P 18: Fragen und keine Antworten

 2.2 Konzeptentwicklung

In einem Kurs würden wir jetzt Fragen sammeln und zu einem "Forschungsprogramm" (Konzept, Vorgehen)  clustern, durch das wir die folgenden Wochen gestalten.

Hier führe ich das exemplarisch vor.

Erst einmal etwas zu den Lösungen der Rechnungen:

Aus den Bildern schätzen wir den Abstand der kleinen Galaxie zum Zentrum etwa auf 100 000 Lichtjahre.

Die Eichung durch die Größenangabe der elliptischen Galaxie ist schwierig, da die Randgebiete nicht gut definiert sind.

1 Lj = 9,5 Billionen km gestattet die Umrechnung in km.

t = s/v ergibt die Flugzeit in Stunden, die kann man leicht in Jahre umrechnen. Man kommt auf etwa 49 Millionen Jahre.

Das erscheint erst einmal im Rahmen der Entwicklung eines Galaxienhaufens eine sinnvolle Zeit.

Aber haben wir die richtige Formel benutzt?

s = v*t setzt konstante Geschwindigkeit voraus.

Bei einer Fallbewegung (und das ist das ja hier), wird die Geschwindigkeit immer größer.

Deswegen schmerzt eine fallende Bowlingkugel aus großer Höhe mehr...

Dadurch verkürzt sich die Fallzeit erheblich.

Ursache der Fallbewegung ist die Anziehungskraft der zentralen Galaxie. Wir vermuten, dass diese immer größer wird, wenn die kleine Galaxie immer näher kommt. Astronauten im All werden ja auch weniger stark von der Erde angezogen.

Das verkürzt die Fallzeit noch mehr, da die Fallgeschwindigkeit bestimmt überproportional ansteigt.

Die fallende Galaxie wird immer schneller immer schneller.

Reibung bremst fallende Körper ab. Das macht man sich bei Fallschirmen zu Nutze.

Gibt es Reibung auch in Galaxienhaufen?

Ja, denn es gibt ein dünnes, kaum sichtbares intergalaktisches Gas. Das könnte durch die fallende Galaxie aufgestaut werden und bremsen.

Was müssen wir jetzt machen?

Zuerst müssen wir lernen, wie man anwachsende Geschwindigkeiten beschreibt. Aus dem Alltag kennt ihr den Begriff Beschleunigung dafür. 

Was ist eigentlich eine Beschleunigung?

Wir werden dann solche Fallbewegungen untersuchen, allerdings hier auf der Erde. Da ändern sich die Abstände zum Erdmittelpunkt beim Fallen kaum, die Beschleunigung bleibt also bestehen.

So hat Galilei das WZG für eine beschleunigte Bewegung gefunden.

Das werden wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nennen.

Anwachsende Beschleunigungen erfordern komplexere mathematische Konzepte der Integralrechnung. Das wird es als Zusatzseite geben, die ihr später bearbeiten könnt.

Ab und an kommt so etwas auch in einer Abiprüfung vor...

Eine solche Art von anwachsender Beschleunigung hat unser Universum entstehen lassen (wir nennen das dne Urknall)  und wird auch zu seiner Zerstörung führen. Auch das werden wir kennenlernen.

Wir möchten ganz konkret wissen, wie die Beschleunigung beim Fallen aus großen Abständen auf die Erde sich ändert.

Dazu beobachten wir fallende, weit entfernte,  Körper und solche in kleinen Abständen auf der Oberfläche.

Landesbildungsserver Baden-Württemberg

 

Das hat Newton auch so gemacht und das Gravitationsgesetz herausgefunden.

Man nennt das die Newtonsche Mondrechnung.

Was wissen wir heute über dieses berühmte Gesetz?

Es scheint an allen Ecken und Enden (sehr große Abstände und sehr kleine Abstände) zu versagen. Was bedeutet das für die Forschung?

Wie gehen Forschende damit um?

Und was ist eigentlich Gravitation? Wieso ziehen Galaxien sich an?

Das gibt wieder Extraseiten zu Einsteins Reltativitätstheorie, denn der hat diese Frage einem Journalisten beantwortet und die nachhaltigste Fehlinterpretation eines physikalischen Gesetzes ins Leben gerufen.  Einstein hat bedauert, dass er es so anschaulich erklärt hat...aber wir machen das trotzdem!

Ich spreche hier von der Raumkrümmung.

Wissenschaft in die Schulen

 Und dann sind wir auch bei den Schwarzen Löchern.

Verschwindet in Schwarzen Löchern alles, auch unser Wissen und unsere Erkenntnis? Oder sind Schwarze Löcher sogar so etwas wie extrem gute Informationsspeicher, die man auslesen kann?

Ist unser Kosmos sogar ein Schwarzes Loch? 

Dann wüssten wir endlich, wie es im Inneren eines Schwarzen Loches aussieht...wir müssen uns nur umsehen!

 

 

P 17: Im Sturzflug in das Zentrum

 2. Planung und Fragen

2.1 Das Problem

Unser Kosmos ist aus einem Netzwerk aus Dunkler Materie und Galaxienhaufen aufgebaut. Galaxien sind Ansammlungen von Milliarden von Sternen. Meistens bilden diese Sternsysteme große Gruppen, sog. Galaxienhaufen, in denen Tausende von Galaxien zusammenstehen.

Zwischen diesen Galaxienhaufen laufen die Netzwerkstrukturen, längs denen oft auch ganze Galaxien auf einen Galaxienhaufen zufliegen. Dort verschmelzen sie mit anderen Galaxien und bilden immer größere Sternsysteme

Auf diese Art stehen Galaxien untereinander in Kontakt. Sie sind keine einsamen Welteninseln, wie man früher dachte, sondern stark wechselwirkende Bestandteile des Kosmos. Wir merken davon wenig, denn der Zeitmaßstab in der Entwicklung von Galaxien liegt im Bereich von Milliarden von Jahren.

 Das kosmische Netz aus Galaxien und Dunkler Materie (Simulation)

Wir wollen einmal ein aktuell erforschtes System näher kennenlernen.

Einer dieser Galaxienhaufen ist der Fornaxhaufen. Er heißt so, weil er im Sternbild Chemischer Ofen (Fornax) am Südhimmel steht. Er überdeckt am Himmel ein Gebiet, das 100 mal größer erscheint als der Vollmond.

Er enthält übert 600 Galaxien, von denen etwa 60 hell und leicht zu beobachten sind. Seine Entfernung liegt bei 40 Millionen Lichtjahren. In diesem geringen Abstand ist die Lichtlaufzeit von 40 Millionen Jahren auch gleich der Entfernung von 40 Millionen Lichtjahren. 

(Das kann man bei Lichtlaufzeiten von 12 Milliarden Jahren nicht mehr sagen. Da ist der Abstand deutlich größer als 12 Milliarden Lichtjahre, da der Kosmos sich ausdehnt während das Licht unterwegs ist).

Das Bild des Fornaxhaufens ist mit den Teleskopen der Europäischen Südsternwarte ESO in Chile aufgenommen:

Mit dem 4 m Teleskop auf Cerro Tololo (auch in Chile) wurde jetzt das Zentrum des Fornaxsystems näher untersucht.

Im Zentrum stehen zwei große elliptische Galaxien. Das sind weit entwickelte Sternsysteme mit wenig jungen Sternen und fast keinen Gas- und Staubwolken. 

Sie leuchten gelblich-rötlich, da das die Farbe vieler älterer Sterne ist.

Bild: NOIRLab
 

Unten links im Bild steht eine kleine unregelmäßig geformte Galaxie (NGC 1427A)  mit vielen bläulich leuchtenden  Bereichen. Diese bestehen aus jungen heißen Sternen.

Messungen haben gezeigt, dass NGC 1427A mit einer Geschwindigkeit von 2,2 Millionen km/h auf die beiden größeren Galaxien zufliegt, angetrieben durch die von diesen ausgehende Schwerkraft.

Auch die großen Galaxien fliegen aufeinander zu.

So wie ein Stein auf die Erde fällt, fällt NGC 1427 A in das Zentrum des Fornaxhaufens.

Aufgabe 1: Schätzt einmal ab, wie lange NGC 1427 A für den  Flug in das Zentrum braucht.

  Hilfe: Die obere der beiden elliptischen Galaxien hat ungefähr einen Durchmesser von 35 000 Lichtjahren (das erhält man aus der Größe am Himmel und der Entfernung).

Aufgabe 2: Bewertet das Ergebnis.Ihr habt sicherlich mit der Formel s = v*t gerechnet.

                    Dürft ihr die hier verwenden? Was begrenzt die Genauigkeit eurer Rechnung?

Wenn euch die Antwort schwer fällt: Lasst euch mal eine Bowlingkugel aus 5 cm Höhe  und dann aus 1,5 m Höhe auf den Fuß fallen. Notiert euch die Antwort, möglichst bevor der Krankenwagen kommt....

Und nun kommt die eigentliche Aufgabe:

Stellt Fragen, deren Antworten euch helfen könnten, einen richtigen Rechenweg zu finden.

Wichtig: Wir wollen nur die Fragen haben, nicht die Antworten.

Gute Forscher/innen können Fragen entwickeln...

Könnt ihr somit sagen, was wir alles in den nächsten Posts besprechen müssen?

Im nächsten Post diskutieren wir über mögliche Fragen und legen die nächsten Schritte unseres Mechanikkurses fest.

In einer echten Klasse würdet ihr dann diese Fragen durch eigene Recherchen selbst beantworten. Hier führe ich euch durch die Antworten durch, aber ihr könnt es auch allein probieren.

Aber erst einmal: Fragen, Fragen, Fragen...

Zusatzmaterial:

Im Video findet ihr noch mehr Infos über das Fornaxsystem:

Und hier zoomt die Kamera in den Fornaxhaufen hinein. Am Anfang sieht man links das Band der Milchstraße, daneben die beiden Magellanschen Wolken (sie sind vergleichbar mit NGC 1427 A, nur fliegen sie in unsere Galaxis rein....).

 

 

P 16: Schnelligkeit - Geschwindigkeit

 1.9 Schnelligkeit - Geschwindigkeit

Wir wenden uns bald den beschleunigten Bewegungen zu. Da geht es um Änderungen von Geschwindigkeiten.

Da ist leider der deutsche Sprachgebrauch nicht einheitlich exakt.

Unter Geschwindigkeit sollte man den Geschwindigkeitsvektor v verstehen, also die Größe, in die auch die Richtung eingeht.

Wenn man nur den Betrag des Vektors meint, also darüber reden möchte, wie schnell ein Körper, unabhängig von seiner Richtung, ist, so sollte man von der Schnelligkeit v sprechen.

Das ist nicht immer üblich...und ich weiß auch nicht, ob ich das in diesem Blog durchhalte...

Aber es hilft, wenn man beim Lesen des Wortes Geschwindigkeit überlegt, ob der Vektor oder die Schnelligkeit gemeint ist.

Wir hatten mal das Beispiel der gleichförmigen Bewegung einer Sekundenzeigerspitze. Diese erfolgt mit konstanter Schelligkeit. Die Geschwindigkeit ändert sich aber ständig (weil ja der Vektor immer in andere Richtungen zeigt).

Obwohl also die Schelligkeit bleibt, gilt diese Kreisbewegung  als beschleunigte Bewegung.

Übrigens, im englischsprachigen Raum ist man oft konsequenter: Speed steht für Schnelligkeit und mit velocity meint man den Vektor.

Noch eine ergänzende Bemerkung zur Addition:

Addiert man Schnelligkeiten, so werden einfach Zahlen addiert: 30 km/h + 20 km/h = 50 km/h.

Addiert man Geschwindigkeit(svektoren), so werden die einzelnen Komponenten adddiert und zum neuen Geschwindigkeitsvektor zusammengesetzt: 

Diese einfachen Regeln gelten aber nur, wenn alle Schelligkeiten unter 10% der Lichtgeschwindigkeit liegen.

Aufgabe:

 

Zeichnet beide Vektoren in ein Koordinatensystem. 

a) Berechne die Summe und trage auch den Summenvektor ein.

b) Vektoren kann man auch durch "Kräfteparallelogramme" graphisch addieren. Überprüf das an diesem Beispiel. Dazu musst Du Pfeile verschieben.

Wenn Du alles richtig gemacht hast, stimmen Rechnung und Konstruktion überein.

c) Fasse die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren in m/sec auf. Wie groß sind die drei Schnelligkeiten?

Da passt was nicht...Wieso?

Gerne im Forum diskutieren....

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Discord Forum 

Und wir wenden uns den Beschleunigungen zu...

P 15: Wir fordern Unabhängigkeit!

 1.8 Das Superpositionsprinzip

Ihr habt (intuitiv) dieses wichtige Prinzip der Physik schon angewandt.

Ich nenne es euch erst einmal. Dann überlegt, wobei ihr das schon ausgenutzt habt.

Dann werde ich die Grenzen dieses Prinzips aufzeigen. Und dann versteht ihr auch den Titel dieses Posts.

 

Superpositionsprinzip oder Unabhängigkeitsprinzip von Bewegungen

 Setzt sich eine Bewegung aus zwei Teilbewegungen zusammen, so spircht man von einer Überlagerung oder Superposition.

Nennt Beispiele aus unseren bisherigen Posts.

Führt ein Körper mehrere Teilbewegungen aus, so überlagern (superpositionieren) sich diese Teilbewegungen unabhängig voneinander zu einer resultierenden Teilbewegung.

Ganz konkret bedeutet das: Die Teilbewegungen beeinflussen und stören sich nicht gegenseitig.

Auch hier nenn bitte Beispiele!

Beispiel Flußüberquerung:

Wir können die Überquerungszeit unabhängig von der Strömung des Flusses ausrechnen und dann damit die Bewegung längs des Flusslaufes bestimmen.

So haben wir die Übungsaufgabe gelöst.

Aber: Bei einem stark strömenden Fluß strengt die Überquerung deutlich mehr an, der Schwimmer wird langsamer und braucht länger.

In der Praxis gilt das Prinzip der ungestörten Überlagerung nicht unbedingt immer. Dann wird aber die Berechnung schwierig.

Beispiel Flugzeug und Wind

Wir haben die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten addiert und dann wieder zur neuen resultierenden Geschwindigkeit zusammengesetzt.

Funktioniert sicher ebenfalls bestens, so lange bei orkanartigen Stürmen keine Turbulenzen auftreten.

Beispiel Eisenbahnfahrt

Wenn ich in einem Zug in Fahrtrichtung durch den Wagon gehe, addieren sich die Geschwindigkeiten von mir und dem Zug zur resultierenden Geschwindigkeit.

Dies gilt auch in sog. relativistischen Zügen bei nahezu Lichtgeschwindigkeit, nur wird eine andere Additionsformel benutzt.

Waagerechter Wurf:

Wir werden bald ein weiteres Beispiel kennenlernen:

Ein waagerecht abgeworfener Körper kommt in der gleichen Zeit am Boden an, wie ein Körper, den man gleichzeitig einfach nur fallen lässt.

Ihr merkt schon:

Das Unabhängigkeitsprinzip erleichtert uns die Beschreibung und Analyse von Bewegungen. Es ist eine Vorgabe von uns an die Art der Beschreibung der Natur, nicht aber eine Grundeigenschaft der Natur.

Im Gegenteil...in der Regel verlaufen alle Prozesse der Natur chaotisch, d.h. Abläufe und Komponenten beeinflussen sich gegenseitig.

Seit etwa 20 Jahren ist diese Chaosphysik eine gesicherte Erkenntnis unserer Naturbeschreibung.

Chaotische Systeme streben aber häufig auf stabile Zustände hin. Die können wir dann gut mit unseren einfachen Methoden beschreiben.

Ein berühmtes Beispiel ist das Dopppelpendel:

Zwei Pendel hängen aneinander. Die beiden Bewegungen beeinflussen sich gegenseitig und können schon nach kurzer Zeit nicht mehr vorhergesagt werden.

Das zeigt die Animation von Wikipedia schön: 

Man spricht von einer gegenseitigen Rückkopplung auf die jeweils andere Bewegung.

Die mathematische Beschreibung funktioniert aber weiterhin. Man muss sog. gekoppelte Differenzialgleichungen benutzen.

Die eine Bewegung ist nicht unabhängig von der anderen, die Überlagerung verläuft chaotisch.

So etwas tritt immer auf, wenn Quadrate oder Sinus-Funktionen in den WZG vorkommen.

Wir werden sicher später mehr auf solche Systeme eingehen, allerdings ohne Mathematik....

Übrigens: Das Feuern der Neuronen im Gehirn erfolgt auch chaotisch. Stabile Zustände nennen wir Gedanken. 

Dann bringt das Chaos in euren Gehirnen mal zur Ruhe, macht euch Gedanken zum Thema und notiert euch eure Erkenntnisse.

P 14: Lösungshinweise

 Aufgabe 1:

Die Skizze ist nicht maßstäblich!

 Da die Windgeschwindigkeit nach SO geht, also unter 45° gegen O oder S, kann man leicht die Südkomponente und die Ostkomponente ausrechnen: 50 km/h * cos bzw.sin 45° = 50 km/h * 0,7 = 35 km/h

Damit beträgt die Nordkomponente der Flugzeuggeschwindigkeit 150 - 35 = 115 km/h, die neue Ostkomponente ist 35 km/h.

Über den Satz des Pythagoras erhält man das Quadrat der Geschwindigkeit v² = 115² + 35².

Die Wurzel ergibt 120,2 km/h.

Das kann man auch konstruieren:

Windgeschwindigkeit in S- und O-Komponente zerlegen, S-Komponente von der N-Geschwindigkeit des Flugzeuges abziehen und Resultierende mit O-Komponente des Windes bilden (gelbe Hilfslinien in Skizze). 

Um die Abweichung vom Nordkurs durch den Wind auszurechnen, muss man entweder maßstäblich genau zeichnen und den Winkel ausmessen, oder mit dem cos-Satz arbeiten: Man erhält 17°.

50² = 150² + 120² - 2* 150*120*cos α

(PS: Ich neige zu Rechenfehlern...wenn jemand etwas anderes heraus hat, muss es deshalb nicht gleich falsch sein....bitte im Forum zur Diskussion stellen...).

Aufgabe 2:

Die Skizze macht deutlich, dass man erst einmal die Entfernung von Lichtjahren in km umrechnen muss.

 

Aus dem EB-Winkel pro Jahr erhält man die TG in km/Jahr mit Hilfe der Tangensfunktion (TG als Gegenkathete ist gesucht):

Man kommt mit tan(0,00063°) auf 3470 Millionen km/Jahr  (das ist mehr als 20 Mal die Entfernung Erde-Sonne).

Da 1 Jahr ungefähr 31,6 Millionen Sekunden sind, erhält man dafür 109,8 km/sec.

Nun kann man über die RG von 5 km/sec mit Hilfe des Satzes vom P. die Raumgeschwindigkeit ausrechnen. Man erhält 109,9 km/sec.

Arkturus fliegt zwar etwas in unsere Richtung, aber er wird voll an uns vorbeirasen...

 Die Aufgabe habe ich gestellt, weil der astronomische Hintergrund nicht gerade uninteressant ist. Aber vor allem, damit man mal übt mit "unhandlichen" Zahlen zu arbeiten...

Aufgabe 3:

Ich hab keine Ahnung von Sport, merke aber gerade, dass mein Schwimmer wohl recht flott ist...wenn euch das stört...ersetzt Schwimmer durch Boot...

Skizze:

Resultierende Geschwindigkeit erhält man durch Wurzel ziehen aus v² = 2² + 3². Es ergibt sich 3,6 m/sec

Da der Fluss 30 m breit ist, benötigt der Schwimmer 15 sec für die Durchquerung.

In dieser Zeit nimmt ihn der Fluss 45 m weit mit.

Er wird also 45 m weiter flußabwärts vom Startpunkt das andere Ufer erreichen.

Vielleicht sind einige jetzt verwundert...beeinflusst denn die Strömung überhaupt nicht die Überquerungszeit?

Da steckt ein wichtiges Prinzip dahinter, das wir im nächsten Post kennenlernen sollten.

 

Hinweis: 

Ich habe mich bemüht, keine abzuschreibende Lösungen anzugeben, sondern Hinweise. Bitte schreibt euch einen eigenen Lösungsweg in euer Heft.

Im Unterricht beantworte ich nur Fragen, bespreche Lösungswege, schreibe aber nur ganz wenig an die Tafel. So sind alle gezwungen, ihre Lösungen zu überarbeiten.

Dafür können dann noch einmal später Fragen gestellt werden.

Nicht das Abschreiben einer Lösung hilft, sondern das selbst darstellen, auch wenn die Lösungsidee nicht von einem selbst kommt. Aber man kann sie sich zu eigen machen!

P 13: Eine kosmische Kollision:Die Andromedagalaxie knallt in unsere Milchstraße rein

Wie bestimmt man die Komponenten eines Vektors:

Man projiziert den Vektor auf die Koordinatenachsen. In den üblichen rechtwinkligen Koordinatensystemen der Schule (kartesische Koordinaten) erhält man dann rechtwinklige Dreiecke mit dem Vektor als Hypotenuse und der x-Komponente als Ankathete des eingezeichneten Winkels. Die y-Komponente ist die Gegenkathete.

Damit ist klar, dass der Sinus und der Cosinus die Verhältnisse der Komponenten zur Länge des Vektors beschreiben:

Das habe ich in die letzte Abbildung eingetragen. Solltet ihr auch in euren Zeichnungen ergänzen.

Hier haben wir gesehen, wie man einen Geschwindigkeitsvektor in seine Komponenten zerlegt, wenn man den Winkel kennt.

Umgekehrt kann man leicht über den Satz des Pythagoras auch aus den Komponeten die Geschwindigkeit ausrechnen:

v² = a² + b²

Auch das kommt häufig vor (z.B. beim shchefen Wurf).

Extrafutter:

Ich kann es mir nicht verkneifen...(das hat hier nichts mit Schulstoff zu tun!).

In rechtwinkligen Koordinatensystem ist die Projektion eines Vektors auf die Achsen eindeutig. Wie sieht es aus, wenn die Achsen nicht senkrecht zueinander stehen?

Das ist in der Relativitätstheorie der Fall. Dann erhält man zwei Möglichkeiten, die zweite ist die sog. kovariante Darstellung des Vektors.

Probiert es mal aus...

1.7.3 Komponenten von Geschwindigkeitsvektoren

Wir werden die Bedeutung gleich an einigen Aufgabenbeispielen kennenlernen.

Die x-Komponten der Geschwindigkeit vx  (x soll ein Index sein, also etwas tiefer stehen), gibt an, wie schnell der Gegenstand, nur gemessen längs dieser Richtung, ist.

Das gilt entsprechend auch für die y-Komponente.

Ein einfaches Beispiel:

Ein Flugzeug fliegt mit 800 km/h (relativ zum Boden) Richtung NO. 

a) Wie groß ist seine Geschwindigkeit Richtung Norden?

b) Wie weit Richtung Osten ist das Flugzeug nach 2 Stunden gekommen?

Hier schauen wir uns mal gemeinsam die Lösung an:

a) NO bedeutet 45° von der Ostrichtung aus nach Norden. Wir wählen die Ostrichtung als x- Achse und die Nordrichtung als y-Achse. Mach eine Skizze!

Dann ist unser Winkel, der die Flugrichtung beschreibt,  45°.

Für die Nordrichtung benötigen wir den Sinus dieses Winkels (~ 0,71).

Also gilt für die Geschwindigkeitskomponente nach Norden: 800 km/h * 0,71 = 565,7 km/h

b) Um die Flugstrecke nach Osten auszurechnen, benötigen wir die Geschwindigkeitskomponente nach Osten. Dazu müssen wir den Cosinus nehmen. Bei 45°  erhalten wir für cos und sin den gleichen Wert.

Also ist das Flugzeug nach 2 Stunden 1131,4 km weiter im Osten, obwohl es 1600 km weit geflogen ist..

Rechne mal nach, schreib die Formeln hin und zeichne eine Skizze.

1.7.4 Aufgaben und Beispiele

Aufgabe 1) 

Ein kleines Flugzeug fliegt mit 150 km/h nach Norden. Dann kommt ein Sturm auf, der genau nach Südosten bläst, und zwar mit 50 km/h.

a) Zeichne die Geschwindigkeitsvektoren in ein geeignetes Koordinatensystem (maßstäblich korrekt) und konstruiere, wie beim Kräfteparallelogramm, die resultierende Geschwindigkeit, ihre Stärke und ihre Richtung.

b) Berechne die resultierende Geschwindigkeit aus den Angaben.

c) Vergleiche Rechnung und Zeichnung (es sollten 120 km/h herauskommen)

d) Unter welchem Winkel kommt das Flugzeug vom vorherigen Nordkurs ab?

e) Wie stark reduziert sich die Geschwindigkeitskomponente Richtung Norden?

Denkt dran, ihr könnt eure Lösungen im Forum vergleichen und diskutieren.

Ein Tipp: 

Kennt man alle x- Komponenten, so kann man diese einfach zur resultierenden x-Komponente aufaddieren. So erhält man auch die resultierende y-Komponente.

 

Aufgabe 2) 

Bei Sternen am Himmel unterscheidet man zwischen Eigenbewegung EB, Tangentialgeschwindigkeit TG  und Radialgeschwindigkeit  RG. Durch die EB verschiebt sich der Stern in Jahrzehnten am Himmel. Das gibt man als Winkel pro Jahr an. Kennt man die Entfernung des Sternes, kann man daraus  die Geschwindigkeit der EB, also die TG,  ausrechnen.

Das Bild zeigt den Anblick des Sternbidles Großer Wagen vor 50 000 Jahren, heute sowie in 50 000 bzw.100 000 Jahren (dlf). Die Verschiebungen der Sterne kommen durch unterschiedliche EB.

 

 

 

 

 

Die Radialbewegung zeigt in Richtung unserer Blicke, also auf uns zu oder von uns fort. Sie kann man durch eine Änderung der Wellenlänge des Lichtes (Dopplereffekt) recht einfach herausfinden.

Die Abbildung  (wikipedia) erklärt das gut.

 

 Hier ist allerdings eine Galaxie als Objekt genommen. Die EB von Galaxien sind extrem klein, erst das HubbleSpaceTeleskop war in der Lage vor wenigen Jahren die EB der Andromedagalaxie zu messen. Jetzt wissen wir, dass in 5 Milliarden Jahren unsere Galaxis und die Andromedagalaxie sich wirklich durchdringen werden!

Aber keine Angst...vorher wird die Sonne zum Roten Riesen und verglüht unsere Erde... 

Vielleicht können eure Ururururururur...enkel vom Mars aus zusehen...

Galaxien-Crash Computersimulation, dlf

Nun die Aufgabe:

Der Stern Arkturus zeigt eine EB von 2,28"/Jahr (Bogensekunden pro Jahr, 60" = 1`(Bogenminute, 60`= 1°), das sind also 0,00063°/Jahr.

a) Arkturus ist 36,66 Lichtjahre entfernt (1 Lichtjahr = 9,463 Billionen km). Berechne seine EB-Geschwindigkeit in km/sec, also sein TG.

b) Die RG von Arkturus beträgt - 5 km/sec, d.h. er kommt auf uns zu. Berechne seine Raumgeschwindigkeit.

c) Kann er die Sonne treffen?

Aufgabe 3)

Ein Schwimmer schafft eine Geschwindigkeit von 2 m/sec. Der Fluß, den er überqueren will, strömt mit 3 m/sec nach rechts. Er ist 30 m breit und fließt geradeaus.

Mit welcher Geschwindigkeit schwimmt er? Wo am gegenüberliegenden Ufer kommt er an?

Mache eine Skizze der Situation.

Hinweis Ferienworkshop 2021

 

P12: Geschwindigkeiten haben Richtungen!

 1.7 Vektoren

1.7.1 Etwas Mathematik

Ich stelle euch den Vektorbegriff erst einmal an einem bekannten Beispiel vor. Wegen der besonderen Schreibweise, die der Blog-Editor nicht kann, muss ich das in Word schreiben und als Bilderfolge hier kopieren...

Überlege Dir weitere Größen, die Vektoren sind und weitere Größen, die Skalare sind.

 

Mehr zu Vektoren, aber nur für Spezialisten, Nerds oder Neugierige 

 

 Schauen wir uns das nochmal an, was wir jetzt verstehen müssen:

Da wir die Koordinatenachsen mit x und y bezeichnen, nehme ich jetzt a und b als Koordinaten:

a ist die x-Koordinatenangabe und b die y-Koordinatenangabe von Punkt oder Vektor.

Bitte die Skizze selbst ins Heft zeichnen und erläutern!

Kräfte und Geschwindigkeiten haben eine Richtung, deshalb sind sie Vektoren.

Bezeichnen wir einen Vektor mit mit v, so bezeichnen wir die Länge des Vektorpfeiles nur mit dem Buchstaben v. Wir sprechen manchmal statt von der Pfeillänge auch vom Betrag des Vektors.

Bei den Kräften war das einfach die Stärke der Kraft, unabhängig von der Richtung.

1.7.2 Vektorkomponenten

Ihr habt früher bestimmt Komponenten der Kraft konstruiert, vielleicht sogar berechnet.

Im Bild ganz oben im Post seht ihr das am Kräfteparallelogramm.

Das geht natürlich mit jedem Vektor:

a ist die x-Komponente unseres Vektors v und b die y-Komponente des Vektors v.

Wie kann man die Komponenten eines Vektors berechnen?

Schaut euch mal das folgende Bild an und sucht eine Antwort!

Auch hier: Selbst abzeichnen und erläutern.

Erklärt einmal, wie man wann aus einem Vektor dessen Komponenten bestimmen kann.

Da tauchen so Begriffe auf wie rechtwinkliges Dreieck, Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse....

 😭

 Und dann: Welche Bedeutung haben die Komponenten des Geschwinidigkeitsvektors?

Könnt ihr euch ein praktisches Beispiel und eine sinnvolle Rechenaufgabe dazu überlegen?

Wir reden im nächsten Post darüber... 

P11: Wenn s proportional zu t ist

 1.6 Die gleichförmige Bewegung

1.6.1: Das Weg-Zeit-Gesetz

Nach allen Vorbereitungen ist der Schritt zur gleichförmigen Bewegung nun sehr klein...

Gleichförmig heißt: Mit gleichbleibender Geschwindigkeit

Symbolhaft schreibt man oft: v(t) = v = const. und meint damit, dass sich die Momentangeschwindigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert.

Die Geschwindigkeit gibt an, um wieviel Meter man pro Sekunde weiter kommt...und wenn sie konstant ist, dann muss s gleichmäßig mit t anwachsen.

Achtung: Ich habe gleichmäßig anwachsen gesagt, nicht proportional!

Ist euch der Unterschied aus der Mittelstufenmathematik bekannt?

In P1 habe ich dazu ja schon eine Anregung zu eigenen Untersuchungen gegeben:

 Untersuche Bewegungen mit (möglichst) konstanter Momentangeschwindigkeit. Wie hängt der zurückgelegte Weg s von der benötigten Zeit t ab? Die Antwort kannst Du Dir sicher überlegen, noch schöner wäre es, wenn Du eine Messreihe machst, mit der Du Deine Überlegung überprüfen kannst.

 Das ist gar nicht so leicht durchzuführen...man müsste ja eigentlich schon eine konstante Geschwindighkeit haben, um die Messungen von s und t auszuführen...

Einige Jugendliche haben mich da mal komplett überrascht...

Sie haben die Spitze des Sekundenzeigers einer analogen Wanduhr verfolgt. Den Kreisbogen, auf dem die Spitze des Zeigers sich bewegt, haben sie bestimmt  (kann man entweder aus der Zeigerlänge berechnen oder mit einem Seilstück messen), und wo der Zeiger alle 5 Sekunden sein muss , war irgendwie sofort klar...

Künstliche Versuchsumgebung (aber hilfreich!):

In Leifiphysik gibt es auch eine Experimentiermöglichkeit:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gleichfoermige-bewegung/grundwissen/charakterisierung-der-gleichfoermigen-bewegung

Hier der direkte Link:

v = const

Startet man zum Zeitpunkt t = 0 sec am Ort s = 0 m, so erhält man als WZD eine Ursprungsgerade mit der Gleichung s(t)  = v * t,  v = const.

Dies ist das Weg-Zeit-Gesetz WZG der gleichförmigen Bewegung.

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz GZG ist einfach v(t) = const. 

1.6.2 Erste Begegnung mit der Quantenwelt:

Um die Bewegung eines Körpers in unserer Umgebung genau zu bestimmen, müssen wir seinen Ort s(t) und seine Geschwindigkeit v(t) kennen.

Wir benötigen also das WZG und das GZG!

Damit werden wir bald richtige Flugbahnen berechnen.

Und solche Flugbahnen von Gegenständen gibt es wirklich, denn sonst hätten unsere Vorfahren kaum Nahrungsquellen mit Pfeil und Bogen erledigen können...

In Q3 werdet ihr dagegen lernen, dass im Mikrokosmos genau das nicht geht. Da gibt es keine Flugbahnen von Objekten, denn man kann nicht gleichzeitig einen Ort und eine Geschwindigkeit angeben.

Entweder hat ein Elektron einen Ort, dann existiert keine Information über die Bewegung...oder wir kennen alle Bewegungsinformationen, dann besitzt das Elektron keinen Ort.

Besonders irre: Es ist nicht so, dass wir nur den Ort nicht kennen...der existiert wirklich nicht nicht als Eigenschaft unserer Welt.

Das wurde von Werner Heisenberg 1936 auf Helgoland entdeckt. Wir nennen es die Unbestimmtheitsbeziehung.

Physik in Q3 wird richtig spannend. Man lernt da etwas über die Realität der Welt.

Auch dazu gibt es einen Unterrichtsblog:

 https://physikkursq3lichtundquanten.blogspot.com/

Quantenmechanik (Q3)

 Um es noch mal klar zu sagen:

In de rklassischen (newtonschen) Mechanik sind WZG und GZD die bestimmenden Regeln. In der Quntenmechanik  können sie nicht eingesetzt werden.

Da sollte erst einmal als Hinweis auf die verrückte Quantenwelt reichen.

1.6.3 Achtung! Aufgepasst!

Der Graph einer gleichförmigen Bewegung im WZD ist eine Gerade.

Aber: Nicht jede Gerade gehört zu einer Proporionalität...nur Geraden, die durch den Urspung gehen.

Ganz konkret:

Fall 1: s(t) = 5 m/sec * t:

Dieser Graph geht durch den Ursprung, s und t sind zueinander proportional.

Das bedeutet: Verdoppelt oder verdreifacht sich die Zeit, so tut das auch der zurückgelegte Weg.

                        Der Quotient aus Weg und Zeit ist immer gleich!

                         Wie nennen wir den Quotienten s/t nochmal??? 

                         Könnt ihr das mit dem Quotientenkriterium für proportionale Zuordnungen verbinden,  das ihr in der Klasse 7 in Mathe kennengelernt habt?

 

Fall 2: s(t) = 5 m/sec * t + 500 m

Diese Gleichung gehört nicht zu einer  Proporionalität. Für t = 1 sec erhält man s= 505 m, für t = 2 sec dagegen 510 m.

510 m sind bekannterweise nicht doppelt so lang wie 505 m....

 Da muss man gut aufpassen...

Im  zweiten Fall kann man nur sagen: Es liegt ein linearer Zusammenhang zwischen s und t vor, aber keine Proportionalität.

Wir neigen dazu, alle linearen Zusammenhänge mit proporional zu bezeichnen. Das geht aber nur für diejenigen, die mit (0,0) anfangen...

Ihr müsst also genau aufpassen, wenn ihr einen linearen Zusammenhang als proportional bezeichnet.

Jeder proportionale Zusammenhang ist linear, aber nicht jeder lineare Zusammenhang ist proportional (nur diejenigen, für die.....)

 Das hat schon manchen Abiturienten Punkte im Abi gekostet.

 

Ich werde bald eine Zusatzseite zu Proportionalitäten und Antiproportionalitäten schreiben. 

Da könnt ihr das nochmal zusammenhängend durcharbeiten.

Im nächsten Post müssen wir auf die Richtung von Bewegungen eingehen. Da bekommen wir dann einen kurzen ersten Kontakt zur Allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein.

P10: Noch zwei Lerntipps...

 Lerntipps:

 

Ich habe euch eine kleine Animation präsentiert. Natürlich hätte ich euch auch das fertige Bild zeigen können.

Besser aber ist es, die Entstehung eines solchen Bildes als Film zu erleben.

Unser Gehirn speichert gerne Filme ab...viel lieber als statisch präsentierte Formeln.

 Ihr müsst aber jetzt nicht zu jedem Diagramm einen Film drehen...

Viel zu aufwändig, und einen Oscar bekommt man eh nicht...

Aber: Wenn ihr soche Diagramme mal selbst zeichnet, dann produziert ihr einen filmischen Ablauf im Gehirn. Die Videokamera Auge ist mit der Speicherkarte Großhirn direkt verbunden und der Hypocampus steuert das Gefühlskino dabei zu.

Viele kopieren sich Bilder aus dem Internet und fügen sie per Mausklick irgendwo ein... Dabei passiert im Gehirn gar nichts...

Erst wenn  ihr selbst mit Papier und Stift diese Bilder zeichnet, setzen die Lern- und Vernetzungsvorgänge im Gehirn ein.

Das sind dann gut investierte Arbeitsminuten.

 

Und:

Habt ihr die Gefahr einer Lern-Interferenz im letzten Post entdeckt? 

Wir haben die Geschwindigkeit als Steigung in einem WZD eingeführt...ihr kennt Geradensteigungen m in x-y-Koordinaten.

y = m * x  hat die gleiche Bedeutung wie s = v * t 

Steigungsdreiecke liefern Geschwindigkeit v und Geradensteigungen m.

Nicht jede Geradensteigung ist eine Geschwindigkeit (aber durchaus eine Pro-Angabe), aber jede Geschwindigkeit ist eine Geradensteigung.

Wenn ihr dies eurem Hippo im Kopf nicht klar macht, sieht er nur: v = m??? Unsinn! 

Hippo an Großhirn: Löschen!

Also: Hippo trainieren...

 

 

P9: Das kennt man doch...

 Nachdem wir nun die Lösungen verdaut haben, setzen wir das Kapitel

1.5 Weg-Zeit-Diagramme

fort.

Übrigens: Es ist oft auch üblich, die waagerechte Achse zuerst zu nennen  (so wie x-y-Koordiate), dann würde man vom t-s-Diagramm, vom Zeit-Weg-Diagramm sprechen.

Ich benutze die ältere Version WZD.

Wenn ihr noch unsicher seid, dann geht einmal zu Leifi-Physik:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gleichfoermige-bewegung/grundwissen/geschwindigkeit-bei-gleichfoermiger-bewegung

Herstellung von WZD

 Hier könnt ihr in einer Animation verfolgen, wie WZD von drei unterschiedlich schnellen Körpern erzeugt werden und auch wie die Geschwindigkeiten berechnet werden. 

Ich denke, es ist auch klar, dass man am Verlauf der Kurve im WZD die Geschwindigkeit abschätzen kann:

Je steiler die Kurve im WZD verläuft, desto größer ist die Geschwindsigkeit.

Begründung:

Wenn die Kurve steil verläuft, dann legt man in kurzer Zeit eine große Strecke zurück. Und das bedeutet: hohe Geschwindigkeit.

Wie kannst Du das an den folgenden beiden WZD erkennen?

 Mit dieser Idee kann man nun genau angeben, wie man eine Geschwindigkeit aus einem Graphen des WZD bestimmt.

Zur Erinnerung: Wir brauchen zwei Messpunkte, an denen wir sowohl Zeiten als auch Orte (Wege) ablesen können.

Schau Dir mal die folgende kleine Animation an und erkläre, wie man Geschwindigkeiten in einem WZD bestimmt:

Übertrage das letzte Bild in Deine Aufzeichnungen!

Kannst Du nun erklären, wie wir unsere Beschreibung: "Geschwindigkeit ist der Wegunterschied pro Zeit" nun mathematisch als die grün eingerahmte Formel erhalten haben?

Später schreiben wir in Kurzform: v(t) = ds/dt = d s(t) / dt

Bitte merke Dir die Formeln gut und notiere sie Dir.

Und vielleicht schaust Du jetzt nochmal in den oben angegebenen Link zu Leifi-Physik...genau das haben sie dort gemacht:

Herstellung von WZD

Eigentlich haben wir überhaupt nichts Neues gelernt.

Das Dreieck, welches wir an die Gerade gezeichnet haben, habt ihr in Mathematik als Steigungsdreieck bezeichnet.

Und die Geschwindigkeit unserer Bewegung ist schlichtweg die Steigung der Geraden im WZD.

Geschwindigkeiten sind die Steigungen im WZD!

Das gilt auch, wenn keine Geraden vorliegen. Wie man dann die Steigungen bestimmt, lernt ihr bald in Mathe (Differenzialrechnung), vielleicht gibt es auch hier einen Post dazu.

Immerhin gibt es diesen Blog jetzt seit drei Wochen, das sind 6 bis 9 Unterrichtsstunden, mehr sollten wir diese Woche also nicht mehr machen.

Aber zwei Lerntipps gibt es noch, kann man immer gebrauchen...

Als nächstes werden wir uns sehr genau mit Bewegungen beschäftigen, die eine konstante Geschwindigkeit haben.

Und dann gibt es einen Zusatz für zukünftige Leistungskurse: Wir beschreiben Geschwindigkeiten mit Pfeilen und führen den Begriff der Schnelligkeit ein.

Am Wochenende schreibe ich weiter.

P8: Lösungen

1) Vogelaufgabe

Hier kann man natürlich versuchen für jeden Flug die Strecke auszurechnen... und dann alle diese Strecken addieren...

Aber einfacher geht es so:

Die beiden Züge sind 60 km entfernt und fahren mit je 30 km/h aufeinander zu, d.h. sind 1 Stunde unterwegs.

Diese Stunde hat der Vogel Zeit zum Hin- und Herfliegen. Das macht er mit mit 60 km/h, also legt er 60 km zurück.....

Ausruhzeiten und Wendemanöver verkürzen die Strecke, aber die sollten wir ja vernachlässigen. Ob das dem Vogel Recht ist, war nicht gefragt...

2)

Man muss die Gesamtstrecke (2*60 km + 4* 80 km) ausrechnen und durch die Gesamtzeit teilen (8h). Ergebnis: 93,33 km/h

Mathematiker bilden aber auch den sog. gewichteten Mittelwert: (2*60 + 4*80)/(2+4) mit den Fahrzeiten als Gewichtsfaktoren...das ist aber genau die gleiche Rechnung...

3)

Die Frage habe ich korrigiert: Naheliegender ist es zu fragen, warum nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit 45 km/h herauskommt, das wäre ja das Mittel aus 30 und 60.

Wenn es unterschiedliche Zeiträume oder Strecken sind, kann man nicht einfach die Geschwindigkeiten mitteln.

Man muss erst die Gesamtfahrzeit ausrechnen: 2 Stunden und dann die Gesamtstrecke (40+40=80 km) durch diese Fahrzeit teilen. Dann kommt man auf 40 km/h als Mittelwert. 

Weg-Zeit-Diagramme:

A: Mit konstanter Geschwindigkeit

B: Langsam voran gehen, stehen bleiben, schneller zurück gehen

C: Langsam vorangehen, stehenbleiben, schneller weitergehen

D: Bei einem entfernteren Ort mit konstanter Geschwindigkeit losgehen

E: Von einem entfernten Ort mit konstanter Geschwindigkeit zurückgehen

F: Immer schneller werden, dann aber eine konstante Geschwindigkeit

G: Abbremsen und Stehen bleiben

H: An einem Ort verschwinden und im gleichen Moment woanders auftauchen

>>> Kennen wir im Alltag leider nicht, aber in der Quantenmechanik ist das möglich (Teleportation)

J: Zu einem Zeitpunkt überall sein

>>> Kennen wir auch nicht, aber für Lichtteilchen (Photonen) ist das Alltag...für sie vergeht keine Zeit und in ihrer Eigenzeit gerechnet sind sie überall...

K: In der Zeit rückwärts laufen

>>> Zeitreisen kennen wir nicht, aber Feynman interpretiert Antimaterie als in der Zeit rückwärtslaufende Materie.

Da es auf 1 Milliarden Anti-Materieteilchen (1 Milliarden + 1 Materieteilchen) gibt, erklärt das vielleicht, warum für uns die Zeit vorwärts läuft...

L: Alle drei Bewegungen haben die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit...die eine ist abgebremst (oben), die andere beschleunigt (unten), die mittlere hat diese Durchschnittsgeschwindigkeit ständig als Momentangeschwindigkeit.

M: Diese Bewegung geht hin und her...das ist eine Schwingung.

Neue Aufgabe:

Überlegt euch einmal, wie man am WZD die Geschwindigkeit eines Körpers ablesen kann und verbindet das mit dem, was ihr in der Mathematik gelernt habt.

P7: Weg und Zeit

 Zuerst einmal ein Hinweis: Im Präsenzunterricht kaue ich natürlich nicht alles noch mal vor, wenn ich eine Aufgabe wie in P1 gestellt habe. Da kriege ich durchaus mit, wer wobei Probleme hat und da kann ich coachen und individuell helfen.

Hier online geht das nicht und deshalb bearbeite ich alle Aufgaben dann nochmal selbst.

Ich rate euch aber, das zu ignorieren und es wirklich  einmal allein zu versuchen! Dann könnt ihr ja meine Antworten durcharbeiten und eure damit ergänzen.

Und nun zum nächsten Post:

 1.5 Weg-Zeit-Diagramme

Auch hier möchte ich euch erst nur eine Aufgabe stellen.

Wir registrieren Bewegungen, in dem wir zu jedem Zeitpunkt t den Ort s(t) aufzeichnen. Dann tragen wir s(t) gegen t auf.

Das nennen wir ein Weg-Zeit-Diagramm, in Zukunft WZD abgekürzt.

In der Mathematik würdet ihr vom Graphen der Funktion s(t) sprechen.

Ich habe euch 12 WZD aufgezeichnet. 

Manchmal habe ich noch die Richtungen, in denen die Bewegungen durchlaufen werden, durch einen Pfeil dargestellt.

Erzählt bitte zu jedem eine Geschichte: Was passiert da? Ist das möglich?

Ein Beispiel: Jemand geht langsam über eine zweispurige Straße, bleibt in der Mitte stehen und rennt dann zurück.

 

Im nächsten Post werde ich euch zu einigen WZD etwas mehr sagen, zu anderen nur Stichworte angeben.

Ihr werdet staunen, jedes dieser WZD entspricht einem realen Vorgang in der Natur.

Übrigens: Im WZD L sind drei Bewegungen dargestellt. Gebt an, was sie gemeinsam haben und worin sie sich unterscheiden.

Es wird auch bald eine Zusatzseite zu diesem Thema geben: WZD in der Relativitätstheorie.

Da werdet ihr sehen, wie man Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft darstellen kann.

P6: Übung

 Übungsaufgaben zur Durchschnittsgeschwindigkeit

1) Zwei Züge bewegen sich mit jeweils 30 km/h auf dem gleichen Gleis aufeinander zu. In dem Moment, in dem die beiden Züge 60 km weit voneinander entfernt sind, fliegt ein Vogel von der Spitze eines Zuges mit 60 km/h los und zwar direkt auf den anderen Zug zu. Kaum hat er diesen erreicht, kehrt er sofort um und fliegt zur Spitze des ersten Zuges zurück…usw. (Warum ein Vogel so etwas machen sollte, weiß nur der Erfinder dieser Aufgabe….). Welche Gesamtstrecke legt der Vogel zurück bis zu dem Zeitpunkt, an dem die beiden Züge aufeinander krachen (natürlich ist niemand drin, wird niemand verletzt und die Züge sind aus Plastik…).

 🐦🚂

 2) Ein Auto fährt 2 Stunden mit v = 60 km/h und weitere 4  Stunden mit v= 80 km/h. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrstrecke

🚗

3) Ein Auto fährt auf einer geraden Strecke 40 km weit mit 30 km/h. Anschließend bewegt es sich weitere 40 km weit mit 60 km/h. Warum ist die durchschnittliche Geschwindigkeit nicht 45 km/h? Wie groß ist sie wirklich?