die erste Globalisierung

Rückkopplungsprozesse stabilisieren nicht nur Schwingungen, sondern können auch Strukturen erzeugen:  Sie  sind wesentlich bei der Entwicklung von sog. dynamischen Systemen. Durch sie bilden sich Strukturen und Muster. Durch die Rückkopplung der Aktivität der Gehirnneuronen auf das Gehirn selbst (nach ca. 3 „Takten“ ist ein Signal eines Neurons wieder beim gleichen Neuron angekommen, 99,9% der Eingangssignale von Gehirnneuronen stammen von anderen Gehirnneuronen, nur die restlichen 0,1% sind Sinneseindrücke) entsteht die Selbstwahrnehmung des Gehirnes, die wir Bewusstsein nennen.

Die Entdämpfung von Pendelschwingungen durch Rückkopplung hat auch zur ersten Globalisierung geführt:

Um auf dem Seeweg andere Länder/Kontinente (wieder) zu finden, muss man navigieren können. Die geographische Breite lässt sich mit für die damalige Zeit ausreichender Genauigkeit über die Höhe des Polarsternes über dem  Horizont bestimmen. Die geographische Länge erhält man nur über den Zeitvergleich zwischen dem täglichen Höchststand der Sonne beim Schiff und auf einer Landstation mit bekannter Breite. Da es damals noch kein Funk gab, musste man eine Uhr an Bord haben, die die entsprechende Sonnenzeit der Landstation anzeigte.

Frage: Welchen Längenunterschied gibt es, wenn auf dem Schiff zur Zeit des Sonnenhöchststandes die Pendeluhr für die Hafenzeit 11.00 Uhr anzeigt?

Denke daran: 360° Längenunterschied (einmal um die Erde herum) entsprechen 24 Stunden.

Vor 1759 lief Navigieren etwa so ab:

- Segel so lange nach Norden oder Süden, bis Du die gewünschte geographische Breite erreicht hast. Ist das Wetter mehrere Tage schlecht, musst Du eventuell zurücksegeln.

- Dann überleg Dir, ob Du nach rechts oder links abbiegen willst. Hast Du keine Informationen, dann wirf eine Münze.

- Nun segel auf gleicher Breite weiter, bis Du ankommst oder auch nicht....

Die Entdämpfung der Pendeluhrschwingungen ermöglichte also endlich eine Längenmessung und damit den globalen Schiffsverkehr: die Kolonialisierung der Welt (nicht immer zum Vorteil für die betroffenen Völker!)begann. Erfinder war Christiaan Huygens (1656), dessen Namen wir heute für die Impulseinheit kg*m/sec verwenden.

Aber eine Pendeluhr ist noch zu anfällig für Störungen. 1714 hat England ein Preisgeld zur Lösung des Navigationsproblems durch Erfinden einer stabil laufenden Uhr, einer Schiffsuhr, ausgesetzt.

Sein ganzes Leben lang widmete sich der Uhrmacher John Harrison (1693-1776) der Lösung dieser Aufgabe.

Bis 1727 konstruierte er Standuhren, die nur eine Abweichung von 1 Sekunde/Monat hatten.

Dann baute er Schiffsuhren. Die erste, H1, war 1735 fertig und erfolgreich auf einer Seereise nach Lissabon getestet. Aber die Strecke war für die Auszahlung des Preisgeldes zu kurz.

Das beste Modell, die H4, zeigte 1761 auf der 81-tägigen Seereise nach Jamaika nur eine Abweichung von 5 Sekunden.

Durch Intrigen erkannte aber das Preiskomitee diesen Erfolg nicht an. Erst durch Eingreifen des Königs erhielt Harrison 1773, drei Jahre vor seinem Tod, das gesamte  Preisgeld.

Bilder: wikipedia common

Ab 1920 wurde mit Zeitzeichensendern navigiert und heute nutzt man die Navigationssatelliten, wie beim Autofahren.

Weitere Informationen:

Das GPS des Mittelalters

Und hier ein Vortrag von mir zum Thema:

P 147: Eine Erfindung verändert die Welt

 26.2 Die Pendeluhr

Im Zeitalter von Smart Watches muss man wahrscheinlich eine Pendeluhr im Museum ansehen...

Aber es gab eine Zeit, da war sie eine High Tech - Einrichtung.

Schon früh wurden Uhren erfunden, aber sie blieben schnell stehen, da durch den Energieverlust Schwingungen zu stark gedämpft waren.

Als erstes hat der niederländische Physiker und Mathematiker Christiaan Huygens 1656 ein Verfahren zur Entdämpfung einer Pendeluhr entwickelt.

In einem Gewicht wurde ausreichend Energie für einen langen Betrieb gespeichert (heute übernehmen das Batterien und Solarzellen...). Das Gewicht dreht beim Absinken über eine Welle ein Steigrad das durch die besonders geformten Klauen eines Ankers immer wieder angestoßen wird.

Die Pendeluhr steuert mit Hilfe von Steigrad und Anker selbst die Energiezufuhr aus dem absinkenden Gewicht mit der die Schwingungsenergie konstant gehalten wird.

Wenn das Gewicht unten angekommen ist, muss es wieder hochgezogen werden, sonst würde die Uhr stehen bleiben: Die Uhr wird aufgezogen.

Aber schaut euch das in dieser Animation aus wikipedia common selbst an:

Erklärt laut redend, wie der Mechanismus funktioniert.

Sehr lehrreich ist auch die Darstellung aus leifiphysik:

Man lernte sehr schnell, die Ganggenauigkeit der Pendeluhren durch technische Tricks zu verbessern. Sogar Luftdruck- und Temperaturschwankungen konnten berücksichtigt werden.

Auf Schiffen liefen sie wegen des Seegangs nicht so gut, dennoch waren sie der Anstoß für eine weltweite Entwicklung, die die Menschheit zum ersten Mal total umgekrempelt hat..

P 146: Gib mir mal Schwung....

 26. Wie kann man eine Schwingung aufrecht erhalten?

26.1 Rückkopplung

Wenn ein schwingendes System (Oszillator) Energie an die Umgebung abgibt (z.B. durch Reibung), so ist die Schwingung gedämpft, die Amplitude nimmt ab.

Um die Schwingung aufrecht zu erhalten, muss man die abgegebene Energie wieder im richtigen Moment zuführen.

Frage:

Was bedeutet hier: „richtiger Moment“? Erläutere dies an einem auf einer Schaukel sitzendem Kind, das von einer Person immer wieder angestoßen wird, also immer wieder Energie bekommt...

Wenn der Oszillator über eine Steuervorrichtung diese Energiezufuhr aus einem Energiereservoir selbst steuert, spricht man von einer Entdämpfung der Schwingung  durch Rückkopplung.

Das Schema einer Selbststeuerung durch Rückkopplung zeigt die folgende Abbildung: 

Erläutere die Abbildung. Schreib einen kleinen Text, der zu den Elementen der Abbildungen die entsprechenden Objekte beim Schaukeln eines Kindes in Beziehung setzt.

Falls Du keine schaukelnden kleinen Geschwister hast, kannst Du auch spannende Rückkopplungen selbst erzeugen:

-          Versuch zur Videorückkopplung:

Halte eine an einem TV-Gerät angeschlossene Videokamera oder Handy  schräg auf den Bildschirm und stelle durch Zoom den Bildausschnitt so ein, dass der Bildschirm auf sich selbst abgebildet wird. Drehe jetzt die Kamera und betrachte die durch Rückkopplung entstehenden stabilen, periodischen oder chaotischen Muster.

Es gibt nur wenige Beispiele bei YouTube:

 

- Versuch zur Akustik – Rückkopplung:

Halte ein über einen Verstärker angeschlossenes Mikrofon in die Nähe des Lautsprechers. Identifizier die Bauteile in der obigen Abbildung.

Wie hängt die Rückkopplungsfrequenz vom Abstand Lautsprecher-Mikro ab?

Was macht die Rückkopplung? Was ist das Energiereservoir?

Im nächsten Post werden wir sehen, wie die Erfindung der Rückkopplung die Welt verändert hat und zur ersten Globalisierung geführt hat.

P 145: Hier geht es zur Lösung...

 Lösungen:

Einigermaßen gut erkennt man, dass die Amplituden nicht linear abfallen sondern der Graph immer flacher verläuft.

Nach 4 Sekunden hat sich die Anfangsamplitude von 4 cm auf 2 cm halbiert. Auch von 3 cm auf 1,5 cm dauert es genau 4 sec, und natürlich von 2 auf 1 cm ebenfalls 4 sec.

Das ist typisch für einen exponentiellen Abfall.

Diese 4 Sekunden nennen wir die Halbwertszeit τ. Immer nach der Halbwertszeit halbieren sich die Werte.

Damit kann man die Amplitude gut beschreiben:

 Maximale Auslenkung zur Zeit t = Startwert * (1/2)^(t/τ) = 4 cm* 0,5^(t/4sec).

Rechnet mal die gemessenen Amplituden nach. So einigermaßen stimmt es.

Die Periodendauer ändert sich nicht. Man erkennt das sofort daran, dass die Abstände der Nulldurchgänge immer gleich bleiben.

Mit diesen Informationen kann man auch ausrechnen, wann die Amplitude unter 0,1cm = 1 mm gesunken ist (links immer 4 sec dazuzählen, rechts immer halbieren)

Zeit                     Amplitude

0 sec                     4 cm

4 sec                     2 cm

8 sec                     1 cm

12 sec                   0,5 cm

16 sec                   0,25 cm

20 sec                   0,125 cm

24 sec                    0,063 cm

Zwischen 20 und 24 sec dauert es...wir können aber hier nicht interpolieren, da der Zusammenhang nicht linear ist...

Zur genauen Berechnung muss also eine Formel her.

Hier ist sie:

0,1 cm = 4 cm*0,5^(t/4)

Da die gesuchte Größe t im Exponenten steht, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus log anwenden:

log 0,1  = log[4*0,5^(t/4)]

Ihr habt die Rechenregeln für Logarithmen kennengelernt:

log(a*b) = log a + log b

log(x^y) = y*log x

Damit erhält man:

log 0,1 = log 4 + t/4* log 0,5

Diese Gleichung kann man nun nach t umstellen:

t = (log 0,1 - log 4)*4/log0,5

Tippt man das in einen Taschenrechner ein, so ergibt sich t = 21,3 sec.

Das passt gut zu unserer Abschätzung oben.

Ihr müsst die Rechnung oben nicht nur nachvollziehen, sondern sie selbst (ausführlicher) in euerem Heft aufschreiben.

P 144: Wer den Sinus nicht mag....

 mag vielleicht  die Exponentialfunktion?

25.3 WZD der gedämpften Schwingung

Wenn ein Fadenpendel hin- und her schwingt, wird ständig potenzielle Energie der Pendelmasse in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. Bei einem Federpendel spielt die potenzielle Energie keine Rolle: hier findet die Umwandlung zwischen der in der Feder gespeicherten Energie (die man auch als eine besondere potenzielle Energie ansehen kann) und der kinetischen Energie statt.

Bei diesen Umwandlungsprozessen wird natürlich auch Energie entwertet. Das macht sich in einer stetigen Abnahme der Amplituden bemerkbar. Wir sprechen von einer gedämpften Schwingung.

Bei der Schwingung des Stoßdämpfers eines Autos will man eine starke Dämpfung, bei der Schwingung des Pendels einer Uhr soll die Dämpfung möglichst schwach sein.

Woran erkenne ich, ob eine Dämpfung besonders stark ist?

Je schneller die Amplitude abnimmt, desto stärker ist die Dämpfung.

Versuch: Nimm ein Fadenpendel (Gewicht an einem Faden) und lass es in Luft pendeln und dann so, dass sich der Pendelkörper im Wasser (Waschbecken, Badewanne, Swimming-Pool, Ostsee) bewegt. Da siehst Du, was Dämpfung ausmacht.

Das wollen wir einmal genau vermessen:

Die Abbildung zeigt das WZD einer gedämpften Schwingung.

Bestimme alle Amplituden und trage sie gegen die Zeit auf.

Beachte: Die erste Amplitude liegt bei t=0 vor. Ich würde also jeweils auch nach einer halben Periodendauer messen. Amplituden sind immer positiv.

Letztlich kannst Du auch die Amplituden oberhalb der t-Achse direkt verbinden.

Zeige:

a) Die Periodendauer bleibt konstant, verändert sich nicht durch die Amplitudenabnahme.

b) Gibt es eine feste Zeit, nach der sich jeweils die Amplitude halbiert hat?

c) Wann wird die Amplitude (nicht Auslenkung!) unter 1 mm gesunken sein?

d) In der Mittelstufe hast Du sicher die Funktion f(x) = (1/2)^x kennengelernt.

     Wiederhole das und versuche die Abnahme der Amplitude durch eine solche Funktion zu beschreiben.

     Wer schon die e-Funktion kennt: f(x) = exp(-x) = e^(-x), kann auch damit arbeiten.

P 143: Von allen geliebt...der Sinus

 25.2 Die Sinusschwingung

Für kleine Auslenkungen erkennt man wirklich eine Sinus- oder Cosinus-Kurve als WZD  (je nach Startpunkt).

Wir werden das später näher begründen, aber bei solchen sinusförmigen Schwingungen ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung (hier der Auslenkungswinkel  φ, der von der Zeit t abhängt:  φ(t)).

Wir erkennen an der Skizze auch woran das liegt:

Das eingezeichnete Dreieck ist rechtwinklig mit x als Gegenkathete zu  φ und die Pendellänge l als Hypotenuse. 

Dann gilt: sin  φ  = x/l

Für sehr kleine Winkel (und nur dafür schwingt das Fadenpendel sinusförmig) ist x so groß wie der Bogen s(t), also der zurückgelegte Weg.

Dafür können wir also schreiben:

sin  φ = s(t)/l oder s(t) = l * sin  φ.

Das passt auch gut zu unserem optischen Eindruck der Schwingung:

In Zukunft wird der Sinus öfters vorkommen.

Wer möchte kann hier einige Infos über den Sinus nachabreiten:

Sinus

Aber nicht jede Schwingung läuft sinusförmig ab. Wir haben ja schon Rechteckschwingungen, Dreiecksschwingungen und Sägezahnschwingungen kennengelernt.

P 142: Mit Sand spielen...

 Aber vorher solltet ihr noch eine Übungsaufgabe lösen:

25. Wie schwingt ein Pendel?

25.1 Aufzeichnung von s(t) eines Fadenpendels

Wir wollen den Ort s des Pendelkörpers zur Zeit t wissen, also das Weg-Zeit-Gesetz WZG bzw. das Weg-Zeit-Diagramm WZD.

Da gibt es eine Reihe von trickreichen Experimenten.

Am einfachsten geht es mit einem Sandpendel:

Man bastelt aus Papier einen kleinen Trichter, der unten ein Loch hat.

Den hängt man als Pendelkörper auf, füllt ihn mit Sand und lässt das Pendel schwingen.

Das könnt ihr durchaus zu Hause selbst machen, Vogelsand ist sehr gut.

Damit man zeitaufgelöst den Ort registrieren kann, muss man nur ein (dunkles, damit man den Sand sieht) Blatt Papier unten drunter senkrecht zur Schwingungsrichtung wegziehen.

Warum senkrecht zur Schwingungsrichtung?

Die s- Achse steht im WZD auch senkrecht auf der Zeit-Achse...

Da gibt es schöne Versuche des Instituts für Physik der Universität Freiburg:

Und hier kann man sich auch ein kleines Video dazu anschauen:

Video

Die Kurve, die wir hier als WZD sehen, dürfte euch bekannt vorkommen...

Mehr im nächsten Post.

P 141: Viel Spaß beim Spielen!

 24.6 Simulationen

Das Projekt PhET der Universität von Colorado Boulder wurde 2002 vom Nobelpreisträger Carl Wieman (Nobelpreis 2001 für die Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats) gegründet und stellt kostenlos die tollsten Simulationen zur Verfügung.

Wir wollen uns zwei Abteilungen ansehen:

Bei allen Simulationen könnt ihr euch ein Lineal und eine Stoppuhr einbauen und sogar quantitativ messen.

Pendelschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Pendel verschiedener Massen und Längen bei unterschiedlicher Reibung und Gravitation zum Schwingen bringen. In der zweiten Simulation könnt ihr euch die Energien anzeigen lassen und bei der dritten Simulation die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

Federschwingungen

In der ersten Simulation könnt ihr Federn mit verschiedener Härte und Massen in unterschiedlicher Gravitation schwingen lassen.

Logischerweise ändert sich die Schwingung, wenn man das Gravitationsfeld ändert (Untersucht einmal, auf was die Schwerkraft einen Einfluss hat. Lasst euch dazu die Gleichgewichtslage (Ruhelage) anzeigen). Aber messt einmal die Schwingungsdauern, die bleiben gleich.

In der zweiten Simulation kann man sich Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und alle Kräfte anzeigen lassen.

In der dritten Simulationen geht es dann um die Energien.

Nehmt euch viel Zeit, ihr könnt hier viel Lernen!

P 140: Federn gehen immer...

 24.5 Das Federpendel

Ein Fadenpendel baut eine rücktreibende Kraft über die Gewichtskraft auf.

Welche Rolle spielt die Gewichtskraft bei einem Federpendel?

Überraschend: Eigentlich keine.

Wenn wir nur eine Feder haben, dann hat diese eine bestimmte Länge L oft auch s(0) bezeichnet, die durch die Bauart vorgegeben ist.

Hängt man nun eine Masse m an, so dehnt sich die Feder so lange aus, bis die Federkraft genau die Gewichtskraft ausgleicht.

Das ist dann die Ruhelage des Federpendels.

Die Federkraft habt ihr bestimmt in der Mittelstufe kennengelernt. Für sie gilt das Hookesche Gesetz:

F = D * s, dabei ist s die Auslenkung und D=F/s die sog. Federkonstante ist. Diese wird in N/m angegeben. 

D = 5 N/m bedeutet, dass man pro Meter Auslenkung eine Kraft von 5 N braucht. Je größer die Federkonstante ist, desto schwerer lässt sich eine Feder auslenken:

Die Federkraft ist also proportional zur Ausdehnung und D ist die Proportionalitätskonstante. Natürlich gilt dieses Gesetz nicht mehr, wenn man die Feder überdehnt und sie nicht mehr in die ursprüngliche Form zurückkehrt.

Hänge ich nun eine Masse m an eine Feder mit der Federkonstante D an, so wird sie um s(0) ausgelenkt: 

F = D*s(0) = m*g, also s(0) = m/D*g. Die neue Länge der Feder in der Ruhelage ist dann L + s(0).

Um diese Ruhelage schwingt sie nun, die Auslenkung während dieser Schwingung bezieht sich auf diese Ruhelänge der Feder als Nullpunkt.

In der Abbildung ist die 0 als Index geschrieben.

Wenn wir das Pendel weiter auslenken, wird die Federkraft größer. Diese zusätzliche Federkraft ist dann die rücktreibende Kraft. Die Auslenkung  muss man wie gesagt von der neuen Ruhelage aus bestimmen.

   (nach: Bildungsserver Baden-Würtemberg)

Wenn man dann los lässt, schwingt die Feder zurück, angetrieben durch die Federkraft. In der Ruhelage bewirkt die Trägheit eine Weiterbewegung mit Zusammenstauchen der Feder, bis die Bewegungsenergie wieder in der Feder gespeichert ist.

Dann drückt die rücktreibende Kraft die Masse m wieder nach unten.

Bei dem ganzen Schwingungsvorgang spielt die Gewichtskraft keine Rolle. Die Gewichtskraft legt nur den Ruhepunkt fest.

Deswegen schwingt eine Feder überall gleich, sogar unter Schwerelosigkeit. Da ist eben die "Ruhelänge" der Feder gleich der Federlänge selbst. Aber schwingen wird sie trotzdem...

Wir haben ja gelernt, dass Astronauten in der ISS sich z.B. mit einem schwingenden "Federstuhl" "wiegen" können.

Energieumwandlungen:

Beim Auslenken der Feder wird Energie in der Feder gespeichert (ich muss ja Kraft zum Auslenken aufwenden, also arbeiten). Die Federenergie berechnet man mit Ef = 1/2*D*s², wenn s die Auslenkung aus der Ruhelage ist.

Während der Schwingung wird diese Federenergie in Bewegungsenergie und wieder zurück umgewandelt.

Wie kann man die Formel für die Federenergie begründen?

Die Energie berechnet sich über die verrichtete Arbeit W = F*s.

Hierbei ist s die maximale Auslenkung, die man erreichen will. Dann gilt für die Kraft F = D*s.

Eingesetzt ergibt dies W = F*s*s = F*s².

Aber die Kraft wächst ja während des Ausdehnens gleichmäßig von 0 auf D*s an. Deshalb muss man zur Berechnung der Gesamtarbeit die mittlere Kraft (D*s + 0)/2 nehmen, also 1/2*D*s.

Wenn man das jetzt in W*F*s einsetzt, erhält man die richtige Formel für die Federenergie.

P 139: Fallen und Pendeln

 24.4 Alle Pendel pendeln gleich schnell

Wie ihr durch eure Experimente festgestellt habt, ist diese Überschrift nicht ganz richtig:

Je länger ein Fadenpendel ist, desto langsamer schwingt es, d.h. desto länger ist seine Schwingungsperiode.

Eine Formel dazu werden wir noch herleiten.

Aber erstaunlich ist, dass die Masse m des Pendelkörpers keinen Einfluss auf die Periodendauer hat.

Ich habe einmal die Formeln für physikalisch vorkommende Fadenpendel zusammengestellt:

https://www.natur-science-schule.info/post/pendel-hin-und-her

Echte Fadenpendel

Das sind Pendel, die weit ausgelenkt werden und/oder die Pendelmasse nicht mehr punktförmig ist.

In keiner Formel für die Schwingungsdauer taucht die Pendelmasse auf.

Woran liegt das?

Den Grund kennen wir schon:

Schwere Masse und träge Masse sind gleich groß und heben sich somit in ihrer Wirkung auf:

Alle Körper fallen gleich schnell!

Auch die Masse eines Pendels fällt nach unten...nur eben nicht senkrecht sondern längs einer Kreisbahn, weil der Pendelfaden ja das freie Fallen verhindert.

Aber trotzdem gilt die Regel: Alle Körper fallen gleich schnell, egal auf welcher Bahn!

Wer das nochmal wiederholen möchte:

In den Posts P 57 bis P 61 (16.12.21 bis 29.12.21)>steht da sehr viel zu, weitere Infos sind in P 76 vom 30.1.22 und P 115 vom 20.4.22

Alle Körper fallen gleich schnell

Man findet diese Infos, wenn man in der bloginternen Suchmaschine "träge Masse" eingibt.

Aufgabe: Du kennst auch die Schwingung einer Feder.

Kannst Du nun den Ablauf mit rücklaufender Kraft und Trägheit sowie über Energieumwandlungen erklären?

P 138: Die Energie pendelt auch!

 Wenn das Pendel ausgelenkt wird, erhöhe ich die Lageenergie (potenzielle Energie Epot) m*g*h relativ zur Ruhelage. Ich verrichte dabei Hubarbeit.

Beim Loslassen wandelt sich diese potenzielle Energie in kinetische Energie Ekin= 1/2*m*v² um. Zu jedem Zeitpunkt t aber ist die Summe aus der momentanen kinetischen Energie und der momentanen potenziellen Energie immer gleich groß, nämlich so groß, wie ich als Hubarbeit beim Auslenken des Pendels zugeführt habe. Das ist die konstante Gesamtenergie Eges.

Das ist der Energieerhaltungssatz:

Ekin (t) + Epot(t) = Eges

In der Ruheposition gibt es nur kinetische Energie, diese ist dann natürlich gleich der Gesamtenergie. Das bedeutet auch, dass die Geschwindigkeit des Pendels am größten ist.

Durch den Schwung kann nun wieder Hubarbeit verrichtet werden, die kinetische Energie wird in potenzielle Energie umgewandelt.

In den Umkehrpunkten ist die Momentangeschwindigkeit v(t) = 0, damit auch die kinetische Energie. Die Gesamtenergie des Pendels besteht dann nur aus potenzieller Energie.

Und dann geht es wieder von vorne los....

nach: ingenieurkurse.de

Der Motor für die ständigen Energieumwandlungen sind Gewichtskraft und Trägheit. In der Schwerelosigkeit würde also nichts passieren, das Pendel würde in der ausgelenkten Position einfach stehen bleiben.

Durch Reibung an der Aufhängung oder an der Luft nimmt die zur Schwingung verfügbare Energie ab, da ein Teil der Energie als Wärmeenergie aus dem System geführt wird. Das nennt man Dämpfung der Schwingung.

Damit nimmt die Auslenkung und auch die maximale Geschwindigkeit ständig ab.

Der Energieerhaltungssatz gilt aber trotzdem, man muss nur die Reibungsenergie Ereib hinzunehmen:

Ekin + Epot + Ereib = Eges ist konstant.

Wenn die gesamte am Anfang zugeführte Hubarbeit als Wärmeenergie abgeführt wurde, dann bleibt das Pendel stehen. Die Gesamtenergie gibt es dann als Wärmeenergie in der Umgebung des Pendels.

Die Formulierung: Das Pendel verliert beim Schwingen Energie und bleibt deshalb stehen, ist so falsch. Man kann höchstens von an die Umgebung angegebenen Energie sprechen. Energie kann nie verloren gehen.

Aufgabe:

Baue Dir  ein Fadenpendel, an das Du verschiedene, nicht allzu ausgedehnte, Körper mit unterschiedlicher Massen hängst.

Binde das Pendel fest, lenke es immer gleich aus (nicht allzu weit) und bestimme mit einer Stoppuhr (Smartphone!) die Periodendauer.

Am besten stoppst Du 10 Schwingungen und teilst die gemessene Zeit durch 10.

Hinweis: Beginn beim Loslassen mit der 0 als Zahl zum Zählen...

Was fällt Dir auf?

Was passiert, wenn Du die Pendellänge änderst?

P 137: Die energetische Seite einer Schwingung

 24.3 Erklärung durch die Energieumwandlung

Betrachten wir noch einmal eine Schwingung eines Fadenpendels:

Versuche einmal, Dir zu den folgenden Fragen Gedanken zu machen:

Welche Energieformen treten auf? Wir wollen nur zwei Energieformen betrachten.

Sind die Energien immer gleich groß oder verändern sie sich während der Schwingung?

Wenn sie sich verändern, widerspricht das nicht dem Erhaltungssatz der Energie?

Wie lautet hier der Energieerhaltungssatz? Verwende dabei den Begriff der Gesamtenergie Eges.

Gibt es Pendelpositionen, bei denen nur eine Energieform vorliegt?

Nun lenke das Pendel aus und beschreibe den Ablauf der Schwingung durch das Auftreten und "Umwandeln" verschiedener Energieformen ineinander.

Welche Rolle spielt die Reibungsenergie Ereib? Gilt der Energieerhaltungssatz unter der Einwirkung von Reibung (an der Aufhängung, in der Luft), also bei einer gedämpften Schwingung, immer noch?

Die Antworten gibt es im nächsten Post.

Die Beschreibung einer Schwingung durch den Energieerhaltungssatz und die auftretenden Energieformen ist sehr wichtig. In der Q-Phase kann man im Leistungskurs daraus sehr schnell eine sog. Differenzialgleichung aufstellen, deren Lösung die mathematische Beschreibung einer Schwingung liefert.

Das wird oft im Abitur verlangt.

Gegen Ende des Schuljahres müsstet ihr soviel von Differenzialrechnung verstehen, dass ich das schon mal auf einer Extraseite erklären kann.

Jetzt lassen wir das aber erst einmal...

P 136: Der geliebte Sinus

 Ihr solltet wirklich einmal einige rücktreibende Kräfte durch Konstruktion bestimmen.

Mit der angegebenen Masse erhaltet ihr (unabhängig von der Pendellänge) zu den Auslenkungswinkel die folgenden Werte:

Die kann man in einem Graphen darstellen. Bei kleinen Winkeln sieht es so aus, als gäbe es einen linearen Zusammenhang, also als wäre die rücktreibende Kraft proportional zum Auslenkungswinkel.

Erst bei größeren Auslenkungswinkeln sieht man, dass die rücktreibende Kraft  immer langsamer anwächst:

Es sieht  wie bei einer Sinuskurve aus.

Das wird auch schnell klar:

Gewichtskraft, Seilkraft und rücktreibende Kraft bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Gewichtskraft als Hypotenuse und der rücktreibenden Kraft als Gegenkathete zum Auslenkungswinkel φ:

sin φ = Gegenkathete/Hypotenuse = F/Fr und damit gilt für die rücktreibende Kraft:

Fr = F * sin φ

Die folgende Abbildung hilft euch bei der Erinnerung an die trigonometrischen Funktionen:

Im nächsten Post erklären wir den Schwingungsablauf über Energieumwandlungen.

P 135: Erklärung durch Kräfte

 24.2 Erklärung durch eine rücktreibende Kraft und die Trägheit

Wenn wir ein Pendel auslenken und loslassen (oder es im Ruhepunkt anstoßen), muss eine Kraft wirken.

Wo kommt die Kraft her?

Dann erreicht das Pendel seine Ruhelage. Da wirkt keine Kraft mehr.

Warum schwingt es weiter?

Und dann kommt das Pendel zurück...

Wieso kehrt sich die Kraft um?

Diese Fragen wollen wir jetzt klären, und zwar zuerst am Fadenpendel.

Wie bisher vernachlässigen wir die Masse der Aufhängung und gehen von einer nahezu punktförmigen Masse m am Ende des Fadens aus.

Auf diese Masse m wirkt die Gewichtskraft F = m*g. Sie wird in der Ruhelage durch eine Kraft, die der Faden ausübt,  kompensiert. Ansonsten reißt der Faden und die Masse fällt runter.

Nun lenken wir das Pendel um den Winkel φ aus. Die Gewichtskraft bleibt unverändert, zeigt aber nicht mehr in Richtung des Fadens.

Der Faden muss nur noch einen Teil der Gewichtskraft kompensieren.

Bei einer Auslenkung von 90° merkt man, dass der Faden schlaff durchhängen kann, weil die Gewichtskraft senkrecht zum Faden steht.

Nehmen wir mal eine Auslenkung von etwa φ = 40°. Zerlegt einmal die Gewichtskraft F in eine Komponente Fs in Richtung des Seils (Seilkraft) und eine Komponente Fr senkrecht dazu.

Was bewirken diese beiden Komponenten?

Die Seilkraft strafft den Faden und muss vom Faden kompensiert werden.

Die Kraft Fr treibt die Pendelmasse an. Sie sorgt für eine Bewegung in Richtung der Ruhelage, sie treibt das Pendel zurück.

Wir nennen sie rücktreibende Kraft.

Bei einer Auslenkung von 90° ist die gesamte Gewichtskraft auch die rücktreibende Kraft. In der Ruhelage (Auslenkung 0°) gibt es keine rücktreibende Kraft mehr. Das gesamte Gewicht zieht am Seil.

Die rücktreibende Kraft nimmt also während der Schwingung ab und ist beim Durchlaufen der Ruhelage gleich 0.

Aber die Trägheit des Pendels bewirkt, dass es weiterschwingt.

Sobald es aber über die Ruhelage hinweg kommt, entsteht wieder eine vorerst kleine rücktreibende Kraft, die die Bewegung abbremst (sie zeigt jetzt entgegen der Bewegungsrichtung).

Ist der ursprüngliche Auslenkungswinkel auf der anderen Seite erreicht, so ist die Momentangeschwindigkeit 0 und die rücktreibende Kraft bewirkt wieder eine Beschleunigung zur Ruhelage zurück.

Das alles wiederholt sich bei jeder halben Schwingung.

Um das genau zu verstehen, zeichnet bitte einmal diesen Vorgang für eine Pendelmasse von 1 kg. Die Gewichtskraft beträgt dann 10 N. Nehmt Auslenkungswinkel von 40°, 30°, 20°, 10° und 0° sowie entsprechend auf der anderen Seite.

Konstruiert jeweils die rücktreibende Kraft.

Mit einem Lineal könnt ihr die Größe der Kräfte bestimmen.

Tragt sie in einem Diagramm gegen die Winkel von -40° bis + 40°auf. Setzt auch für die Richtung der rücktreibenden Kraft ein sinnvolles Vorzeichen (ich würde für die Winkel rechts von der Ruhelage auch + wählen).

Kennt ihr diese Kurvenform?

Könnt ihr sogar die rücktreibenden Kräfte berechnen?

P 134: Das Fadenpendel

 24. Warum schwingt ein Pendel?

24.1 Ein einfacher Versuch und viele Fragen

Baut euch ein einfaches Fadenpendel: Nehmt ein Seil und bindet eine Pendelmasse daran fest. Dann nehmt ihr das andere Ende in die Hand (oder befestigt es so, dass das Pendel frei hängen kann).

Die Pendelmasse wird durch die Schwerkraft nach unten gezogen: Es wirkt die Gewichtskraft. Das Pendel hängt in seiner Ruhelage.

Wir tun so, als hätte die Aufhängung keine Masse und somit keinen Einfluss auf die Schwingung. Die gesamte Pendelmasse soll am Ende des Seiles konzentriert sein.

Nun lenkt das Pendel aus.

Was passiert mit der Schwerkraft auf die Pendelmasse? In welche Richtung zeigt sie?

Lasst die Pendelmasse los.

Das Pendel schwingt zurück. 

Wo kommt die Kraft her, die das Pendel antreibt? Man nennt sie die rücktreibende Kraft, da sie das Pendel in die Ruhelage zurück treibt.

Überlegt euch, wie sich die rücktreibende Kraft verändert, wenn ich das Pendel immer weiter auslenke.

(Wenn ihr diesen Post in der Schule bearbeitet, kann man euch sicher Federwaagen geben und ihr könnt die rücktreibenden Kräfte in Abhängigkeit zur Auslenkung sogar messen. Achtet darauf, dass die Federwaage immer tangential zur Kreisbahn der Pendelmasse angreift.)

Wie groß kann die rücktreibende Kraft  maximal werden und wie habe ich dazu das Pendel ausgelenkt?

Was passiert also mit der rücktreibenden Kraft während das Pendel in die Ruhelage zurückschwingt?

Das Pendel bleibt aber in der Ruhelage jetzt nicht stehen, sondern es schwingt weiter auf die andere Seite.

Wieso?

Wenn ihr alle diese Fragen beantworten könnt, dann seid ihr in der Lage in einem fortlaufenden Text die Ursache für die Bewegung des Pendels zu erklären.

Tut dies einmal.

Es gibt aber noch einen anderen Zugang für die Beantwortung unserer Frage: Warum schwingt ein Pendel?

Beschreibt einmal den Vorgang mit Hilfe der kinetischen Energie Ekin = 1/2*m*v² und der Lageenergie Epot = m*g*h.  Wo sind die jeweiligen Energieformen maximal und wie werden sie ineinander umgewandelt?

Für Fortgeschrittene (oder zukünftige LKler/innen):

Wenn die Pendelmasse m ausgelenkt wird und los gelassen wird, setzt sie sich in Bewegung. Sie hat also Impuls. Wo kommt der Impuls her?

Und nun stellt euch vor, ihr seid auf dem Mond und würdet dort euer Fadenpendel auslenken.

Was ändert sich?

Und was passiert in absoluter Schwerelosigkeit?

Und nun noch einige weitere Anregungen zum Nachdenken:

Ihr habt ja schon in den Animationen ein Federpendel kennengelernt. Da hängt die Pendelmasse m an einer Feder.

Wie entsteht hier die rücktreibende Kraft?

Welche Rolle spielt die Gewichtskraft?

Was macht ein Federpendel auf dem Mond oder in der Schwerelosigkeit?

(Übrigens: Mit Federpendeln baut man auch Waagen für die Astronauten in der ISS, siehe Post 57: Wiegen unter Schwerelosigkeit  )

Ihr habt jetzt genügend Anregung zum Nachdenken bekommen. In den nächsten Posts werden wir auf die möglichen Antworten eingehen.

Wenn ihr in einer Gruppe zusammenarbeitet, dann besprecht die Fragen. Wenn ihr allein seid, dann redet ruhig laut mit euch selbst (siehe die entsprechende Zusatzseite oben).

P 133: Fragen über Fragen

 23.3 Vorgehensweise

Wir lernen etwas über Schwingungen, in dem wir versuchen ganz einfache Fragen zu beantworten:

Frage 1: Warum schwingt ein Pendel?

Frage 2: Wie schwingt ein Pendel?

Frage 3:Wie kann man eine Schwingung aufrechterhalten?

Frage 4: Wie kann man eine Schwingung beschreiben?

Frage 5: Wie kann man eine Schwingung aufzeichnen?

Frage 6: Wann schwingt ein Pendel, wie kann man also eine Schwingung anregen?

Frage 7: Warum erzeugen Musikinstrumente immer nur bestimmte Töne?

Frage 8: Was passiert beim Stimmen einer Gitarre?

Frage 9: Wann werden Schwingungen nicht vorhersagbar: Das Chaos!

Frage 10: Wie funktioniert das Hören?

Weitere Inhalte:

Sinus-Schwingungen als Bauteile der Welt

Wir hören Töne, die es nicht gibt (Fouriertransformation)

Wir werden auch den mathematischen Hintergrund aus der Klasse 10 wiederholen (Sinus, Cosinus).

Wenn ihr in der Schule über Schwingungen  arbeitet, gibt es sicher viele Experimente, die ihr zum Lernen nutzen könnt. Ich werde sie hier durch Videos und Bilder vorstellen.

Einige Experimente kann man auch zu Hause durchführen.

P 132 Immer wieder von vorne

 Übersetzen wir erst einmal:

Wiederholte zeitliche Schwankung: Im Laufe der Zeit treten Veränderungen ein, die sich aber immer wieder wiederholen.

Zustandsgröße eines Systems: Bei einem Pendel wird der Zustand durch die Größe der Auslenkung beschrieben. Bei einem fahrenden Auto wird der Zustand durch den Abstand vom Startpunkt beschrieben.

Abweichungen von einem Mittelwert: Bei einem Pendel kann man die Veränderungen auf die Ruhelage beziehen, also wenn es einfach nur vor sich her hängt....

Jetzt sollte es klar sein, was eine Schwingung von einer linearen Bewegung unterscheidet:

Bei einer Schwingung wiederholt sich der Bewegungsablauf. Das kann bei einer Autofahrt nur passieren, wenn man hin- und herfährt.

Im Bild des letzten Posts wird klar, dass bei einer Schwingung die hier y genannte Auslenkung sich immer wiederholt, während bei der linearen Bewegung der Abstand y(t) immer neue Werte erhält.

Schwingungen sind also periodische Vorgänge.

Beispiele: 

Die Drehung der Erde ist periodisch, sie wiederholt sich nach 23h56m, einem sog. Sterntag.

Musikinstrumente erzeugen Schwingungen, die sich als Schallwelle durch die Luft übertragen und unser Trommelfell zum Schwingen bringen. Beim Ton "a" schwingt es 440 mal in der Sekunde.

Mit schwingenden Fadenpendeln oder Federpendeln hat man früher Uhren gebaut.

Die Atome in einem Molekül können gegeneinander Schwingen. Dabei entsteht Wärmestrahlung.

Es gibt sogar oszillierende chemische Reaktionen, die sich durch einen wiederkehrenden Farbwechsel bemerkbar machen.

23.2 Wichtige Begriffe

Ruhepunkt: Der Punkt eines Pendels, in dem es sich befindet, wenn es nicht zum Schwingen angeregt wird. Die Auslenkung ist hier 0.

Auslenkung: Der Abstand der Pendelmasse vom Ruhepunkt. Wir häufig mit s oder y bezeichnet, bzw. s(t) und y(t), weil es ja Größen sind, die von der Zeit abhängen.

In der Regel misst man die Auslenkung längs der Bewegungslinie der Pendelmasse. Man kann aber auch den Auslenkungswinkel φ angeben oder (manchmal) den seitlichen Abstand x.

Amplitude: Maximal mögliche Auslenkung, oft mit A bezeichnet.

Beim Fadenpendel spielt noch die Pendellänge l eine Rolle.

Zuerst einmal unterscheidet man Schwingungen nach der Form ihres Weg-Zeit-Gesetzes.

Schwingungen, deren Weg-Zeit-Gesetz eine Sinus-Kurve darstellen, nennt man auch harmonisch.

Dann gibt es Dreiecksschwingungen, Rechtecksschwingungen (für Taktgeber) und Sägezahnschwingungen (für Oszilloskope).

Wenn die Amplitude einer Schwingung immer gleich bleibt, dann nennt man die Schwingung ungedämpft.

Die Periodendauer kann man zwischen beliebigen Bereichen messen: startet man am Ruhepunkt, so ist bei t =T eine Periode abgelaufen. Die Schwingung wiederholt sich (rotes Kurvenstück).Aber auch die Zeit zwischen zwei benachbarten maximalen Auslenkungen ist eine Periodendauer (blaue Kurvenstücke)

Im Normalfall aber verlieren Schwingungen Energie, deshalb nimmt die Amplitude ab. Ein solcher Energieverlust heißt auch Dämpfung, die Schwingung nennt man dann gedämpft.

Die Stoßdämpfer bei einem Auto sind Vorrichtungen, die Schwingungen der Karosserie möglichst stark dämpfen, d.h. zum Erliegen bringen.

In Uhren dagegen sollte die Dämpfung möglichst klein sein, damit die Schwingungen zur Zeitmessung immer weiter gehen.

Frequenz f: Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde nennt man Frequenz f. Sie wird in Hertz Hz gemessen: 1 Hz = 1 Schwingung pro Sekunde.

Wir hören Schwingungen von etwa 30 Hz bis 15 000 Hz, wenn wir jung sind, und 10 000 Hz, wenn wir alt sind.

Bei einer Frequenz von 20 Hz gibt es 20 Schwingungen in jeder Sekunde. Also dauert eine Schwingung 1/20 sec.

Der Kehrwert der Frequenz f ist also immer die Schwingungsdauer T = 1/f.

Schwingungsdauer T: Die Dauer einer Schwingung, nach T wiederholt sich der Schwingungsablauf.

(alle Abbildungen aus wikipedia common)

P131: Alles schwingt!

 Teil V: Alles schwingt!

In vielen Schulen ist es nicht üblich, die Schwingungslehre in der E-Phase zu behandeln. Ich halte das für falsch!

Einmal sollte man etwas Neues, Interessantes kennenlernen und auch merken, wie Physik in unserem Alltag eine große Rolle spielt: Das Thema Physik und Musik wird uns besonders beschäftigen.

Und zum anderen ist die Q2 so vollgestopft mit Inhalten, dass es wünschenswert ist, vorher schon auf Schwingungen einzugehen.

Schwingungen spielen in der Natur eine ganz große Rolle: Wir werden sehen, dass man viele Erscheinungen durch die Überlagerungen von Schwingungen verstehen kann, ja die großräumige Struktur des Kosmos ist das Ergebnis von Schwingungen bei der Entstehung unserer Welt.

Dieser Unterrichtsteil kann ebenso gut in der Q2 gemacht werden, wir gehen hier aber nicht auf elektromagnetische Schwingungen ein.

Koppelt man Pendel aneinander, so entstehen Wellenerscheinungen.

Dies werden wir in unserem Kurs nicht mehr behandeln, vielleicht als kurzen Ausblick.

23. Was ist eine Schwingung?

23.1: Definition

Oft schaut man bei solchen Fragen in wikipedia nach:

Als Schwingungen oder Oszillationen (lateinisch oscillare ‚schaukeln‘) werden wiederholte zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems bezeichnet. Unter Schwankung ist dabei die Abweichung von einem Mittelwert zu verstehen. Schwingungen können in allen rückgekoppelten Systemen auftreten. Beispiele für Schwingungen sind in der Mechanik, in der Elektrotechnik, der Biologie, in der Wirtschaft und in vielen anderen Bereichen anzutreffen.

Aufgabe: Übersetzt einmal diese Erklärung in eure eigene Sprache. Am besten vergleicht ihr die Geradeausfahrt eines Autos mit der Bewegung eines Pendels.

Besonders solltet ihr die unterstrichenen Textteile "übersetzen".

Bis ihr den kursiv geschriebenen Satz übersetzen könnt, vergeht noch eine Weile. An der Stelle muss man auch lernen, einfach über etwas "hinweg zu lesen"....

Vielleicht helfen euch auch die beiden Weg-Zeit-Diagramme:

Dann versucht einmal in eurer Umgebung, in Physik, Biologie...Beispiele für Schwingungen zu finden.

Kann man auch die Bewegungen der Planeten als Schwingungen ansehen?

P 130: Eigentlich kann es unsere Galaxis nicht geben...

 22.5.2 Kepler und die Dunkle Materie

Auch unsere Galaxis besteht zum größten Teil aus nicht sichtbarer Dunkler Materie DM.

Woher wissen wir das?

In den Außenbereichen dreht sich unsere Galaxis so schnell, dass durch die Fliehkraft alle Sterne schon längst weggeflogen wären, würden sie nur von den anderen sichtbaren Sternen angezogen. Unsere Galaxis hätte sich ohne DM schon längst aufgelöst....

Die Sterne  werden also von DM auf ihrer Bahn gehalten.

Die Beobachtungen dazu wurden von der Astronomin Vera C. Rubin (1928-2016) durchgeführt. 1962 stellte sie einer ihrer Studentengruppen die Aufgabe, eine Rotationskurve von unserer Galaxis zu messen.

In dieser Kurve soll die Rotationsgeschwindigkeit für verschiedene Abstände vom Zentrum bestimmt werden.

Wieder geht das nur, in dem man die Farbveränderungen beobachtet, die durch die Rotationsbewegungen von leuchtenden Gasen entstehen (Dopplereffekt: zeigt der Geschwindigkeitsvektor von uns fort, beobachtet man eine Rotverschiebung, ansonsten eine Blauverschiebung).

Was war zu erwarten?

Wäre unsere Galaxis eine starre rotierende Scheibe, so würde die Rotationsgeschwindigkeit v proportional zum Abstand r ansteigen: v = ω * r.

Die Formel kennen  wir.

Würden alle Sterne wie Planeten um eine zentrale Masse kreisen (Kepler Rotation) so gilt (siehe Post 127):

v = √ ( G * M / r), d.h. die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit der Wurzel aus dem Abstand ab.

Auch diese Formel haben wir hergeleitet.

Was haben Rubin und ihre Studenten gesehen?

In den äußeren Bereichen bleibt die Rotationsgeschwindigkeit nahezu konstant, vollkommen unerwartet..

Das kann nur so erklärt werden, dass weit außen, also da, wo man keine Sterne mehr sieht, große Mengen an DM die schnelle Rotationsbewegung der Sterne verursachen.

Als nächstes (1970) bestimmte sie die Rotationskurve der Andromedagalaxie, unserer großen Nachbargalaxie:

Im Zentrum rotiert sie wie eine starre Scheibe, dann gibt es einen kleinen Bereich mit Kepler Rotation und ab da geht es ab...die DM macht Dampf!

In den Jahren danach hat Rubin die Rotationskurven von vielen anderen Galaxien  bestimmt und immer wieder das gleiche Ergebnis gefunden:

In einer Veröffentlichung von 1980 schreibt sie:

"The conclusion is inescapable that non-luminous matter exists beyond the optical galaxy.”

Die Entdeckung Zwickys fast 50 Jahre vorher konnte sie als allgemeines Gesetz bestätigen.

Sie hat die DM nicht entdeckt. Als Rubin ihre Ausbildung begann, war die Idee der DM schon da. Aber sie hat zweifelsfrei die Existenz von DM in den Galaxien nachgewiesen.

Heute vermuten wir, dass DM einen entscheidenden Anteil an der Bildung von kosmischen Strukturen hat. DM bildet ein Netzwerk im Kosmos (das auch beobachtet wird), an deren Knoten sich die sichtbare Materie angelagert hat, konzentriert wurde und Sterne und Galaxien gebildet hat.

Wir leben und sind gefangen in einem gigantischen Netzwerk aus Dunkler Materie.

Alles, was wir über die Gravitation und Kreisbewegungen in diesem Kurs gelernt haben, ermöglicht es uns, diese Erkenntnis nachzuvollziehen.

Die Formel für einen waagerechten Wurf werdet ihr wahrscheinlich nach der Schule nie wieder brauchen, die Erkenntnis in einem Netz aus unsichtbarer Materie zur Existenz gekommen zu sein, solltet ihr nie wieder vergessen.

Das Bild zeigt eine Computersimulation der Strukturbildung im Kosmos durch DM.

Nächste Woche beginnt der letzte große Abschnitt: Schwingungen

Sie spielen in vielen Bereichen der Physik in Q2 und Q3 eine große Rolle. Wir werden das Thema vor allem an Schallschwingungen und Musikinstrumenten entwickeln.

P 129: Ich sehe was, was Du nicht siehst...

 22.5 Dunkle Materie

22.5.1 Entdeckung durch Zwicky

Fritz Zwicky( 1898 - 1974) war ein später in Amerika lebender Schweizer Astronom. Er führte als erster Supernovae auf einen Gravitationskollaps zurück und vermutete Neutronensterne als Folgeobjekte. Einstein untersuchte Sterne als Gravitationslinsen und verwarf die Idee, Zwicky zeigte, dass Galaxien Gravitationslinsen sein können.

 Die bedeutendste und folgenschwerste Idee hatte er 1933. Als Erster benutzte er den Virialsatz bei der Untersuchung von Galaxienhaufen und entdeckte dadurch die Dunkle Materie.

Zum Virialsatz:

Der Virialsatz stellt einen Zusammenhang her zwischen der kinetischen Energie und der potenziellen Energie eines Systems.

Wer sich mehr darüber informieren möchte, sollte einen  Post im Physik Blog lesen:

https://www.natur-science-schule.info/post/der-virialsatz-grundlegender-als-energieerhaltung

Vertiefung: Virialsatz

 

In Galaxienhaufen  ist der Mittelwert der kinetischen Energie Wkin aller Galaxien bestimmt durch den Mittelwert der potenziellen Energien Wpot.:

Wkin = -1/2*Wpot

Mit recht guter Näherung kann man die potenzielle Energie durch die Größe (Radius R) und die Masse M des Galaxienhaufens ausdrücken:

Wpot = G*M²/R, wobei G die Gravitationskonstante ist.

Um die mittlere kinetische Energie zu bestimmen, braucht man aber die Geschwindigkeit:

Für eine Galaxie der Masse m ist Wkin =1/2*m*v².

Galaxienhaufen sind aber so weit entfernt, dass wir direkt keinerlei Bewegungen erkennen können.

Aber Zwicky bestimmte die Bewegung über den sog. Dopplereffekt: Das Licht bewegter Galaxien ist röter, wenn sie sich von uns entfernen und bläulicher, wenn sie auf uns zukommen.

Der von Zwicky untersuchte Comahaufen, NASA
Jeder Lichtfleck ist eine Galaxie

 So, was musste er tun?

- Von möglichst vielen Galaxien eines Galaxienhaufens über den Dopplereffekt die Geschwindigkeit messen.

- Mittelwerte bilden.

- Damit über die bekannte mittlere Masse einer Galaxie die mittlere kinetische Energie berechnen.

- Über den Virialsatz erhält er dann die potenzielle Energie des Haufens.

- Zwicky hat mit dem Comahaufen gearbeitet. Über die Beobachtung von bestimmten veränderlichen Sternen, den Cepheiden,  in einzelnen   Galaxien war dessen Entfernung bekannt. Aus der Winkelausdehnung am Himmel konnte man somit   den Radius des Haufens berechnen. 

- Damit konnte Zwicky aus der mit dem Dopplereffekt über den Virialsatz  berechneten potenziellen Energie die Gesamtmasse des Haufens berechnen, also die Masse von allem, was im Haufen Schwerkraft erzeugt.

Zwicky erhielt für die Gesamtmasse des Comahaufens 70 Billionen Sonnenmassen.

Aus der Leuchtkraft der Galaxien kam er aber nur auf 70 Milliarden Sonnenmassen.

Das war eine Diskrepanz um den Faktor 1000.

Im Comahaufen steckt also nach Zwickys Beobachtungen 1000 Mal mehr Materie, die Schwerkraft erzeugt, als die, die wir in Form von leuchtenden Galaxien sehen.

Aus dieser gewaltigen Diskrepanz folgerte er die Existenz der Dunklen Materie, die bis zu sechsmal häufiger ist als normale Materie und genau wie diese die Schwerkraft erzeugt.

Anmerkung: Zwickys Faktor 1000 ist zu hoch. Ein Teil der Diskrepanz kann inzwischen durch intergalaktisches Gas und Zwerggalaxien erklärt werden.

Aber immer noch gilt: Die meiste Materie in einem Galaxienhaufen sehen wir nicht, es ist Dunkle Materie.

Im nächsten Post sehen wir, wie auch das 3.Keplersche Gesetz uns bei der Suche nach Dunkler Materie unterstützt.

 

P 128: Die kosmische Waage

 22.4 Massenbestimmung im Kosmos

Für die Sonnenmasse habt ihr es ja schon gemacht:

Umlaufszeit der Erde: 1 Jahr

Abstand der Erde r= 150 Millionen km.

Aber Achtung: P muss in Sekunden und r in Metern eingesetzt werden.

Wer das gemacht hat, erhält die richtige Sonnenmasse: M = 2*10^30 kg.

Jetzt müsste auch klar sein, wie man Massen im Kosmos bestimmt!

Was benötigt man?

Einen Körper, der die zu bestimmende Masse umläuft. Das kann ein Planet sein, das kann ein Mond sein, das kann ein Satellit sein, das kann ein Stern sein, der um das Zentrum der Milchstraße kreist, das kann eine Galaxie sein, die um eine andere kreist...

Wir brauchen immer die Umlaufszeit des Himmelskörpers und seinen Abstand zum Körper, dessen Masse wir berechnen wollen.

Das mit der Umlaufszeit ist schwierig, wenn ein Stern um das galaktische Zentrum kreist. Die Sonne braucht dazu 240 Millionen Jahre. Da kann man natürlich nicht warten...

Aber es gibt einen Effekt, den Dopplereffekt (den lernt ihr später kennen), mit dem kann man leicht Geschwindigkeiten von leuchtenden Objekten messen (und Geschwindigkeiten von  Autos in Radarfallen...). Kennt man die Umlaufsgeschwindigkeit v und den Abstand r, so erhält man die Umlaufsperiode P = 2* π  *r / v. Um den Abstand r, also den Bahnradius zu bestimmen, muss man allerdings die Entfernung kennen...

Also ganz so einfach ist die Massenbestimmung nicht...

Ein nicht allzu oft anwendbares Verfahren ist die sog. Gravitationsrotverschiebung: Wenn Licht von einem kompakten Objekt wegfliegt, wird es röter. Kennt man die ursprüngliche Farbe, so kann man aus der Rötung auf die Masse des Objektes schließen. Das geht insbesondere bei Weißen Zwergen.

Nun sollt ihr mal die ein oder andere Masse ausrechnen:

Wie groß ist die Masse des Jupiters?

Der Jupitermond Io umkreist den Jupiter in 1 Tag 18,5 Stunden in einem Abstand von 421600 km.

Wie groß ist die Masse der Erde?

Der Erdmond läuft in 27,3 Tage in einem mittleren Abstand von 384400 km um die Erde.

Wie groß ist die Masse des inneren Teil unserer Milchstraße?

Die Sonne läuft in 240 Millionen km in einem Abstand von 25 000 Lichtjahren um das Zentrum der Galaxis.

Der Stern S2 läuft in einem Abstand  von 4 Lichttagen in 16 Jahren um das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis.

                           

(Bild: MPE)

                                                                  

Welche Masse hat das Schwarze Loch?

(Das Ergebnis entspricht nicht genau den bekannten Werten, da die Sternbahn eine stark abgeplattete Ellipse ist. Er nähert sich dem Schwarzen Loch bis auf 18 Milliarden km.)

Hier übrigens ein Bild der Umgebung des Schwarzen Loches, erst vor wenigen Wochen veröffentlicht: