P44: Bremsen ist wie Werfen ..., Teil 2

 Nun geben wir die Formeln für den Bremsweg noch einmal im Überblick an:

Zur Reaktionszeit:

Wir gehen davon aus, dass während der Reaktionszeit das Auto mit der vorgegebenen Geschwindigkeit weiterfährt und wir diese Fahrstrecke mit der bekannten Formel s = v*t für die gleichförmige Bewegung berechnen können.

In unserer Anfangsaufgabe hatten wir ja 10 m/sec² als Vollbremsung (um euch den Vergleich mit der Wurfbewegung zu erleichtern...) bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h gehabt.

Die müssen wir erst einmal in m/sec umrechnen, das sind 13,9 m/sec. Das ergibt dann 9,65 m für den Bremsweg.

Während der Reaktionszeit kommen da 6,95 m dazu, also insgesamt sind das dann 16,6 m!

In der Regel sind die Bremsbeschleunigungen deutlich kleiner, bei nasser Straße sogar extrem kleiner, selbst bei Vollbremsung, und wir haben es mit deutlich längeren Bremswegen zu tun.

Der eigentliche Bremsweg ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Wenn man also in der Zone 30 mit 60 km/h fährt, hat man den vierfachen Bremsweg!

Aufgabe:

Berechne den Bremsweg bei v = 30 km/h, regennasser Straße (a = 1,5 m/sec²) und abgelenktem Fahrer (Reaktionszeit 0,8 sec).

Im nächsten Post lernen wir einen Selbstversuch kennen zur Bestimmung der eigenen Reaktionszeit im nüchternen und besoffenem Zustand.

P 43: Bremsen ist wie werfen...

 7.2 Vergleich zum senkrechten Wurf

Vielleicht hat das gedrehte Bild geholfen?

Was passiert beim Wurf nach oben?

Der Körper fliegt mit einer ihm innewohnenden Geschwindigkeit vom Startplatz weg. Gegen diese Bewegung wirkt die Fallbeschleunigung g abbremsend. In jeder Sekunde nimmt die Geschwindigkeit um 9,81 m/sec ab. Und nach der Wurfhöhe H ist v=0.

Genau diesen Teil können wir mit der Bremsbewegung vergleichen:

Das Auto kommt mit einer im innewohnenden (als konstant angenommenen) Geschwindigkeit an. Die Bremsbeschleunigung a wirkt gegen diese Geschwindigkeit und reduziert sie ständig.

Bei einer leichten Bremsung ist a = 2 m/sec², d.h. die Fahrgeschwindigkeit nimmt jede Sekunde um 2 m/sec ab.

Bis das Auto still steht. Dann ist die Strecke vom Moment des Bremsens bis zum Stillstand der Bremsweg.

Es gibt einen ganz wesentlichen Unterschied: Der geworfene Körper fällt zurück, weil weiterhin die Beschleunigung vorliegt. Das gebremste Auto bleibt stehen, da der Fahrer aussteigt und nicht mehr bremsen kann....

Kannst Du jetzt die Aufgabe lösen?

Ordne nun die Größen beim senkrechten Wurf denjenigen der Bremsbewegung zu.

Kannst Du auch eine Formel für den Bremsweg angeben?

Erkennst Du daran, warum hohe Geschwindigkeiten so gefährlich sind?

Unrealistisch ist, dass die Fahrerin beim Bremsen eine Reaktionszeit benötigt. Das ist die Zeit, die nach dem Erkennen des Hindernisses vergeht und in der das Auto konstant weiterfährt.

Mit welcher Formel kannst Du diese Verlängerung des Bremsweges bestimmen?

Nimm in unserer Aufgabe eine Reaktionszeit von 0,5 Sekunden an.

Im übernächsten Post machen wir einen Versuch, mit dem ihr eure Reaktionszeit im nüchternen und besoffenen Zustand messen könnt.

Wir fangen mit dem nüchternen Zustand an, also vorher bitte nichts trinken!

P 42: Vollbremsung

 7. Bremsweg

7.1 Problemstellung:

Ein Auto fährt mit 50 km/h. Dann macht es eine Vollbremsung mit 10 m/sec².

- Was bedeutet das?

- Wie lange ist der Bremsweg?

- Bewerte die Realitätsnähe der Aufgabe.

- Warum habe ich die Zahlen gewählt?

Hilfe:

Du kannst das alles schon....

Heraus kommt übrigens ein Bremsweg von 9,65 m.

P 41: Ein bisserl Mathe

 6.3 Zusammenstellung der Formeln

Wegen der vielen Sonderzeichen habe ich das in Word geschrieben und als Bild eingefügt.

Das Vorgehen ist wie bei der Aufgabe im vorletzten und letzten Post:

Man stellt das WZG und das GZG auf, die letztlich "gleichförmige Bewegung Minus gleichmäßig beschleunigte Bewegung" ausdrücken.

Um auf die Steigzeit zu kommen, muss man die Momentangeschwindigkeit gleich 0 setzen.

Diese Formel setzt man dann für t in das WZG ein und erhält die Wurfhöhe H.

Mit dieser Formel können wir auch die Zusatzaufgabe lösen:

Die Fontaine im Bergpark kommt auf H = 52 m.

Damit muss sie mit 32 m/sec ausströmen,

Wie hoch käme sie mit dieser Geschwindigkeit auf dem Mond?

Wer richtet gerechnet hat, kommt auf 307 m...wer nachgedacht hat:

Das Wasser verdampft wegen des Vakuums sofort und kommt nur wenige Meter hoch....

P40: Lösungen

 6.2: Beispielrechnung zu senkrechtem Wurf

Beginnen wir mit dem Brainstorming...

Beim senkrechten Wurf (nach oben) überlagern sich zwei Bewegungen:

Der Körper fliegt, da wir Reibung vernachlässigen, mit seiner Anfangsgeschwindigkeit immer weiter..., es gilt s = v*t, gleichzeitig aber fällt er zu Boden, es gilt das Gesetz s` = 1/2g*t²

Wegen des Unabhängigkeitsprinzips dürfen wir beide Bewegungen getrennt ausrechnen und voneinander abziehen, die Differenz s - s`gibt die momentante Höhe h(t) an.

Wir werden sehen, dass diese Idee so allgemein ist, dass wir damit nicht nur das Hochwerfen, sondern auch das anschließende  Herunterfallen erfassen können.

Am besten beginnen wir mit der Geschwindigkeit:

Der Körper  startet mit der Anfangsgeschwindigkeit vo, die er beibehält und damit immer nach oben fliegt. Zusätzlich fällt er immer schneller mit der Geschwindigkeit g*t, so dass seine momentane Geschwindigkeit die Differenz  v(t) = vo - g*t ist.

Das berechnen wir jetzt (g = 10 m/sec²):

t/sec    gleichf. Bew. in m/sec      Fallgeschwindigkeit     Wahre Geschwindigkeit (Differenz) in m/sec

0           100                                               0                                    100 

1           100                                             10                                      90         

2           100                                             20                                      80 

...

9           100                                             90                                      10

10         100                                           100                                       0

11         100                                           110                                    - 10

12         100                                           120                                    - 20

...

19         100                                           190                                   -  90

20         100                                           200                                   - 100

21         100                                           210                                   - 110

 

Wie wir das vom Werfen nach oben kennen, wird der Körper immer langsamer. Die Erdanziehung bremst ihn stetig ab. Nach 10 Sekunden hat er v=0 m/sec. Er bleibt nicht stehen, da das ja eine Momentangeschwindigkeit ist, er kehrt nur die Richtung seiner Bewegung um.

Er hat aber nun die höchste Höhe erreicht, da er ja nicht weiter nach oben fliegen kann. Wir nennen das die Steigzeit und die dazugehörige höchste Höhe die Steighöhe.

Nach 10 Sekunden wird v(t) negativ, d.h. die Richtung der Geschwindigkeit kehrt sich um, wir haben einen freien Fall aus dieser Höhe.

Bei t =20 sec kommt er sozusagen mit der umgekehrten Startgeschwindigkeit wieder am Startplatz an. Die weiteren Werte für t =21 sec würden nur einen Sinn machen, wenn man ein Loch in den Boden buddelt...

20 sec sind die Flugdauer oder Wurfzeit. Sie ist logischerweise doppelt so lang wie die Steigzeit.

Aufgabe: 

Der Körper startet  mit 17,34 m/sec nach oben. Wie groß ist seine Steigzeit (g=9,81 m/sec²)?

Um diese Aufgabe zu lösen, musst Du eine Formel finden.

Ergebnis: 1,768 sec

Den Verlauf der Geschwindigkeit  können wir auch schön in einem GZD darstellen. So sollte auch das aussehen, was Du ev./hoffentlich selbst gezeichnet hast.

Nun kümmern wir uns um die momentane Höhe des Körpers.

Oben haben wir die Idee erläutert.

Wir geben uns die Zeit t vor, rechnen aus, wie weit er mit der Startgeschwindigkeit ohne Schwerkraft gekommen wäre (vo*t) und ziehen davon die Fallstrecke 1/2g*t² ab.

Das trage ich dieses Mal in eine Excel-Tabelle ein:

 

Damit zeichne ich das WZD.

Mit den eingetragenen Hinweisen dürfte die Zuordnung zum Bewegungsablauf klar werden.

Wir können die Wurfhöhe gut ablesen...es sind 500 m.

Hast Du eine Idee, wie man die Wurfhöhe auch ausrechnen kann? Nimm das Beispiel mit den blöden Zahlen oben...Du müsstest auf 15,33 m kommen.

Wie das allgemein geht, klären wir im nächsten Post. Dann besprechen wir auch die Zusatzaufgabe aus dem Bergpark Wilhelmshöhe des letzten Posts.

Vorsicht: Das Bild oben ist keine Flugbahn, da auf der waagerechten Achse eine Zeit aufgetragen wird. Das ist wirklich nur ein WZD.

 

P39: Aufwärts geht es....

 Der klassische Mechanikunterricht behandelt nun eine Wurfart nach der anderen. Das erscheint erst einmal wenig zweckvoll, außer, dass man da leicht viele Aufgaben stellen kann.

Trotzdem: Ganz bedeutend für unsere Technik, für die Forschung und für viele Vorgänge in der Natur ist das "Herumwerfen" von Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern.

Betrachten wir die folgenden Kapitel als wichtige Vorübung dazu. Wer Bälle durch die Gegend werfen kann, versteht auch die Plasmabewegungen in Kernfusionsanlagen....jedenfalls fast....sonst würden diese Kraftwerke schon funktionieren....

6. Der senkrechte Wurf 

6.1 Die Problemstellung

Bitte durchdenkt die folgende Aufgabe:

Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/sec senkrecht nach oben abgeschossen.

Luftreibung, Seitenwind und alles, was stört, wird vernachlässigt. Es ist eine "Schulaufgabe". 

a) Wie groß ist seine Fluggeschwindigkeit nach 1 sec, 2 sec, 3 sec?

b) Zeichne ein GZD, also trage v(t) gegen t auf.

c) Nach wieviel Sekunden erreicht er die Geschwindigkeit 0 m/sec? Diese Zeit nennt man die Steigzeit.

d) Nach wieviel Sekunden kommt er wieder auf der Starthöhe an? Diese Zeit nennt man die Flugzeit.

e) Wie hoch ist der Körper nach 1 sec, 2 sec, 3 sec...?

    Nimm die Abwurfhöhe, besser Abschusshöhe, zu 0 m an.

f) Zeichne ein WZD, d.h. trage die Höhe h(t) gegen t auf.

g) Wie hoch steigt er maximal? Diese Zahl nennt man die Wurfhöhe.

Vielleicht erinnert ihr euch noch? 

In der Vor-Corona-Zeit gab es im Sommer die Wasserspiele in Wilhelmshöhe. Da werden Wassertropfen hochgeschleudert und führen jeweils einen senkrechten Wurf aus.

Die Fontäne kommt 52 m hoch. Könnt ihr ausrechnen, mit welcher Geschwindigkeit das Wasser an der Düse austritt?

Das ist eine weitergehende Aufgabe, die über die oben gestellten Teilaufgaben hinausgeht, und uns Hoffnung machen soll, bald wieder gemeinsam die Wasserspiele ansehen zu können.

Bild: Stadt Kassel

 

Tipps:

Ich habe ja schon einmal Tipps gegeben, wie man das eigene Gehirn auf die Lösung vorbereitet:

- Kurze Notizen (Begriffe, Formeln) zu allen bisher bekannten Inhalten, die mit der (Teil)-Aufgabe in Verbindung stehen.

- Zur Hilfe: Überlege, welche Bewegungen hier vorliegen.

- Vergleiche mit vorher erarbeiteten Unterrichtsinhalten (das ist das Schöne an d r Schule...Aufgaben nutzen immer das bisher Gelernte aus)...wie zum Beispiel den waagerechten Wurf.

- Auch Fragen und Unklarheiten stichwortartig notieren.

- Dann entweder gleich anfangen, wenn schon eine Idee da ist. Ansonsten dem Gehirn eine Pause und somit eine Zeit zum Überdenken geben.

Natürlich kann man auch einfach in Physikbüchern nachschlagen...aber dabei trainiert man sein Gehirn nicht...

Wir besprechen die Lösungen im nächsten Post.

P 38: Waagerechter Wurf vektoriell

 5.4 Berechnung der Auftreffgeschwindigkeit

Ich erkläre die Herleitung der Formel in einem kurzen Video. Ihr solltet den Inhalt in euer Heft übertragen und vor allem auch die angesprochenen Umformungen selbst durchführen.

Leider habe ich im letzten Satz das Wort "Wurzel aus" vergessen, ich hoffe ihr merkt es.

Worum geht es?

Ein waagerecht abgeworfener Körper trifft schräg auf dem Boden auf, denn er hat zwei Geschwindigkeitskomponenten:

In x- Richtung immer noch die Abwurfgeschwindigkeit (wir vernachlässigen ja die Luftreibung) und in y-Richtung die Fallgeschwindigkeit am Ende der Fallzeit.

Beide Geschwindigkeiten müssen wir vektoriell addieren.

Wie das geht, erkläre ich im Video!

Zuerst ein Bild der Herleitung:

Und nun das Video:

Man kann natürlich auch den Auftreffwinkel berechnen:

Nun haben wir genug waagerecht geworfen, suchen wir uns andere Wurfrichtungen aus...

P 37 Die allgemeine Formel

 5.3 Bahngleichung der Flugbahn

Im Prinzip müssen wir die Rechnung ähnlich wie eben bei der Aufgabe machen, nur setzen wir keine Zahlen ein, sondern lassen alle Buchstaben stehen.

5.3.1 y-Achse zeigt nach unten

Wir wählen das bequeme Koordinatensystem, d.h. das, in dem die y-Achse in Richtung der Fallbewegung zeigt.

Dann haben wir die folgenden Gleichungen:

x-Richtung (gleichförmige Bewegung mit der Abwurfgeschwindigkeit v als feste Größe):

x = v*t

y-Richtung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung, freier Fall): 

y = 1/2 g*t²

Die Bestimmung einer Bahngleichung bedeutet: Wir wollen y in Abhängigkeit von x kennen. Da stört das t...also schmeißen wir es raus:

Wir lösen die erste Gleichung nach t auf und setzen das für das t in die zweite Gleichung ein.

Dann erhalten wir:

  y = g/(2v²)  * x²

Das ist die Gleichung einer Parabel durch den Ursprung.

t ist weg und mit x kann ich y direkt berechnen....

Eine solche Wurfparabel habt ihr selbst gezeichnet oder ihr seht sie auch im letzten Post.

Der Vorfaktor g/(2v²) regelt, wie steil die Parabel verläuft.

Wenn die Schwerkraft größer wird, dann steigt g und damit verläuft die Wurfbahn steiler.

Wenn man schneller abwirft, wird der Nenner größer, aber der ganze Vorfaktor kleiner, d.h. die Parabel verläuft flacher. Man wirft weiter.

Kennt ihr.

Auf einem Neutronenstern plumpst euch der Ball beim Loslassen direkt auf die Füße....

Eine mathematisch üblichere Darstellung ist die Folgende:

5.3.2 y-Achse zeigt nach oben

 

 

 

 

 

 

 

Wir werfen in der Höhe h ab. Die Gleichung für die x-Bewegung ändert sich nicht: x = v*t

Wie muss sich die Gleichung fürt die y-Bewegung ändern?

Wir starten mit h und ziehen immer die Fallstrecke 1/2g*t² ab:

y = h - 1/2g*t²

Wieder ersetzen wir das t in der zweiten Gleichung durch x/v (also t² durch x²/v²)  und erhalten nach einer leichten Umformung:

y = h - g/(2v²) * x² 

Diesen Funktionsgraph habe ich für h = 10 m und drei Abwurfgeschwindigkeiten 2 m/sec (blau), 4 m/sec (rot) und 8 m/sec (grün) für die Erde geplottet:

Ich habe die gesamte Funktion geplottet, für die Physik hat nur der erste Quadrant eine Bedeutung.

Und nun vergleichen wir mal Erde und Mond für v = 2 m/sec:

 Schaut euch nochmal das Video vom hüpfendnen und singenden Astronauten an...das ist die Übertragung auf die Realität...

Du kannst solche Graphen leicht selbst erzeugen: Plottprogramm aufrufen, graphikfähigen Taschenrechner benutzten oder Punkte ausrechnen und Graphen per Hand zeichnen...

Im nächsten Post machen wir noch kurz etwas besonders für zukünftige LKler: Wir arbeiten beim waagerechten Wurf mit Vektoren.

P 36 Lösung der Aufgabe

 5.2 Berechnung von Fallzeit und Wurfweite

5.2.1 Vorbereitung

Unsere kleinen Experimente haben gezeigt:

Zwei fallende Körper kommen immer zur gleichen Zeit am Boden auf, ja sie sind sogar immer auf gleicher Höhe, egal wie schnell einer der Körper zusätzlich zur Seite fliegt.

Das haben wir als das Unabhängigkeitsprinzip bei der Überlagerung von Bewegungen kennengelernt.

Wir werden also die waagerechte Bewegung mit x(t) bezeichnen. Das ist eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit vo = 2 m/sec.

In y-Richtung haben wir eine Fallbewegung aus der Höhe 10 m. Dafür können wir schreiben: y(t) = 10 - 1/2 g*t².

5.2.2  Ein neuer Trick

Einfacher wird aber alles, wenn wir einen neuen Trick lernen:

Anpassen des Koordinatensystems:

Wir lassen die y-Achse in Richtung des Fallens, also nach unten zeigen. Dann gilt y(t) = 1/2g*t² 

Wie weit kommt der Körper, bevor er auftrifft?

Dazu müssen wir wissen, wie lange er unterwegs ist, also wie lange es dauert, bis er nach 10 m Fall unten auftrifft.

Dazu interessiert nur die Fallbewegung y(t) = 1/2g*t².

Wir setzen y = 10 m und nehmen g = 10 m/sec², stellen nach t um (Wurzel ziehen!) und erhalten ungefähr t = 1,4 sec.

In dieser Zeit fliegt der>Körper also mit 2 m/sec in x-Richtung. Er wird also 2,8 m weit kommen.

5.2.3 Konstruieren des Graphen

Um die Flugbahn zu konstruieren (gleich lernen wir noch ein allgemeineres Verfahren kennen), müssen wir uns Zeiten t vorgeben.

Dann zu jeder Zeit t  die zugehörigen Koordinaten x = v*t und y = 1/2 g*t² ausrechnen. Auch hier wählen wir wieder g = 10 m/sec².

Wir erhalten

t in sec        x in m     y in m

0                  0             0 

0,2               0,4          0,2

0,4               0,8          0,8

0,6               1,2          1,8

0,8               1,6          3,2

1,0               2,0          5,0

1,2               2,4          7,2

1,4               2,8          9,8

Daraus ergibt sich der folgende Graph:

Im nächsten Post lernen wir dann das allgemeine Verfahren kennen und wie man die Bahngleichung bestimmt. Das ist vor allem für zukünftige LKler sehr wichtig!

P 35: Das Wettfallen zweier Münzen

 5. Der waagerechte Wurf

5.1 Die Aufgabe

5.1.1 Die Aufgabenstellung

Ein Körper fliegt waagerecht in einer Höhe h von 10 m mit einer Geschwindigkeit von vo = 2 m/sec von einem geraden Dach weg nach unten.

 

Wie weit vom Hausrand entfernt kommt er auf dem Boden auf? Berechne diese Wurfweite W.

Zeichne die Flugbahn.

(Luftreibung wird vernachlässigt)

5.1.2  Die Vorbereitung

Ich möchte das Wissen zusammenstellen, das Dir für die Lösung der Aufgabe hilfreich sein kann.

So kannst Du übrigens imemr vorgehen:

Die Aufgabe ansehen, das Wissen zusammenstellen (richtig notieren), was damit in Verbindung stehen könnte, und dann erst lösen...

Viele starren nur die Aufgabe an und warten auf eine Eingebung...die kommt eher selten..., aber fast von alleine, wenn man sich mögliches Vorwissen dazu bewusst macht (durch das notieren).

a) Bewegungen können sich überlagern

Dazu machst Du am besten selbst einen einfachen Versuch.

Lege, wie in der Abbildung, zwei Münzen an eine Tischkante, eine vor und eine auf ein Lineal. Dann dreh das Lineal ruckartig.

                                              aus Leifiphysik

Was fällt Dir auf, wenn Du den Aufprall hörst?

Wieso ist das eher verwunderlich? (Stell Dir die Flugbahnen der beiden Münzen vor!)

Erkläre die gemachte Beobachtung mit Hifle des Unabhängigkeitsbprinzips.

 Dabei können Dir die nächsten beiden Bilder helfen:

                                                  A.V. Gradwohl, TU Graz

  

                                                              leifiphysik

Ich hab mir nicht nehmen lassen, zu Hause schnell einen solchen Versuch in der Küche zu improvisieren...

 Die hintere Münze wird zur Seite gestoßen, sie macht einen waagerechten Wurf.

Der vorderen Münze ziehe ich "den Boden unter den Füßen" weg, sie fällt nur.

b) Welche Bewegungen überlagern sich hier?

Schreib die Gesetze für diese Bewegungen hin. Das ist ein GZG und es sind zwei WZG.

d) Was haben die Größen der Formeln mit unserer Aufgabe bzw. den Wurfversuchen zu tun?

Interpretiere die Buchstaben t und s Deiner Formeln für unsere Versuche.

5.1.3 Die Lösung

Deine Aufgabe...

Wenn Du weitere Hilfe brauchst, dann schau Dir die wunderschöne Simulation  bei Leifiphysik an:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/grundwissen/waagerechter-wurf

Simulation waagerechter Wurf

Das Sammelsurium vieler Formeln unter der Simulation kannst Du getrost ignorieren.

Erstens kommst Du selbst auf die Lösung der Aufgabe und zweitens lernen wir die meisten dieser Formeln noch kennen, aber etwas langsamer und übersichtlicher...

Nun ran an die Lösung....

 

 

P 34: Eine Schwerkraftreise durch den Kosmos

 Ich hatte die Lösung der kleinen Aufgabe vergessen: Wenn etwas aus 3,54 m herunterfällt, trifft es mit 30 km/h am Boden auf.

Ihr würdet einen solchen Sturz bestimmt nicht mit den Armen abfangen, aber viele denken, wenn ein Auto irgendwo mit 30 km/h aufprallt, könnten sie sich mit den Armen am Lenkrad abstützen...

4.4.5 g-Werte in anderen Teilen des Universums

Bleiben wir aber erst einmal auf der Erde.

Erde

Wir werden bald lernen (wenn Newton zu uns stößt), wie man g aus der Masse und dem Radius eines Himmelskörpers berechnen  kann.

Wäre die Erde eine homogene Kugel, so würden an ihrer Oberfläche alle Körper immer mit der gleichen Beschleunigung herunterfallen.

Aber die Erde ist abgeplattet. Orte an den Polen liegen dichter am Mittelpunkt, die am Äquator weiter weg. Die Radien unterscheiden sich um 21 km.

Zusätzlich befindet sich etwas mehr Masse in d r Äquatorregion.

Der etwas größere Äquatorradius führt zu einer Abnahme von g, die etwas größere Masse am Äquator zu einer Zunahme. Aber auch die sog. Fliehkraft durch die Erdrotation wirkt am Erdäquator besonders stark und führt zu kleineren  Fallbeschleunigungen.

Insgesamt ergibt sich:

Fallbeschleunigung am Pol: 9,83 m/sec²

Fallbeschleunigung am Erdäquator: 9,78 m/sec²

Wenn wir 9,8 m/sec² annehmen, ist das ein guter Mittelwert. Für Schulübungen reicht auch 10 m/sec² als Näherung aus.

Mit sehr präzisen Messungen kann man auch Erzlagerstätten durch einen erhöhten g-Wert finden und den Einfluss von Gebirgen auf die Fallbewegung untersuchen.

Mond

Hier ist g etwa 1/6 so groß wie auf der Erde, liegt also bei 1,6 m/sec².

Das sieht man am langsam fallenden Hammer im Video in Post 28  aber auch an den Sprüngen der Astronauten auf dem Mond.

Mars:

Hier beträgt g = 3,7 m/sec², durchaus angenehm für zukünftige Bewohner und eine Hilfe für den ersten Marshelikopter:

Wer findet hier den fliegenden Heli?

credit: NASA/JPL

Jupiter:

An der Außengrenze der dichten Wolken liegt g bei 24,8 m/sec².

 Sonne:

Sie hat keine Oberfläche auf die man sich beziehen könnte. Ihre dichteren Gasschichten enden in der 400 km dicken Photosphäre, aus der das Licht kommt. Hier ist g = 274 m/sec².

Ein Blick auf die Sonne am 27.10.2021 (credit: SOHO-Satellit):

 Die Sonnenflecken (in Magnetfeldern abgekühlte Gebiete) sind größer als unsere Erde!

Weiße Zwerge:

In 5 Milliarden Jahren wird die Sonne sich zu einem erdgroßen Weißen Zwerg zusammenziehen und erkalten. An seiner Oberfläche liegt g = 3 Millionen m/sec² vor.

 

Größenvergleiche (Uni Regensburg)

Neutronensterne:

Massereichere Sterne enden als 10 km große Neutronenklumpen. Ihre Fallbeschleunigung liegt bei 2 Billionen m/sec².

 Größenvergleich 10 km großer Neutronenstern auf der Erde (MPG)

Schwarze Löcher:

Wer jetzt meint g ist unendlich groß, liegt falsch.

Wir fassen den sog. Ereignishorizont als Grenze des Schwarzen Loches auf. Ab diesem Bereich kann nichts mehr nach Außen dringen.

Wäre die Sonne ein Schwarzes Loch, wäre sie etwa 1,5 km groß und hätte g = 60 Trillionen m/sec².

In den Zentren der Galaxien sitzen supermassive Schwarze Löcher mit Milliarden Sonnenmassen und Größen von Milliarden km. An deren Ereignishorizont ist g = 15  000 m/sec².

Hier ein Bild des Schattens eines supermassiven Schwarzen Loches im Zentrum der Galaxie M87 (EHT):

 Man erkennt recht gut auch die Fallkurven von Materie, die in das Schwarze Loch stürzt.

Das Gefährliche an Schwarzen Löchern ist, dass sich g schon längs kurzer Strecken so stark ändert, dass alles was reinfällt, auseinandergerissen wird. Man nennt das Spaghettisierung (Bild:NASA).

Deine Füße fallen um ein Vielfaches schneller als Dein Kopf. Das tut weh!

In den nächsten Posts behandeln wir dann wieder den Pflichtstoff: Würfe in alle Richtungen...damit ihr später auch Elektronen durch elektrische und magnetische Felder werfen könnt, und das wird im Abitur abgefragt...

P 33: Profis am Werk

 4.4.4 Fallturm im Kleinen

Im SFN in Kassel haben wir auch einen kleinen "Fallturm", etwa 15 m hoch.

Dort haben die damaligen Schüler Christoph Mayer, Johannes Korff und Philipp Lehmann untersuchen wollen, wie sich eine Wasserbrücke in Schwerelosigkeit verhält.

 

(Zur Info: Wasser bildet eine Hängebrücke zwischen zwei Gläsern, wenn man eine sehr hohe Spannung anlegt. Das Bild zeigt eine Wasserbrücke im Labor.)

Wir werden bald sehen, dass eine solche Schwerelosigkeit (besser Mikrogravitation) innerhalb von fallenden Körpern vorliegt, vorausgesetzt sie fallen genau mit der Fallbeschleunigung. Das geht nur, wenn es keinerlei Abbremsung gibt, also keine Reibung in Luft..

Deshalb pumpt man ja im Bremer Fallturm die Luft aus der 115 m hohen Röhre raus.

Das ging bei uns nicht. Deshalb haben die drei Schüler  das Zwei-Kapsel-System genutzt:

Eine äußere Fallkapsel nimmt die Luftreibung auf, in ihrem Inneren fällt eine kleinere Kapsel mit, sozusagen gemeinsam mit der umgebenden Luft.

Die innere Kapsel verspürt also keine Reibung und wird etwas stärker beschleunigt als die äußere Kapsel.

Nun muss man nur noch die Kapselgrößen und die Fallstrecke so aufeinander beziehen, dass die innere Kapsel während des ganzen Vorgangs nicht unten an der äußeren Kapsel auftrifft.

Das haben die Schüler geschafft und dann mit einem Laser die Fallgeschwindigkeit der äußeren und der inneren  Kaspel mit Hilfe von Laserstrahlen gemessen, nicht in Abhängigkeit zur Fallstrecke sondern direkt zur Fallzeit.

Aus dem GZG v = g*t konnten sie dann direkt die Fallbeschleunigung ausrechnen.

Ich zeige einmal einige Abbildungen aus ihrer Jugend forscht Arbeit:

Der Wert der Fallbeschleunigung in Kassel liegt bei g = 9,811 m/sec², die innere Kapsel hatte 9,817 m/sec².

Allerdings ist der Punkt (0,0) nicht bei der Auswertung berücksichtigt worden. Aber trotzdem gibt es nur eine Abweichung von 0,06 % zwischen Fallbeschleunigung der inneren Kapsel und dem g-Wert für Kassel.

Ich habe eben geschrieben: Die Fallbeschleunigung in Kassel...Fallen denn Körper in München anders?

Da gehen wir im nächsten Post drauf ein.

P 32: Auswertung

 4.4.3 Auswertung

Zuerst die Geschwindigkeiten:

s/m   v/ (m/sec)

0        0

0,1    1,36

0,15   1,67

0,2     2,0

0,25   2,31

0,3     2,5

Ich habe hier den sicheren Wert (0,0) wieder zugefügt.

Wir hatten ja die Formel s = 1/2*v²/g, deren Gültigkeit wir überprüfen wollten und dann gegenenfalls die Fallbeschleunigung g bestimmen wollten. 

Das war der Kombinationstrick.

Zur Auswertung wenden wir jetzt den Linearisierungstrick an, d.h. wir tragen s gegen v² auf (die Rechnung gebe ich hier nicht an).

Der Graph in Excel zeigt das Ergebnis. Die Punkte lassen sich sehr gut durch eine Gerade mit der Steigung 0,0466 m/(m²/sec²) darstellen.

 Das kann man mit einem Steigungsdreieck machen, Excel hat bekannte Verfahren der Ausgleichsrechnung verwendet, um die Gleichung der Geraden zu finden, für die die Messpunkte am Besten passen. (was das mathematisch bedeutet, klären wir hier nicht).

Bei dieser einfachen Analyse ist Excel nicht davon ausgegangen, dass der Messpunkt (0,0) vollständig fehlerfrei ist.

Ich hätte per Hand meine Ausgleichsgerade an diesem Punkt angefangen und wäre zu einer geringfügig größeren Steigung gekommen.

Diskutiert einmal, was das für mein Ergebnis für g bedeutet hätte.

Wir übernehmen aber nun die Steigung von Excel: m = 0,0466.

(Zur  besseren Übersichtlichkeit lasse ich die Einheiten weg).

Unser Formel ergibt s = 1/(2*g) * v².

Der Vergleich mit y = m*x zeigt uns: m = 1/(2*g)

Damit erhalten wir g = 10,7 m/sec² .

Die Abweichung von 9% ist bei diesem einfachen Experiment tolerabel.

P 31: Ein weiterer Auswertetrick: Kombinieren von Formeln

 4.4 g-Bestimmung über Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme GZG

4.4.1 Das Experiment

Wenn man sich das GZG der gleichmäßig beschl. Bewegung ansieht (v = g*t) ist es ja gut geeignet, g als Steigung eines Graphen zu bestimmen: Trägt man die Geschwindigkeit beim Fallen gegen die Zeit t der Messung auf, so sollte eine Gerade herauskommen.

Wie gehen wir da beim Messen vor?

Die Fallgeschwindigkeit könnte man als Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen.

Der fallende Körper mit der Dicke Δy durchfällt eine Lichtschranke zur Zeit t, die die dazu gehörende Durchfallzeit Δt misst. Dann ist v(t) näherungsweise Δy/Δt.

Das lässt sich recht einfach aufbauen.

Wegen der Messgenauigkeit sollten allerdings die Fallstrecken nicht zu groß sein...dann wird es aber schwierig, die Fallzeit t gut zu messen. Sicher gibt es auch dazu elektronische Lösungen bei gut ausgerüsteten Physiksammlungen....

Man könnte auch ein Video aufnehmen und die Fallzeit t über das Zählen von Einzelbildern bestimmen. Bei einer Fallstrecke von 0,5 m kommt man da etwa auf 7 bis 8 Bilder.

Schauen wir uns erst einmal einen Versuch dazu an:

 

Der Laserstrahl in der Lichtschranke ist nachträglich eingezeichnet, es ist ein IR-Strahl, den man eigentlich  nicht erkennt.

An einem Stativ rechts (nicht im Bild) habe ich Höhenmarkierungen angebracht, auf dem fallenden Klotz ebenfalls eine Markierung.

Nun das Video:

Ich habe mehrfach gemessen und gebe hier die Mittelwerte an (Δy = 3 cm):

Fallstrecke s/m       Durchfallzeit Δt /sec       v = Δy/Δt

   0,1                                  0,022

0,15                                   0,018

0,2                                     0,015

0,25                                   0,013

0,3                                     0,012

Berechnet erst einmal die Geschwindigkeiten in m/sec.

Wie werten wir das nun aus?

4.4.2 Der Trick Nummer 2

Wir könnten die Fallzeit t über s= 1/2 g*t² berechnen...aber das ist logisch nicht korrekt, wenn wir eigentlich überprüfen wollen, ob g konstant ist und ob unser Gesetz überhaupt gilt.

Deswegen kombinieren wir beide zu überprüfende Gesetze:

WZG: s(t) = 1/2*g*t²

GZG: v(t) = g*t

Das GZG lösen wir nach t auf und setzen den Term für das t in das WZG ein.

Einen Faktor g können wir kürzen...

Dann erhalten wir:

s(t) = 1/2*v(t)²/g

In dieser Formel sind nun die beiden Messgrößen s und v miteinander in Beziehung gebracht.

Nun wendet Trick 1 an (Linearisieren), schaut, ob eine Gerade herauskommt  und bestimmt  g als Steigung einer Geraden. 

Übrigens: Mit dieser Formel kann man auch sehr leicht die Auftreffgeschwindigkeit v nach Fallen aus der Höhe s berechnen. Wir werden sie öfters einsetzen.

Aufgabe dazu: 

Aus welcher Höhe muss ein PKW fallen, damit er mit 30 km/h am Boden auftrifft?

 Was sagt uns das Ergebnis über die Notwendigkeit des Anschnallens?

P 30 Wir werten aus

 4.3.2 Die Auswertung

Ich habe zuerst einmal s gegen t aufgetragen, dabei nicht den sicheren Punkt (0,0) vergessen.

Im Graphen sind das die schwarzen Kreuze.

Mit etwas Wohlwollen kann man da eine Parabel erkennen.

Aber wie daraus die Fallbeschleunigung bestimmen?

Das geht, mit Ausgleichsrechnungen...Excel kann das gut, aber hat bei mir mal wieder gestreikt, weil der  Messwert 12,1 als Datum 12.1.1900 interpretiert wurde....

Also habe ich weiter selbst gezeichnet..., das ging schneller...

Für uns eine gute Gelegenheit ein wichtiges Verfahren kennenzulernen, das Linearisieren.

Vereinbarung:

Wir wollen in Zukunft Beschleunigungen, die durch Schwerkraft entstehen, immer mit g (von Gravitation) abkürzen.

Dann haben wir die Gleichung s(t) = 1/2 g * t² zu überprüfen.

Tragen wir s gegen t auf, so ergibt sich eine Kurve, aus der wir nur schwer erkennen können, ob g gleich bleibt und wie groß g ist. Ist der Exponent von t wirklich eine 2 oder könnte es auch 1,95 sein???

Besser ist es s gegen t² aufzutragen.

Nennen wir t² hier mal x, dann gilt also:

s = 1/s*g*t² = 1/2 * g * x

Das erinnert  jetzt an die Gleichung y = m*x, die ihr aus der Mittelstufenmathematik für eine Urspungsgerade mit der  Steigung m kennt.

Tragen wir s gegen x auf (also t²), so sollte sich eine Gerade ergeben, wenn g wirklich konstant ist. Und aus der Steigung m der Geraden können wir g berechnen:

 m = 1/2 * g, d.h. g = 2*m

Ich habe in roter Farbe s gegen x aufgetragen (dabei habe ich die Zahleneinteilung der waagerechten Achse übernommen, war halt zu faul ein zweites Koordinatensystem zu zeichnen..., ich denke, da ihr alle selbst diese Grpahen gezeichnet habt, ist es für einen Vergleich ausreichend...😜).

 

Die vier roten Punkte streuen leidlich gut um eine Gerade (rot) mit der Steigung 4,35, die ich mit dem gestrichelt eingezeichneten Steigungsdreieck bestimmt habe.

Das bedeutet einmal: g ist unabhängig von der Fallhöhe.

Und zum anderen können wir g = 2*m = 8,7 m/sec² aus der Steigung ausrechnen.

Der Wert ist zu klein, es hätte 9,8 m/sec² herauskommen müssen. Aber wir konnten trotz allem die Luftreibung nicht perfekt ausschließen. Im Fallschacht war die Luft nicht abgepumpt...

Das macht man in professionellen Fallschächten wie in Bremen wirklich: 

In einer riesigen luftleeren Röhre der Höhe 110 m können Gegenstände nach unten fallen. 

Warum, werden wir bald sehen.

Aber wie lange dauert denn dieser freie Fall?

(Antwort 4,74 sec, bitte nachrechnen!).

 

 

 

 Wäre unser Wert zu groß gewesen, hätte ich keine Erklärung gehabt.

Was bedeutet nocheinmal: g = 9,8 m/sec?

In jeder Sekunde wächst die Geschwindigkeit eines auf der Erde fallenden Körpers um 9,8 m/sec, wenn man Luftreibung vernachlässigt.

Und wir wissen schon, verstehen es aber nicht, dass dieser Wert nicht vom Gewicht des fallenden Körpers abhängt (Hammer und Feder...).

Im nächsten Post zeige ich, wie man mit der Gleichung v = g*t die Fallbeschleunigung g berechnet und wir üben noch einmal das Linearisieren.

Dann stelle ich eine professionelle Methode vor, die drei Jugendliche entwickelt haben.

Dann glauben wir unserer Herleitung endgültig.

Es sei denn, jemand von euch bekommt heraus, dass die Fallbeschleunigung g von der Fallhöhe abhängt....

Vielleicht hat jemand ja Lust, den Mt.Everest zu besteigen und dort zu messen????

Wir kommen da noch zu...

P 29: Im Fallschacht

 4.3 Der Trick des Linearisierens

4.3.1 Das Experiment

Wir wollen nun überprüfen, ob unser theoretisch begründetes WZG s = 1/2*a*t² richtig ist.

Dazu müssen wir einen freien Fall durchführen und die Fallstrecke s sowie die Fallzeit t messen.

Bei kurzen Fallstrecken kann man sehr gut aus einer Position heruas eine Uhr starten und stoppen, aber die Reaktionszeit ist deutlich über der eigentlichen Fallzeit.

Da gibt es zwei Möglichkeiten:

Wir wechseln auf den Mond, da ist die Schwerkraft nur 1/6 derjenigen auf der Erde und alles fällt langsamer.

Oder wir lassen nicht fallen, sondern reibungsfrei auf einer schrägen Bahn abwärts rutschen (so soll es wohl Galilei gemacht haben).

Ich habe einmal Messreihen bei uns im SFN  im Fallschacht gemacht. Das ist eine Aussparung im Treppenhaus, die wir wirklich eingeplant haben, um da Dinge herunter zu werfen oder auch für Höhlenbefahrungen das Klettern am Seil zu üben. Er hat auch schon einmal als Windkanal für unseren Stratosphärenballon gedient...

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Person, die die Zeit stoppt, steht unten neben dem Auftreffpunkt und sieht nach oben an der Handbewegung, wann eine andere Person eine kleine Kugel fallen lässt (natürlich steht sdie untere Person  nicht in Fallrichtung, hat aber trotzdem einen Höhlenhelm auf).

Die Reaktionszeit kann man durch Tests bestimmen und abziehen, das haben wir allerdings nicht gemacht.

Die Fallhöhe wird mit einem Seil bestimmt, dessen Länge man gut messen kann.

Folgende Messwerte ergeben sich (jeder Wert ist der Mittelwert aus 5 Einzelmessungen):

s/m    t/sec

 0        0,0        (diesen total sicheren Messpunkt ohne Fehler vergisst man häufig!)

3,7      0,8 

7,9     1,3

12,1    1,7

Liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor? Ist also die Beschleunigung a konstant?

Tragt einmal s gegen t in einem Diagramm auf...das sollte eine Parabel sein. Seht ihr das?

Und nun kommt ein Trick: Tragt einmal s gegen t² auf.

Was man davon hat, klären wir im nächsten Post.

Wenn ihr übrigens eigene Messungen gemacht habt, dann nehmt diese Messwerte.

P 28: Richtig kompliziert, dabei fällt es nur runter....

 4.2 Parameter und freier Fall

Durch eure Experimente habt ihr sicher herausgefunden, dass verschiedene Eigenschaften das Fallen beeinflussen.

 

Vielleicht versteht man jetzt, wieso Aristoteles (-384 bis - 322), der griechische Universalgelehrte ,zu der Erkenntnis kam, dass schwere Körper schneller als leichte Körper fallen.

Erst Galilei hat 2000 Jahre später diese Idee widerlegen können. Vorher kam niemand auf die Idee, die  Meinung von Aristotels zu überprüfen, denn er galt als eine Art Norm bei der Beschreibung der Welt: Was er sagte, musste stimmen, und worüber  er nichts sagte, darüber dachte man nicht nach.

Er hat auch nie gemessen, sondern sich seine Weltsicht zurecht gedacht...

Galilei war der erste, der mit dieser Tradition brach.

Nun begeben wir uns weiter auf Galileos Spuren:

Die Einflussgrößen auf den Fall nennt man auch Parameter.

Ich könnte mir gut vorstellen, dass ihr die folgenden Beobachtungen zu Parametern der Fallbewegung gemacht habt:

Je größer die Abwurfhöhe ist, desto größer ist die Auftreffgeschwindigkeit.

Das gilt für Fallschirme (zum Glück) nicht: Der Springer kommt bei geöffnetem Fallschirm immer mit der gleichen Geschwindigkeit an, egal ob er aus 500 m oder 2 000 m abspringt. Es sind immer 2...3 m/sec, also immerhin etwa 10 km/h.

Hier merkt man die Bedeutung der Reibung: Die Bewegung durch die Luft entzieht dem fallenden Körper Energie, er wird abgebremst. Ist der Körper klein und schwer, spielt die Reibung nur eine untergeordnete Rolle:

Kleine (wenig Luftreibung) und schwere (die Reibungskraft kann gegen das Gewicht vernachlässigt werden) Körper, erfahren die stärkste Beschleunigung.

Leichte und große Körper (mehr Reibung, die wegen des kleinen Gewichtes eine wichtige Rolle spielt) werden weniger stark beschleunigt.

Es kann sogar passieren, wie beim Fallschirm, dass der Körper dann unbeschleunigt, also mit konstanter Geschwindigkeit  nach unten schwebt.

Lasst einmal ein Blatt Papier fallen oder einen Wattebausch im Vergleich zu einer Stahlkugel...

Dieses Zusammenspiel von Reibungskraft und Gewichtskraft kann vortäuschen, dass Gewicht und Größe eine Rolle beim Fallen spielen.

Stimmt auch, wenn man das Fallen in Luft betrachtet.

Aber eigentlich möchte man die Fallgesetze erkennen...dazu muss man diese Einflüsse möglichst ausschalten oder vernachlässigen können.

Gelingt das, so spricht man vom freien Fall.

Kannst Du sagen: "Frei wovon???".

Am besten kann man den freien Fall im luftleeren Raum untersuchen.

Das hat bei Apollo 15   der Astronaut David R.Scott 1971  live vorgeführt. Millionen Menschen konnten zusehen, wie er einen Hammer und eine Federt auf dem Mond hat fallen lassen. Die Bildqualität ist bescheiden, das lag einmal an den Kameras vor 50 Jahren aber auch an der Übertragungstechnik von Mond zu Erde:

 

Beim freien Fall fallen alle Körper gleich schnell, unabhängig von ihrer Masse und Zusammensetzung.

Warum das so ist, wird uns noch beschäftigen!

Moderne Handykameras sind inzwischen besser, aber durch  die Kompression sind die Bilder im Blog auch nicht so pralle: 

Wenn ihr in der Zeitlupe genau hinseht, merkt ihr, dass der etwas leichtere Körper ein klein wenig später auftrifft. Ihr müsst jetzt erklären können, wieso.

Wenn wir Kräfte kennengelernt haben, können wir auch alles oben genannte genau nachrechnen.

Im Moment wollen wir nur mitnehmen:

Die Bewegungsgesetze gelten für den freien Fall, also eine Fallbewegung ohne Einfluss der Reibung oder anderer Größen.

Wir werden beim Nachmessen also immer Abweichungen erkennen. 

Im nächsten Post werde ich euch Messdaten präsentieren und wir werden lernen, wie man diese nichtlinearen Zusammenhänge auswertet. Dann kommt noch ein Video einer besonderen Messung...dann müssen wir Übungsaufgaben lösen und schließlich zeige ich euch, was Einstein daraus gemacht hat.

P 27: Wir planen den Absturz...

 4. Der freie Fall

4.1 Planung

Wir haben nun auf theoretische Weise überlegt, wie die Gesetze einer gleichmäßig beschleunigten Bewgeung aussehen sollten.

Jetzt müssen wir das überprüfen.

Exemplarisch machen wir das an einer Fallbewegung.

Dazu aber müssen wir uns genau überlegen, was alles auf das Fallen eines Körpers einwirkt.

Das wird der erste Schritt sein.

Eure Aufgabe ist es, möglichst viele Gegenstände fallen zu lassen. Kleine Höhen reichen aus, da sollte auch nichts kaputt gehen...es gibt ja Papier, Papierkugeln, Watte, Radiergummis, Kugelschreiber, Hefte, Murmeln, Schrauben, Metallstücke....aber gerne dürft ihr auch rohe Eier und Porzellanteller ausprobieren...

Notiert eure Beobachtungen und notiert euch Fragen.

Welche Einflüsse gibt es?

Sind das wirklich beschleunigte Bewegungen?

Wie können wir das durch Messungen überprüfen?

Und wie finden wir heraus, ob es sogar gleichmäßig beschleunigte Bewegungen sind?

Macht wieder einen Plan, wie ihr vorgehen würdet, um all diese und weitere Fragen, die euch einfallen, beantworten zu können.

Zur Inspiration (erst ganz am Ende fällt was....):

P 26: Lösungen

 Hinweis: Ich deute Lösungsschritte nur an, damit man wirklich selbst alles nachvollziehen muss.

                 Bei Fragen oder Gesprächsbedarf: https://discord.gg/56ngQmhcCW

Aufgabe 1:

Es liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewgeung vor.

Da die Bewegung mit der Geschwindigkeit v(0) = 0 beginnt, können wir die Zeit direkt mit v = a*t berechnen. Zuvor müssen wir v von km/h auf m/sec umrechnen.

Wir erhalten t = 150,8 sec.

Nun arbeiten wir mit dem WZG s = 1/2 * a * t2 und erhalten s = 202,2 km.

Aufgabe 2:

Auto A: gleichmäßig beshcl. Bewegung ( a = const)

Auto B: gleichförmige Bewgeung ( a=0, v = const)

a) Mit v = a*t = 15 m/sec können wir die Zeit ausrechnen, nach der das Auto die Geschwindigkeit vom anderen Auto besitzt: t = 5 sec.

Die GZD ist hier:

b) Für Auto A gilt: s = 1/2 * a * t² = 50 m. Daraus bestimmen wir t = 5,8 sec.

     Nach dieser Zeit kommt Auto A am Ziel an.

     Für Auto B gilt: s = v*t = 50 m, da es mit der konstanten Geschwindigkeit v = 15 m/sec fährt.

     Dieses Auto kommt nach 3,3 sec an, die Zeitdifferenz sind also rund 2,5 sec.

 c) Wir rechnen die Fahrtstrecke aus, nach  der beide Autos auf gleicher Höhe sind.  

 Nun benutzen wir beide Bewegungsformen in einer Formel. Das ist fast wie zweihändiges               Klavierspielen mit Violin und Bassschlüssel....

    Die Bedingungsgleichung ist: 1/2 * a * t² = v * t . Wir kennen a und v. Was ist t?

    t ist die Zeit, zu der beide Autos gleichauf sind.

   Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 1/2*a*t² - v*t = 0.

     Wir können mit der pq-Formel arbeiten, mit der quadratischen Ergänzung oder mit unserem Gehirn:

      Wir klammern t aus:

       t * (1/2*a*t - v ) =0

       Nun kommt eine wichtige Regel zum Einsatz:

  Ein Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

 Aus der einen quadratischen Gleichung werden damit zwei lineare Gleichungen (für jeden Faktor eine):

     t = 0 oder 1/2*a*t - v =0

Daraus erhalten wir die beiden Lösungen für t:

     t = 0 sec oder t = 2*v/a = 10 sec.

Das macht Sinn, denn ganz am Anfang (t=0) fährt B ja an A vorbei, beide Autos sind gleichauf.

Das entspricht der ersten Lösung!

Und nach 10 sec hat Auto A aufgeholt und fängt an B zu überholen.

Das ist die zweite Lösung.

(Nicht immer entsprechen beide mathematischen Lösungen sinnvoller Physik, hier schon).

Da wir nun den Zeitpunkt kennen, haben wir zwei Möglichkeiten, die notwendige Strecke auszurechnen:

Wer gerne Zahlen in Taschenrechner eintippt, nimmt Auto A und die Formel s = 1/2 * a*t²,

alle anderen nehmen Auto B und rechnen s = v * t  = 150 m leicht im Kopf aus... 

Die WZD sind hier:

 

 Wie kann man an den WZD erkennen, ab wann das eine Auto schneller ist als das andere?

Und wie erkennt man, wann sie gleichauf sind?

Aufgabe 3:

Am besten rechnet man wieder die Geschwindigkeiten in m/sec um, da in der Aufgabe die Zeit in Sekunden angegeben ist.

a) a = (13,9 m/sec - 2,8 m/sec)/3 sec = 3,7 m/sec²

b) Wer 16,65 m heraus hat, hat einen Denkfehler gemacht. Welchen?

Die notwendige Formel lautet: s = 2,8 m/sec * 3 sec + 1/2*a*t² = 25,05 m

Wie kommt man auf die Formel? Was hat das mit dem Unabhängigkeitsprinzip zu tun?

Nun kommen wir zur Anwendung des Gelernten bei der Fallbewegung. Dabei wollen wir aber nicht nur Kinematik betreiben, also ausrechnen wo, wann und wie schnell der Körper unten ankommt...sondern auch einige Grundprinzipien der Mechanik erfassen, die uns zu den Gedanken von Einstein führen, aus denen er vor über 110 Jahren die Allgemeine Relativitätstheorie entwickelt hat.

Bald werden wir verstehen: Ein fallender Körper fällt nicht, er folgt der vorliegenden Krümmung des Raumes. Er kann einfach nicht anders....

P 25: Übung macht den Meister

 3.6 Weitere Übungen

Tipp: 

Unbedingt zuerst überlegen, welche Bewegungsart vorliegt. Dann die entsprechenden Formeln nachschlagen und aufschreiben. Dadurch wird das Gehirn vorbereitet und fängt schon an Verknüpfungen zu produzieren, die mir bei der Lösungsfindung helfen.

Dann erst loslegen.

Am Ende überlegen, ob die Lösung plausibel ist.

Aufgabe 1:

Eine Rakete beschleunigt aus dem Start heraus mit 17,78 m/sec² bis sie 9650 km/h erreicht hat.

a) Wie lange dauert das?

b) Wie weit kommt sie in der Zeit?

Aufgabe 2:

Zwei PKW fahren eine Strecke von 50 m.

Auto A beschleunigt vom Stand weg mit 3 m/sec².

Auto B kommt mit 15 m/sec am startenden Auto A vorbei und fährt mit dieser Geschwindigkeit weiter.

a) Ab wann ist Auto A schneller als B?

    Zeichne ein GZD für beide Autos.

b) Wieviel später kommt Auto A an der 50 m - Marke an?

c) Wie kange muss die Fahrtstrecke sein, damit Auto A zuerst ankommt?

d) Zeichne die WZD und überprüfe die Lösungen.

Aufgabe 3:

Ein Auto fährt mit 10 km/h. 3 Sekunden später hat es 50 km/h.

a) Welche (mittlere) Beschleunigung besitzt es?

b) Welche Strecke legt es in den 3 Sekunden zurück?

P 24: Wir fassen zusammen

 3.5 Das WZG der gleichm.beschl.Bewegung

Unter zwei Annahmen konnten wir das Gesetz herleiten:

- Wir starten mit der Geschwindigkeit 0. Dann lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit leicht ausrechnen.

- Für die Durchschnittsgeschwindigkeit können wir das bekannte Gesetz s = v*t anwenden.

Auf ähnliche Weise hat wohl Galilei auch diesen Zusammenhang begründet.

Aber: Das erhaltene Gesetz musste einer experimentellen Prüfung unterzogen werden.

Erst wenn Experimente unsere Überlegungen bestätigen, können wir von einer Entdeckung eines Naturgesetzes ausgehen.

Ich bin mir sicher, dass dieses naturwissenschaftliche Prinzip, das Galilei eingeführt hat (durchaus erst überlegen, dann aber durch Experimente oder Beobachtungen bestätigen), heute nicht immer konsequent durchgehalten wird.

Sonst würden wir nicht über Dunkle Energie und Dunkle Materie so reden, als sei ihre Existenz schon bewiesen. Es sind gute und sinnvolle Annahmen, nicht mehr.

Die Überprüfung werden wir am Beispiel des freien Falls vornehmen.

Das konnte Galilei nicht, denn er hatte keine Möglichkeiten so kleine Zeiten präzise zu messen.

Er "verlangsamte" die Fallbewegung auf einer schiefen Rutsche.

aus Leifi Physik

 Den Schiefen Turm zu Pisa hat er nicht genutzt.

Zusammenfassung:

Wir haben nun zwei Bewegungen kennengelernt, eine mit konstanter Geschwindigkeit und eine mit konstanter Beschleunigung.

Die folgende Tabelle fasst die Bewegungsgesetze zusammen:

Wir werden sehen, dass wir alle Probleme der Bewegungslehre dadurch lösen können, dass wir WZG und GZG gemeinsam nutzen.

In der Q3 werdet ihr dann lernen, dass das im atomaren Bereich so nicht funktioniert. WZG und GZG verlieren dort ihre Gültigkeit, es gibt weder Bewegungsabläufe noch Bahnen. Zum ersten Mal hat das Werner Heisenberg durch seine Unbestimmtheitsbeziehung ausgedrückt.

Das ist dann die nichtklassische Physik, die Quantenmechanik.

P23 Wir spielen alle mal den Galileo

 3.4.2 Die Lösung

Schritt 1: Zusammenstellen der Daten

Wir haben folgende Informationen:

Geschwindigkeit beim Losrollen: v(0 sec) = 0 km/h

Geschwindigkeit biem Abheben: v(35 sec) = 260 km/h

Zeit vom Losrollen bis zum Abheben: 35 sec.

Schritt 2: Berechnung der mittleren Beschleunigung

Damit wir überhaupt weiterdenken können, müssen wir nun annehmen, dass das Flugzeug gleichmäßig beschleunigt. Das ist näherungsweise sicher richtig, aber in der Praxis wird der Pilot die Triebwerke erst langsam hochfahren, während er zu Rollen beginnt.

Aber unter der Annahme einer konstanten durchgehend gleichen Beschleunigung a gilt das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v(t) = a*t.

Damit können wir die Beschleunigung ausrechnen: v(35 sec) = a * 35 sec.

Macht das mal...Ihr müsst dazu natürlich die Geschwindigkeit in m/sec umrechnen.

Das Ergebnis: a = 2,06 m/sec².

Ist das realistisch?

Das ist etwa 20% der Fallbeschleunigung von 10 m/sec² auf der Erde. Man wird also mit "20% seines Gewichtes in den Sitz gedrückt". Das erscheint realistisch, denn man merkt ja den Start durchaus.

Zwischenziel erreicht.

Schritt 3: Gedanken zur Durchschnittsgeschwindigkeit

Was haben wir nun davon?

Erst einmal nichts...denn wir kennen ja, wie Galilei, das WZG nicht, d.h. wir wissen nicht wie der zurückgelegte Weg s von der Zeit t abhängt.

Aber jetzt kommt Galileis Trick:

Wir wissen, zu welcher Zeit t das Flugzeug abhebt. Wir wissen nicht wo. Nennen wir diese Strecke mal s(t), dann können wir aus der bekannten Zeit  t = 35 sec und unserer gesuchten Strecke s(t) eine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit vd bestimmen: 

vd = s(t)/t.

Und diese Durchschnittsgeschwindigkeit können wir auch aus unseren bekannten Geschwindigkeiten ausrechnen:

Da das Flugzeug mit v = 0 losfährt und mit v(t) abhebt, muss es die Durchschnittsgeschwindigkeit 

vd = v(t) * 1/2 haben.

Schritt 4: Lösung mit unseren Durchschnittswerten

Nun sind wir am Ziel:

Anschaulicher letzter Schritt:

Wir bestimmen die Durchschnittsgeschwindigkeit vd = 260 km/h / 2 = 130 km/h.

Mit unserer Startzeit von t= 35 sec können wir daraus direkt die Länge der Startbahn ausrechnen: 

s(t) = 130 km/h * 35 sec.

Wir erhalten 1264 m.

Formaler letzter Schritt:

Wir haben zwei Formeln für die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten:

vd = s(t)/t  und vd = 1/2*v(t).

Setzen wir die rechte Seiten gleich, so erhalten wir s(t)/t = 1/2 * v(t) bzw.

      s(t) = 1/2*v(t) * t

Für v(t) haben wir aber auch eine Formel: v(t) = a*t.

Wenn wir das einsetzen erhalten wir s(t) = 1/2 * a * t * t, also s(t) = 1/2 * a * t².

Damit können wir aus der Rollzeit t die Strecke s(t) bis zum Abheben ausrechnen.

Von Rundungsfehlern abgesehen erhalten wir genau die Hälfte unseres falschen Wertes, wenn wir mit der Endgeschwinhdigkeit über den gesamten Startvorgang rechnen.

Ich hoffe, euch ist klar, warum das der Fall ist?

Was heißt das?

Konstrukteure vonm Startbahnen brauchen keine Ahnung von Mechanik zu haben, sie können falsch rechnen, erhalten aber einen umsetzbaren Wert, denn der falsche Wert ist der verdoppelte richtige Wert...falls sie nicht auf die Idee kommen, den aus Sicherheitsgründen auch nochmal zu verdoppeln.

Dann wird höchstens Beton verplempert...

Ich habe die gemachten Überlegungen noch einmal mit zwei Graphen und einem Bild in Verbindung gebracht.

 

Bitte schreibt einen Bildtext zu den beiden Graphen, aus dem hervorgeht, was an den Graphen in Hinblick auf unsere Aufgabenlösung erkannt werden soll.

Zusammen mit dem Lösungsweg übertragt das in eurer Heft und wir können dann in einem kurzen nächsten Post das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung hinschreiben und anwenden.