P 38: Waagerechter Wurf vektoriell

 5.4 Berechnung der Auftreffgeschwindigkeit

Ich erkläre die Herleitung der Formel in einem kurzen Video. Ihr solltet den Inhalt in euer Heft übertragen und vor allem auch die angesprochenen Umformungen selbst durchführen.

Leider habe ich im letzten Satz das Wort "Wurzel aus" vergessen, ich hoffe ihr merkt es.

Worum geht es?

Ein waagerecht abgeworfener Körper trifft schräg auf dem Boden auf, denn er hat zwei Geschwindigkeitskomponenten:

In x- Richtung immer noch die Abwurfgeschwindigkeit (wir vernachlässigen ja die Luftreibung) und in y-Richtung die Fallgeschwindigkeit am Ende der Fallzeit.

Beide Geschwindigkeiten müssen wir vektoriell addieren.

Wie das geht, erkläre ich im Video!

Zuerst ein Bild der Herleitung:

Und nun das Video:

Man kann natürlich auch den Auftreffwinkel berechnen:

Nun haben wir genug waagerecht geworfen, suchen wir uns andere Wurfrichtungen aus...

P 37 Die allgemeine Formel

 5.3 Bahngleichung der Flugbahn

Im Prinzip müssen wir die Rechnung ähnlich wie eben bei der Aufgabe machen, nur setzen wir keine Zahlen ein, sondern lassen alle Buchstaben stehen.

5.3.1 y-Achse zeigt nach unten

Wir wählen das bequeme Koordinatensystem, d.h. das, in dem die y-Achse in Richtung der Fallbewegung zeigt.

Dann haben wir die folgenden Gleichungen:

x-Richtung (gleichförmige Bewegung mit der Abwurfgeschwindigkeit v als feste Größe):

x = v*t

y-Richtung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung, freier Fall): 

y = 1/2 g*t²

Die Bestimmung einer Bahngleichung bedeutet: Wir wollen y in Abhängigkeit von x kennen. Da stört das t...also schmeißen wir es raus:

Wir lösen die erste Gleichung nach t auf und setzen das für das t in die zweite Gleichung ein.

Dann erhalten wir:

  y = g/(2v²)  * x²

Das ist die Gleichung einer Parabel durch den Ursprung.

t ist weg und mit x kann ich y direkt berechnen....

Eine solche Wurfparabel habt ihr selbst gezeichnet oder ihr seht sie auch im letzten Post.

Der Vorfaktor g/(2v²) regelt, wie steil die Parabel verläuft.

Wenn die Schwerkraft größer wird, dann steigt g und damit verläuft die Wurfbahn steiler.

Wenn man schneller abwirft, wird der Nenner größer, aber der ganze Vorfaktor kleiner, d.h. die Parabel verläuft flacher. Man wirft weiter.

Kennt ihr.

Auf einem Neutronenstern plumpst euch der Ball beim Loslassen direkt auf die Füße....

Eine mathematisch üblichere Darstellung ist die Folgende:

5.3.2 y-Achse zeigt nach oben

 

 

 

 

 

 

 

Wir werfen in der Höhe h ab. Die Gleichung für die x-Bewegung ändert sich nicht: x = v*t

Wie muss sich die Gleichung fürt die y-Bewegung ändern?

Wir starten mit h und ziehen immer die Fallstrecke 1/2g*t² ab:

y = h - 1/2g*t²

Wieder ersetzen wir das t in der zweiten Gleichung durch x/v (also t² durch x²/v²)  und erhalten nach einer leichten Umformung:

y = h - g/(2v²) * x² 

Diesen Funktionsgraph habe ich für h = 10 m und drei Abwurfgeschwindigkeiten 2 m/sec (blau), 4 m/sec (rot) und 8 m/sec (grün) für die Erde geplottet:

Ich habe die gesamte Funktion geplottet, für die Physik hat nur der erste Quadrant eine Bedeutung.

Und nun vergleichen wir mal Erde und Mond für v = 2 m/sec:

 Schaut euch nochmal das Video vom hüpfendnen und singenden Astronauten an...das ist die Übertragung auf die Realität...

Du kannst solche Graphen leicht selbst erzeugen: Plottprogramm aufrufen, graphikfähigen Taschenrechner benutzten oder Punkte ausrechnen und Graphen per Hand zeichnen...

Im nächsten Post machen wir noch kurz etwas besonders für zukünftige LKler: Wir arbeiten beim waagerechten Wurf mit Vektoren.

P 36 Lösung der Aufgabe

 5.2 Berechnung von Fallzeit und Wurfweite

5.2.1 Vorbereitung

Unsere kleinen Experimente haben gezeigt:

Zwei fallende Körper kommen immer zur gleichen Zeit am Boden auf, ja sie sind sogar immer auf gleicher Höhe, egal wie schnell einer der Körper zusätzlich zur Seite fliegt.

Das haben wir als das Unabhängigkeitsprinzip bei der Überlagerung von Bewegungen kennengelernt.

Wir werden also die waagerechte Bewegung mit x(t) bezeichnen. Das ist eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit vo = 2 m/sec.

In y-Richtung haben wir eine Fallbewegung aus der Höhe 10 m. Dafür können wir schreiben: y(t) = 10 - 1/2 g*t².

5.2.2  Ein neuer Trick

Einfacher wird aber alles, wenn wir einen neuen Trick lernen:

Anpassen des Koordinatensystems:

Wir lassen die y-Achse in Richtung des Fallens, also nach unten zeigen. Dann gilt y(t) = 1/2g*t² 

Wie weit kommt der Körper, bevor er auftrifft?

Dazu müssen wir wissen, wie lange er unterwegs ist, also wie lange es dauert, bis er nach 10 m Fall unten auftrifft.

Dazu interessiert nur die Fallbewegung y(t) = 1/2g*t².

Wir setzen y = 10 m und nehmen g = 10 m/sec², stellen nach t um (Wurzel ziehen!) und erhalten ungefähr t = 1,4 sec.

In dieser Zeit fliegt der>Körper also mit 2 m/sec in x-Richtung. Er wird also 2,8 m weit kommen.

5.2.3 Konstruieren des Graphen

Um die Flugbahn zu konstruieren (gleich lernen wir noch ein allgemeineres Verfahren kennen), müssen wir uns Zeiten t vorgeben.

Dann zu jeder Zeit t  die zugehörigen Koordinaten x = v*t und y = 1/2 g*t² ausrechnen. Auch hier wählen wir wieder g = 10 m/sec².

Wir erhalten

t in sec        x in m     y in m

0                  0             0 

0,2               0,4          0,2

0,4               0,8          0,8

0,6               1,2          1,8

0,8               1,6          3,2

1,0               2,0          5,0

1,2               2,4          7,2

1,4               2,8          9,8

Daraus ergibt sich der folgende Graph:

Im nächsten Post lernen wir dann das allgemeine Verfahren kennen und wie man die Bahngleichung bestimmt. Das ist vor allem für zukünftige LKler sehr wichtig!

P 35: Das Wettfallen zweier Münzen

 5. Der waagerechte Wurf

5.1 Die Aufgabe

5.1.1 Die Aufgabenstellung

Ein Körper fliegt waagerecht in einer Höhe h von 10 m mit einer Geschwindigkeit von vo = 2 m/sec von einem geraden Dach weg nach unten.

 

Wie weit vom Hausrand entfernt kommt er auf dem Boden auf? Berechne diese Wurfweite W.

Zeichne die Flugbahn.

(Luftreibung wird vernachlässigt)

5.1.2  Die Vorbereitung

Ich möchte das Wissen zusammenstellen, das Dir für die Lösung der Aufgabe hilfreich sein kann.

So kannst Du übrigens imemr vorgehen:

Die Aufgabe ansehen, das Wissen zusammenstellen (richtig notieren), was damit in Verbindung stehen könnte, und dann erst lösen...

Viele starren nur die Aufgabe an und warten auf eine Eingebung...die kommt eher selten..., aber fast von alleine, wenn man sich mögliches Vorwissen dazu bewusst macht (durch das notieren).

a) Bewegungen können sich überlagern

Dazu machst Du am besten selbst einen einfachen Versuch.

Lege, wie in der Abbildung, zwei Münzen an eine Tischkante, eine vor und eine auf ein Lineal. Dann dreh das Lineal ruckartig.

                                              aus Leifiphysik

Was fällt Dir auf, wenn Du den Aufprall hörst?

Wieso ist das eher verwunderlich? (Stell Dir die Flugbahnen der beiden Münzen vor!)

Erkläre die gemachte Beobachtung mit Hifle des Unabhängigkeitsbprinzips.

 Dabei können Dir die nächsten beiden Bilder helfen:

                                                  A.V. Gradwohl, TU Graz

  

                                                              leifiphysik

Ich hab mir nicht nehmen lassen, zu Hause schnell einen solchen Versuch in der Küche zu improvisieren...

 Die hintere Münze wird zur Seite gestoßen, sie macht einen waagerechten Wurf.

Der vorderen Münze ziehe ich "den Boden unter den Füßen" weg, sie fällt nur.

b) Welche Bewegungen überlagern sich hier?

Schreib die Gesetze für diese Bewegungen hin. Das ist ein GZG und es sind zwei WZG.

d) Was haben die Größen der Formeln mit unserer Aufgabe bzw. den Wurfversuchen zu tun?

Interpretiere die Buchstaben t und s Deiner Formeln für unsere Versuche.

5.1.3 Die Lösung

Deine Aufgabe...

Wenn Du weitere Hilfe brauchst, dann schau Dir die wunderschöne Simulation  bei Leifiphysik an:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/grundwissen/waagerechter-wurf

Simulation waagerechter Wurf

Das Sammelsurium vieler Formeln unter der Simulation kannst Du getrost ignorieren.

Erstens kommst Du selbst auf die Lösung der Aufgabe und zweitens lernen wir die meisten dieser Formeln noch kennen, aber etwas langsamer und übersichtlicher...

Nun ran an die Lösung....

 

 

P 34: Eine Schwerkraftreise durch den Kosmos

 Ich hatte die Lösung der kleinen Aufgabe vergessen: Wenn etwas aus 3,54 m herunterfällt, trifft es mit 30 km/h am Boden auf.

Ihr würdet einen solchen Sturz bestimmt nicht mit den Armen abfangen, aber viele denken, wenn ein Auto irgendwo mit 30 km/h aufprallt, könnten sie sich mit den Armen am Lenkrad abstützen...

4.4.5 g-Werte in anderen Teilen des Universums

Bleiben wir aber erst einmal auf der Erde.

Erde

Wir werden bald lernen (wenn Newton zu uns stößt), wie man g aus der Masse und dem Radius eines Himmelskörpers berechnen  kann.

Wäre die Erde eine homogene Kugel, so würden an ihrer Oberfläche alle Körper immer mit der gleichen Beschleunigung herunterfallen.

Aber die Erde ist abgeplattet. Orte an den Polen liegen dichter am Mittelpunkt, die am Äquator weiter weg. Die Radien unterscheiden sich um 21 km.

Zusätzlich befindet sich etwas mehr Masse in d r Äquatorregion.

Der etwas größere Äquatorradius führt zu einer Abnahme von g, die etwas größere Masse am Äquator zu einer Zunahme. Aber auch die sog. Fliehkraft durch die Erdrotation wirkt am Erdäquator besonders stark und führt zu kleineren  Fallbeschleunigungen.

Insgesamt ergibt sich:

Fallbeschleunigung am Pol: 9,83 m/sec²

Fallbeschleunigung am Erdäquator: 9,78 m/sec²

Wenn wir 9,8 m/sec² annehmen, ist das ein guter Mittelwert. Für Schulübungen reicht auch 10 m/sec² als Näherung aus.

Mit sehr präzisen Messungen kann man auch Erzlagerstätten durch einen erhöhten g-Wert finden und den Einfluss von Gebirgen auf die Fallbewegung untersuchen.

Mond

Hier ist g etwa 1/6 so groß wie auf der Erde, liegt also bei 1,6 m/sec².

Das sieht man am langsam fallenden Hammer im Video in Post 28  aber auch an den Sprüngen der Astronauten auf dem Mond.

Mars:

Hier beträgt g = 3,7 m/sec², durchaus angenehm für zukünftige Bewohner und eine Hilfe für den ersten Marshelikopter:

Wer findet hier den fliegenden Heli?

credit: NASA/JPL

Jupiter:

An der Außengrenze der dichten Wolken liegt g bei 24,8 m/sec².

 Sonne:

Sie hat keine Oberfläche auf die man sich beziehen könnte. Ihre dichteren Gasschichten enden in der 400 km dicken Photosphäre, aus der das Licht kommt. Hier ist g = 274 m/sec².

Ein Blick auf die Sonne am 27.10.2021 (credit: SOHO-Satellit):

 Die Sonnenflecken (in Magnetfeldern abgekühlte Gebiete) sind größer als unsere Erde!

Weiße Zwerge:

In 5 Milliarden Jahren wird die Sonne sich zu einem erdgroßen Weißen Zwerg zusammenziehen und erkalten. An seiner Oberfläche liegt g = 3 Millionen m/sec² vor.

 

Größenvergleiche (Uni Regensburg)

Neutronensterne:

Massereichere Sterne enden als 10 km große Neutronenklumpen. Ihre Fallbeschleunigung liegt bei 2 Billionen m/sec².

 Größenvergleich 10 km großer Neutronenstern auf der Erde (MPG)

Schwarze Löcher:

Wer jetzt meint g ist unendlich groß, liegt falsch.

Wir fassen den sog. Ereignishorizont als Grenze des Schwarzen Loches auf. Ab diesem Bereich kann nichts mehr nach Außen dringen.

Wäre die Sonne ein Schwarzes Loch, wäre sie etwa 1,5 km groß und hätte g = 60 Trillionen m/sec².

In den Zentren der Galaxien sitzen supermassive Schwarze Löcher mit Milliarden Sonnenmassen und Größen von Milliarden km. An deren Ereignishorizont ist g = 15  000 m/sec².

Hier ein Bild des Schattens eines supermassiven Schwarzen Loches im Zentrum der Galaxie M87 (EHT):

 Man erkennt recht gut auch die Fallkurven von Materie, die in das Schwarze Loch stürzt.

Das Gefährliche an Schwarzen Löchern ist, dass sich g schon längs kurzer Strecken so stark ändert, dass alles was reinfällt, auseinandergerissen wird. Man nennt das Spaghettisierung (Bild:NASA).

Deine Füße fallen um ein Vielfaches schneller als Dein Kopf. Das tut weh!

In den nächsten Posts behandeln wir dann wieder den Pflichtstoff: Würfe in alle Richtungen...damit ihr später auch Elektronen durch elektrische und magnetische Felder werfen könnt, und das wird im Abitur abgefragt...

P 33: Profis am Werk

 4.4.4 Fallturm im Kleinen

Im SFN in Kassel haben wir auch einen kleinen "Fallturm", etwa 15 m hoch.

Dort haben die damaligen Schüler Christoph Mayer, Johannes Korff und Philipp Lehmann untersuchen wollen, wie sich eine Wasserbrücke in Schwerelosigkeit verhält.

 

(Zur Info: Wasser bildet eine Hängebrücke zwischen zwei Gläsern, wenn man eine sehr hohe Spannung anlegt. Das Bild zeigt eine Wasserbrücke im Labor.)

Wir werden bald sehen, dass eine solche Schwerelosigkeit (besser Mikrogravitation) innerhalb von fallenden Körpern vorliegt, vorausgesetzt sie fallen genau mit der Fallbeschleunigung. Das geht nur, wenn es keinerlei Abbremsung gibt, also keine Reibung in Luft..

Deshalb pumpt man ja im Bremer Fallturm die Luft aus der 115 m hohen Röhre raus.

Das ging bei uns nicht. Deshalb haben die drei Schüler  das Zwei-Kapsel-System genutzt:

Eine äußere Fallkapsel nimmt die Luftreibung auf, in ihrem Inneren fällt eine kleinere Kapsel mit, sozusagen gemeinsam mit der umgebenden Luft.

Die innere Kapsel verspürt also keine Reibung und wird etwas stärker beschleunigt als die äußere Kapsel.

Nun muss man nur noch die Kapselgrößen und die Fallstrecke so aufeinander beziehen, dass die innere Kapsel während des ganzen Vorgangs nicht unten an der äußeren Kapsel auftrifft.

Das haben die Schüler geschafft und dann mit einem Laser die Fallgeschwindigkeit der äußeren und der inneren  Kaspel mit Hilfe von Laserstrahlen gemessen, nicht in Abhängigkeit zur Fallstrecke sondern direkt zur Fallzeit.

Aus dem GZG v = g*t konnten sie dann direkt die Fallbeschleunigung ausrechnen.

Ich zeige einmal einige Abbildungen aus ihrer Jugend forscht Arbeit:

Der Wert der Fallbeschleunigung in Kassel liegt bei g = 9,811 m/sec², die innere Kapsel hatte 9,817 m/sec².

Allerdings ist der Punkt (0,0) nicht bei der Auswertung berücksichtigt worden. Aber trotzdem gibt es nur eine Abweichung von 0,06 % zwischen Fallbeschleunigung der inneren Kapsel und dem g-Wert für Kassel.

Ich habe eben geschrieben: Die Fallbeschleunigung in Kassel...Fallen denn Körper in München anders?

Da gehen wir im nächsten Post drauf ein.

P 32: Auswertung

 4.4.3 Auswertung

Zuerst die Geschwindigkeiten:

s/m   v/ (m/sec)

0        0

0,1    1,36

0,15   1,67

0,2     2,0

0,25   2,31

0,3     2,5

Ich habe hier den sicheren Wert (0,0) wieder zugefügt.

Wir hatten ja die Formel s = 1/2*v²/g, deren Gültigkeit wir überprüfen wollten und dann gegenenfalls die Fallbeschleunigung g bestimmen wollten. 

Das war der Kombinationstrick.

Zur Auswertung wenden wir jetzt den Linearisierungstrick an, d.h. wir tragen s gegen v² auf (die Rechnung gebe ich hier nicht an).

Der Graph in Excel zeigt das Ergebnis. Die Punkte lassen sich sehr gut durch eine Gerade mit der Steigung 0,0466 m/(m²/sec²) darstellen.

 Das kann man mit einem Steigungsdreieck machen, Excel hat bekannte Verfahren der Ausgleichsrechnung verwendet, um die Gleichung der Geraden zu finden, für die die Messpunkte am Besten passen. (was das mathematisch bedeutet, klären wir hier nicht).

Bei dieser einfachen Analyse ist Excel nicht davon ausgegangen, dass der Messpunkt (0,0) vollständig fehlerfrei ist.

Ich hätte per Hand meine Ausgleichsgerade an diesem Punkt angefangen und wäre zu einer geringfügig größeren Steigung gekommen.

Diskutiert einmal, was das für mein Ergebnis für g bedeutet hätte.

Wir übernehmen aber nun die Steigung von Excel: m = 0,0466.

(Zur  besseren Übersichtlichkeit lasse ich die Einheiten weg).

Unser Formel ergibt s = 1/(2*g) * v².

Der Vergleich mit y = m*x zeigt uns: m = 1/(2*g)

Damit erhalten wir g = 10,7 m/sec² .

Die Abweichung von 9% ist bei diesem einfachen Experiment tolerabel.

P 31: Ein weiterer Auswertetrick: Kombinieren von Formeln

 4.4 g-Bestimmung über Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme GZG

4.4.1 Das Experiment

Wenn man sich das GZG der gleichmäßig beschl. Bewegung ansieht (v = g*t) ist es ja gut geeignet, g als Steigung eines Graphen zu bestimmen: Trägt man die Geschwindigkeit beim Fallen gegen die Zeit t der Messung auf, so sollte eine Gerade herauskommen.

Wie gehen wir da beim Messen vor?

Die Fallgeschwindigkeit könnte man als Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen.

Der fallende Körper mit der Dicke Δy durchfällt eine Lichtschranke zur Zeit t, die die dazu gehörende Durchfallzeit Δt misst. Dann ist v(t) näherungsweise Δy/Δt.

Das lässt sich recht einfach aufbauen.

Wegen der Messgenauigkeit sollten allerdings die Fallstrecken nicht zu groß sein...dann wird es aber schwierig, die Fallzeit t gut zu messen. Sicher gibt es auch dazu elektronische Lösungen bei gut ausgerüsteten Physiksammlungen....

Man könnte auch ein Video aufnehmen und die Fallzeit t über das Zählen von Einzelbildern bestimmen. Bei einer Fallstrecke von 0,5 m kommt man da etwa auf 7 bis 8 Bilder.

Schauen wir uns erst einmal einen Versuch dazu an:

 

Der Laserstrahl in der Lichtschranke ist nachträglich eingezeichnet, es ist ein IR-Strahl, den man eigentlich  nicht erkennt.

An einem Stativ rechts (nicht im Bild) habe ich Höhenmarkierungen angebracht, auf dem fallenden Klotz ebenfalls eine Markierung.

Nun das Video:

Ich habe mehrfach gemessen und gebe hier die Mittelwerte an (Δy = 3 cm):

Fallstrecke s/m       Durchfallzeit Δt /sec       v = Δy/Δt

   0,1                                  0,022

0,15                                   0,018

0,2                                     0,015

0,25                                   0,013

0,3                                     0,012

Berechnet erst einmal die Geschwindigkeiten in m/sec.

Wie werten wir das nun aus?

4.4.2 Der Trick Nummer 2

Wir könnten die Fallzeit t über s= 1/2 g*t² berechnen...aber das ist logisch nicht korrekt, wenn wir eigentlich überprüfen wollen, ob g konstant ist und ob unser Gesetz überhaupt gilt.

Deswegen kombinieren wir beide zu überprüfende Gesetze:

WZG: s(t) = 1/2*g*t²

GZG: v(t) = g*t

Das GZG lösen wir nach t auf und setzen den Term für das t in das WZG ein.

Einen Faktor g können wir kürzen...

Dann erhalten wir:

s(t) = 1/2*v(t)²/g

In dieser Formel sind nun die beiden Messgrößen s und v miteinander in Beziehung gebracht.

Nun wendet Trick 1 an (Linearisieren), schaut, ob eine Gerade herauskommt  und bestimmt  g als Steigung einer Geraden. 

Übrigens: Mit dieser Formel kann man auch sehr leicht die Auftreffgeschwindigkeit v nach Fallen aus der Höhe s berechnen. Wir werden sie öfters einsetzen.

Aufgabe dazu: 

Aus welcher Höhe muss ein PKW fallen, damit er mit 30 km/h am Boden auftrifft?

 Was sagt uns das Ergebnis über die Notwendigkeit des Anschnallens?

P 30 Wir werten aus

 4.3.2 Die Auswertung

Ich habe zuerst einmal s gegen t aufgetragen, dabei nicht den sicheren Punkt (0,0) vergessen.

Im Graphen sind das die schwarzen Kreuze.

Mit etwas Wohlwollen kann man da eine Parabel erkennen.

Aber wie daraus die Fallbeschleunigung bestimmen?

Das geht, mit Ausgleichsrechnungen...Excel kann das gut, aber hat bei mir mal wieder gestreikt, weil der  Messwert 12,1 als Datum 12.1.1900 interpretiert wurde....

Also habe ich weiter selbst gezeichnet..., das ging schneller...

Für uns eine gute Gelegenheit ein wichtiges Verfahren kennenzulernen, das Linearisieren.

Vereinbarung:

Wir wollen in Zukunft Beschleunigungen, die durch Schwerkraft entstehen, immer mit g (von Gravitation) abkürzen.

Dann haben wir die Gleichung s(t) = 1/2 g * t² zu überprüfen.

Tragen wir s gegen t auf, so ergibt sich eine Kurve, aus der wir nur schwer erkennen können, ob g gleich bleibt und wie groß g ist. Ist der Exponent von t wirklich eine 2 oder könnte es auch 1,95 sein???

Besser ist es s gegen t² aufzutragen.

Nennen wir t² hier mal x, dann gilt also:

s = 1/s*g*t² = 1/2 * g * x

Das erinnert  jetzt an die Gleichung y = m*x, die ihr aus der Mittelstufenmathematik für eine Urspungsgerade mit der  Steigung m kennt.

Tragen wir s gegen x auf (also t²), so sollte sich eine Gerade ergeben, wenn g wirklich konstant ist. Und aus der Steigung m der Geraden können wir g berechnen:

 m = 1/2 * g, d.h. g = 2*m

Ich habe in roter Farbe s gegen x aufgetragen (dabei habe ich die Zahleneinteilung der waagerechten Achse übernommen, war halt zu faul ein zweites Koordinatensystem zu zeichnen..., ich denke, da ihr alle selbst diese Grpahen gezeichnet habt, ist es für einen Vergleich ausreichend...😜).

 

Die vier roten Punkte streuen leidlich gut um eine Gerade (rot) mit der Steigung 4,35, die ich mit dem gestrichelt eingezeichneten Steigungsdreieck bestimmt habe.

Das bedeutet einmal: g ist unabhängig von der Fallhöhe.

Und zum anderen können wir g = 2*m = 8,7 m/sec² aus der Steigung ausrechnen.

Der Wert ist zu klein, es hätte 9,8 m/sec² herauskommen müssen. Aber wir konnten trotz allem die Luftreibung nicht perfekt ausschließen. Im Fallschacht war die Luft nicht abgepumpt...

Das macht man in professionellen Fallschächten wie in Bremen wirklich: 

In einer riesigen luftleeren Röhre der Höhe 110 m können Gegenstände nach unten fallen. 

Warum, werden wir bald sehen.

Aber wie lange dauert denn dieser freie Fall?

(Antwort 4,74 sec, bitte nachrechnen!).

 

 

 

 Wäre unser Wert zu groß gewesen, hätte ich keine Erklärung gehabt.

Was bedeutet nocheinmal: g = 9,8 m/sec?

In jeder Sekunde wächst die Geschwindigkeit eines auf der Erde fallenden Körpers um 9,8 m/sec, wenn man Luftreibung vernachlässigt.

Und wir wissen schon, verstehen es aber nicht, dass dieser Wert nicht vom Gewicht des fallenden Körpers abhängt (Hammer und Feder...).

Im nächsten Post zeige ich, wie man mit der Gleichung v = g*t die Fallbeschleunigung g berechnet und wir üben noch einmal das Linearisieren.

Dann stelle ich eine professionelle Methode vor, die drei Jugendliche entwickelt haben.

Dann glauben wir unserer Herleitung endgültig.

Es sei denn, jemand von euch bekommt heraus, dass die Fallbeschleunigung g von der Fallhöhe abhängt....

Vielleicht hat jemand ja Lust, den Mt.Everest zu besteigen und dort zu messen????

Wir kommen da noch zu...

P 29: Im Fallschacht

 4.3 Der Trick des Linearisierens

4.3.1 Das Experiment

Wir wollen nun überprüfen, ob unser theoretisch begründetes WZG s = 1/2*a*t² richtig ist.

Dazu müssen wir einen freien Fall durchführen und die Fallstrecke s sowie die Fallzeit t messen.

Bei kurzen Fallstrecken kann man sehr gut aus einer Position heruas eine Uhr starten und stoppen, aber die Reaktionszeit ist deutlich über der eigentlichen Fallzeit.

Da gibt es zwei Möglichkeiten:

Wir wechseln auf den Mond, da ist die Schwerkraft nur 1/6 derjenigen auf der Erde und alles fällt langsamer.

Oder wir lassen nicht fallen, sondern reibungsfrei auf einer schrägen Bahn abwärts rutschen (so soll es wohl Galilei gemacht haben).

Ich habe einmal Messreihen bei uns im SFN  im Fallschacht gemacht. Das ist eine Aussparung im Treppenhaus, die wir wirklich eingeplant haben, um da Dinge herunter zu werfen oder auch für Höhlenbefahrungen das Klettern am Seil zu üben. Er hat auch schon einmal als Windkanal für unseren Stratosphärenballon gedient...

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Person, die die Zeit stoppt, steht unten neben dem Auftreffpunkt und sieht nach oben an der Handbewegung, wann eine andere Person eine kleine Kugel fallen lässt (natürlich steht sdie untere Person  nicht in Fallrichtung, hat aber trotzdem einen Höhlenhelm auf).

Die Reaktionszeit kann man durch Tests bestimmen und abziehen, das haben wir allerdings nicht gemacht.

Die Fallhöhe wird mit einem Seil bestimmt, dessen Länge man gut messen kann.

Folgende Messwerte ergeben sich (jeder Wert ist der Mittelwert aus 5 Einzelmessungen):

s/m    t/sec

 0        0,0        (diesen total sicheren Messpunkt ohne Fehler vergisst man häufig!)

3,7      0,8 

7,9     1,3

12,1    1,7

Liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor? Ist also die Beschleunigung a konstant?

Tragt einmal s gegen t in einem Diagramm auf...das sollte eine Parabel sein. Seht ihr das?

Und nun kommt ein Trick: Tragt einmal s gegen t² auf.

Was man davon hat, klären wir im nächsten Post.

Wenn ihr übrigens eigene Messungen gemacht habt, dann nehmt diese Messwerte.

P 28: Richtig kompliziert, dabei fällt es nur runter....

 4.2 Parameter und freier Fall

Durch eure Experimente habt ihr sicher herausgefunden, dass verschiedene Eigenschaften das Fallen beeinflussen.

 

Vielleicht versteht man jetzt, wieso Aristoteles (-384 bis - 322), der griechische Universalgelehrte ,zu der Erkenntnis kam, dass schwere Körper schneller als leichte Körper fallen.

Erst Galilei hat 2000 Jahre später diese Idee widerlegen können. Vorher kam niemand auf die Idee, die  Meinung von Aristotels zu überprüfen, denn er galt als eine Art Norm bei der Beschreibung der Welt: Was er sagte, musste stimmen, und worüber  er nichts sagte, darüber dachte man nicht nach.

Er hat auch nie gemessen, sondern sich seine Weltsicht zurecht gedacht...

Galilei war der erste, der mit dieser Tradition brach.

Nun begeben wir uns weiter auf Galileos Spuren:

Die Einflussgrößen auf den Fall nennt man auch Parameter.

Ich könnte mir gut vorstellen, dass ihr die folgenden Beobachtungen zu Parametern der Fallbewegung gemacht habt:

Je größer die Abwurfhöhe ist, desto größer ist die Auftreffgeschwindigkeit.

Das gilt für Fallschirme (zum Glück) nicht: Der Springer kommt bei geöffnetem Fallschirm immer mit der gleichen Geschwindigkeit an, egal ob er aus 500 m oder 2 000 m abspringt. Es sind immer 2...3 m/sec, also immerhin etwa 10 km/h.

Hier merkt man die Bedeutung der Reibung: Die Bewegung durch die Luft entzieht dem fallenden Körper Energie, er wird abgebremst. Ist der Körper klein und schwer, spielt die Reibung nur eine untergeordnete Rolle:

Kleine (wenig Luftreibung) und schwere (die Reibungskraft kann gegen das Gewicht vernachlässigt werden) Körper, erfahren die stärkste Beschleunigung.

Leichte und große Körper (mehr Reibung, die wegen des kleinen Gewichtes eine wichtige Rolle spielt) werden weniger stark beschleunigt.

Es kann sogar passieren, wie beim Fallschirm, dass der Körper dann unbeschleunigt, also mit konstanter Geschwindigkeit  nach unten schwebt.

Lasst einmal ein Blatt Papier fallen oder einen Wattebausch im Vergleich zu einer Stahlkugel...

Dieses Zusammenspiel von Reibungskraft und Gewichtskraft kann vortäuschen, dass Gewicht und Größe eine Rolle beim Fallen spielen.

Stimmt auch, wenn man das Fallen in Luft betrachtet.

Aber eigentlich möchte man die Fallgesetze erkennen...dazu muss man diese Einflüsse möglichst ausschalten oder vernachlässigen können.

Gelingt das, so spricht man vom freien Fall.

Kannst Du sagen: "Frei wovon???".

Am besten kann man den freien Fall im luftleeren Raum untersuchen.

Das hat bei Apollo 15   der Astronaut David R.Scott 1971  live vorgeführt. Millionen Menschen konnten zusehen, wie er einen Hammer und eine Federt auf dem Mond hat fallen lassen. Die Bildqualität ist bescheiden, das lag einmal an den Kameras vor 50 Jahren aber auch an der Übertragungstechnik von Mond zu Erde:

 

Beim freien Fall fallen alle Körper gleich schnell, unabhängig von ihrer Masse und Zusammensetzung.

Warum das so ist, wird uns noch beschäftigen!

Moderne Handykameras sind inzwischen besser, aber durch  die Kompression sind die Bilder im Blog auch nicht so pralle: 

Wenn ihr in der Zeitlupe genau hinseht, merkt ihr, dass der etwas leichtere Körper ein klein wenig später auftrifft. Ihr müsst jetzt erklären können, wieso.

Wenn wir Kräfte kennengelernt haben, können wir auch alles oben genannte genau nachrechnen.

Im Moment wollen wir nur mitnehmen:

Die Bewegungsgesetze gelten für den freien Fall, also eine Fallbewegung ohne Einfluss der Reibung oder anderer Größen.

Wir werden beim Nachmessen also immer Abweichungen erkennen. 

Im nächsten Post werde ich euch Messdaten präsentieren und wir werden lernen, wie man diese nichtlinearen Zusammenhänge auswertet. Dann kommt noch ein Video einer besonderen Messung...dann müssen wir Übungsaufgaben lösen und schließlich zeige ich euch, was Einstein daraus gemacht hat.

P 27: Wir planen den Absturz...

 4. Der freie Fall

4.1 Planung

Wir haben nun auf theoretische Weise überlegt, wie die Gesetze einer gleichmäßig beschleunigten Bewgeung aussehen sollten.

Jetzt müssen wir das überprüfen.

Exemplarisch machen wir das an einer Fallbewegung.

Dazu aber müssen wir uns genau überlegen, was alles auf das Fallen eines Körpers einwirkt.

Das wird der erste Schritt sein.

Eure Aufgabe ist es, möglichst viele Gegenstände fallen zu lassen. Kleine Höhen reichen aus, da sollte auch nichts kaputt gehen...es gibt ja Papier, Papierkugeln, Watte, Radiergummis, Kugelschreiber, Hefte, Murmeln, Schrauben, Metallstücke....aber gerne dürft ihr auch rohe Eier und Porzellanteller ausprobieren...

Notiert eure Beobachtungen und notiert euch Fragen.

Welche Einflüsse gibt es?

Sind das wirklich beschleunigte Bewegungen?

Wie können wir das durch Messungen überprüfen?

Und wie finden wir heraus, ob es sogar gleichmäßig beschleunigte Bewegungen sind?

Macht wieder einen Plan, wie ihr vorgehen würdet, um all diese und weitere Fragen, die euch einfallen, beantworten zu können.

Zur Inspiration (erst ganz am Ende fällt was....):

P 26: Lösungen

 Hinweis: Ich deute Lösungsschritte nur an, damit man wirklich selbst alles nachvollziehen muss.

                 Bei Fragen oder Gesprächsbedarf: https://discord.gg/56ngQmhcCW

Aufgabe 1:

Es liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewgeung vor.

Da die Bewegung mit der Geschwindigkeit v(0) = 0 beginnt, können wir die Zeit direkt mit v = a*t berechnen. Zuvor müssen wir v von km/h auf m/sec umrechnen.

Wir erhalten t = 150,8 sec.

Nun arbeiten wir mit dem WZG s = 1/2 * a * t2 und erhalten s = 202,2 km.

Aufgabe 2:

Auto A: gleichmäßig beshcl. Bewegung ( a = const)

Auto B: gleichförmige Bewgeung ( a=0, v = const)

a) Mit v = a*t = 15 m/sec können wir die Zeit ausrechnen, nach der das Auto die Geschwindigkeit vom anderen Auto besitzt: t = 5 sec.

Die GZD ist hier:

b) Für Auto A gilt: s = 1/2 * a * t² = 50 m. Daraus bestimmen wir t = 5,8 sec.

     Nach dieser Zeit kommt Auto A am Ziel an.

     Für Auto B gilt: s = v*t = 50 m, da es mit der konstanten Geschwindigkeit v = 15 m/sec fährt.

     Dieses Auto kommt nach 3,3 sec an, die Zeitdifferenz sind also rund 2,5 sec.

 c) Wir rechnen die Fahrtstrecke aus, nach  der beide Autos auf gleicher Höhe sind.  

 Nun benutzen wir beide Bewegungsformen in einer Formel. Das ist fast wie zweihändiges               Klavierspielen mit Violin und Bassschlüssel....

    Die Bedingungsgleichung ist: 1/2 * a * t² = v * t . Wir kennen a und v. Was ist t?

    t ist die Zeit, zu der beide Autos gleichauf sind.

   Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 1/2*a*t² - v*t = 0.

     Wir können mit der pq-Formel arbeiten, mit der quadratischen Ergänzung oder mit unserem Gehirn:

      Wir klammern t aus:

       t * (1/2*a*t - v ) =0

       Nun kommt eine wichtige Regel zum Einsatz:

  Ein Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

 Aus der einen quadratischen Gleichung werden damit zwei lineare Gleichungen (für jeden Faktor eine):

     t = 0 oder 1/2*a*t - v =0

Daraus erhalten wir die beiden Lösungen für t:

     t = 0 sec oder t = 2*v/a = 10 sec.

Das macht Sinn, denn ganz am Anfang (t=0) fährt B ja an A vorbei, beide Autos sind gleichauf.

Das entspricht der ersten Lösung!

Und nach 10 sec hat Auto A aufgeholt und fängt an B zu überholen.

Das ist die zweite Lösung.

(Nicht immer entsprechen beide mathematischen Lösungen sinnvoller Physik, hier schon).

Da wir nun den Zeitpunkt kennen, haben wir zwei Möglichkeiten, die notwendige Strecke auszurechnen:

Wer gerne Zahlen in Taschenrechner eintippt, nimmt Auto A und die Formel s = 1/2 * a*t²,

alle anderen nehmen Auto B und rechnen s = v * t  = 150 m leicht im Kopf aus... 

Die WZD sind hier:

 

 Wie kann man an den WZD erkennen, ab wann das eine Auto schneller ist als das andere?

Und wie erkennt man, wann sie gleichauf sind?

Aufgabe 3:

Am besten rechnet man wieder die Geschwindigkeiten in m/sec um, da in der Aufgabe die Zeit in Sekunden angegeben ist.

a) a = (13,9 m/sec - 2,8 m/sec)/3 sec = 3,7 m/sec²

b) Wer 16,65 m heraus hat, hat einen Denkfehler gemacht. Welchen?

Die notwendige Formel lautet: s = 2,8 m/sec * 3 sec + 1/2*a*t² = 25,05 m

Wie kommt man auf die Formel? Was hat das mit dem Unabhängigkeitsprinzip zu tun?

Nun kommen wir zur Anwendung des Gelernten bei der Fallbewegung. Dabei wollen wir aber nicht nur Kinematik betreiben, also ausrechnen wo, wann und wie schnell der Körper unten ankommt...sondern auch einige Grundprinzipien der Mechanik erfassen, die uns zu den Gedanken von Einstein führen, aus denen er vor über 110 Jahren die Allgemeine Relativitätstheorie entwickelt hat.

Bald werden wir verstehen: Ein fallender Körper fällt nicht, er folgt der vorliegenden Krümmung des Raumes. Er kann einfach nicht anders....

P 25: Übung macht den Meister

 3.6 Weitere Übungen

Tipp: 

Unbedingt zuerst überlegen, welche Bewegungsart vorliegt. Dann die entsprechenden Formeln nachschlagen und aufschreiben. Dadurch wird das Gehirn vorbereitet und fängt schon an Verknüpfungen zu produzieren, die mir bei der Lösungsfindung helfen.

Dann erst loslegen.

Am Ende überlegen, ob die Lösung plausibel ist.

Aufgabe 1:

Eine Rakete beschleunigt aus dem Start heraus mit 17,78 m/sec² bis sie 9650 km/h erreicht hat.

a) Wie lange dauert das?

b) Wie weit kommt sie in der Zeit?

Aufgabe 2:

Zwei PKW fahren eine Strecke von 50 m.

Auto A beschleunigt vom Stand weg mit 3 m/sec².

Auto B kommt mit 15 m/sec am startenden Auto A vorbei und fährt mit dieser Geschwindigkeit weiter.

a) Ab wann ist Auto A schneller als B?

    Zeichne ein GZD für beide Autos.

b) Wieviel später kommt Auto A an der 50 m - Marke an?

c) Wie kange muss die Fahrtstrecke sein, damit Auto A zuerst ankommt?

d) Zeichne die WZD und überprüfe die Lösungen.

Aufgabe 3:

Ein Auto fährt mit 10 km/h. 3 Sekunden später hat es 50 km/h.

a) Welche (mittlere) Beschleunigung besitzt es?

b) Welche Strecke legt es in den 3 Sekunden zurück?

P 24: Wir fassen zusammen

 3.5 Das WZG der gleichm.beschl.Bewegung

Unter zwei Annahmen konnten wir das Gesetz herleiten:

- Wir starten mit der Geschwindigkeit 0. Dann lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit leicht ausrechnen.

- Für die Durchschnittsgeschwindigkeit können wir das bekannte Gesetz s = v*t anwenden.

Auf ähnliche Weise hat wohl Galilei auch diesen Zusammenhang begründet.

Aber: Das erhaltene Gesetz musste einer experimentellen Prüfung unterzogen werden.

Erst wenn Experimente unsere Überlegungen bestätigen, können wir von einer Entdeckung eines Naturgesetzes ausgehen.

Ich bin mir sicher, dass dieses naturwissenschaftliche Prinzip, das Galilei eingeführt hat (durchaus erst überlegen, dann aber durch Experimente oder Beobachtungen bestätigen), heute nicht immer konsequent durchgehalten wird.

Sonst würden wir nicht über Dunkle Energie und Dunkle Materie so reden, als sei ihre Existenz schon bewiesen. Es sind gute und sinnvolle Annahmen, nicht mehr.

Die Überprüfung werden wir am Beispiel des freien Falls vornehmen.

Das konnte Galilei nicht, denn er hatte keine Möglichkeiten so kleine Zeiten präzise zu messen.

Er "verlangsamte" die Fallbewegung auf einer schiefen Rutsche.

aus Leifi Physik

 Den Schiefen Turm zu Pisa hat er nicht genutzt.

Zusammenfassung:

Wir haben nun zwei Bewegungen kennengelernt, eine mit konstanter Geschwindigkeit und eine mit konstanter Beschleunigung.

Die folgende Tabelle fasst die Bewegungsgesetze zusammen:

Wir werden sehen, dass wir alle Probleme der Bewegungslehre dadurch lösen können, dass wir WZG und GZG gemeinsam nutzen.

In der Q3 werdet ihr dann lernen, dass das im atomaren Bereich so nicht funktioniert. WZG und GZG verlieren dort ihre Gültigkeit, es gibt weder Bewegungsabläufe noch Bahnen. Zum ersten Mal hat das Werner Heisenberg durch seine Unbestimmtheitsbeziehung ausgedrückt.

Das ist dann die nichtklassische Physik, die Quantenmechanik.

P23 Wir spielen alle mal den Galileo

 3.4.2 Die Lösung

Schritt 1: Zusammenstellen der Daten

Wir haben folgende Informationen:

Geschwindigkeit beim Losrollen: v(0 sec) = 0 km/h

Geschwindigkeit biem Abheben: v(35 sec) = 260 km/h

Zeit vom Losrollen bis zum Abheben: 35 sec.

Schritt 2: Berechnung der mittleren Beschleunigung

Damit wir überhaupt weiterdenken können, müssen wir nun annehmen, dass das Flugzeug gleichmäßig beschleunigt. Das ist näherungsweise sicher richtig, aber in der Praxis wird der Pilot die Triebwerke erst langsam hochfahren, während er zu Rollen beginnt.

Aber unter der Annahme einer konstanten durchgehend gleichen Beschleunigung a gilt das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v(t) = a*t.

Damit können wir die Beschleunigung ausrechnen: v(35 sec) = a * 35 sec.

Macht das mal...Ihr müsst dazu natürlich die Geschwindigkeit in m/sec umrechnen.

Das Ergebnis: a = 2,06 m/sec².

Ist das realistisch?

Das ist etwa 20% der Fallbeschleunigung von 10 m/sec² auf der Erde. Man wird also mit "20% seines Gewichtes in den Sitz gedrückt". Das erscheint realistisch, denn man merkt ja den Start durchaus.

Zwischenziel erreicht.

Schritt 3: Gedanken zur Durchschnittsgeschwindigkeit

Was haben wir nun davon?

Erst einmal nichts...denn wir kennen ja, wie Galilei, das WZG nicht, d.h. wir wissen nicht wie der zurückgelegte Weg s von der Zeit t abhängt.

Aber jetzt kommt Galileis Trick:

Wir wissen, zu welcher Zeit t das Flugzeug abhebt. Wir wissen nicht wo. Nennen wir diese Strecke mal s(t), dann können wir aus der bekannten Zeit  t = 35 sec und unserer gesuchten Strecke s(t) eine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit vd bestimmen: 

vd = s(t)/t.

Und diese Durchschnittsgeschwindigkeit können wir auch aus unseren bekannten Geschwindigkeiten ausrechnen:

Da das Flugzeug mit v = 0 losfährt und mit v(t) abhebt, muss es die Durchschnittsgeschwindigkeit 

vd = v(t) * 1/2 haben.

Schritt 4: Lösung mit unseren Durchschnittswerten

Nun sind wir am Ziel:

Anschaulicher letzter Schritt:

Wir bestimmen die Durchschnittsgeschwindigkeit vd = 260 km/h / 2 = 130 km/h.

Mit unserer Startzeit von t= 35 sec können wir daraus direkt die Länge der Startbahn ausrechnen: 

s(t) = 130 km/h * 35 sec.

Wir erhalten 1264 m.

Formaler letzter Schritt:

Wir haben zwei Formeln für die Durchschnittsgeschwindigkeit erhalten:

vd = s(t)/t  und vd = 1/2*v(t).

Setzen wir die rechte Seiten gleich, so erhalten wir s(t)/t = 1/2 * v(t) bzw.

      s(t) = 1/2*v(t) * t

Für v(t) haben wir aber auch eine Formel: v(t) = a*t.

Wenn wir das einsetzen erhalten wir s(t) = 1/2 * a * t * t, also s(t) = 1/2 * a * t².

Damit können wir aus der Rollzeit t die Strecke s(t) bis zum Abheben ausrechnen.

Von Rundungsfehlern abgesehen erhalten wir genau die Hälfte unseres falschen Wertes, wenn wir mit der Endgeschwinhdigkeit über den gesamten Startvorgang rechnen.

Ich hoffe, euch ist klar, warum das der Fall ist?

Was heißt das?

Konstrukteure vonm Startbahnen brauchen keine Ahnung von Mechanik zu haben, sie können falsch rechnen, erhalten aber einen umsetzbaren Wert, denn der falsche Wert ist der verdoppelte richtige Wert...falls sie nicht auf die Idee kommen, den aus Sicherheitsgründen auch nochmal zu verdoppeln.

Dann wird höchstens Beton verplempert...

Ich habe die gemachten Überlegungen noch einmal mit zwei Graphen und einem Bild in Verbindung gebracht.

 

Bitte schreibt einen Bildtext zu den beiden Graphen, aus dem hervorgeht, was an den Graphen in Hinblick auf unsere Aufgabenlösung erkannt werden soll.

Zusammen mit dem Lösungsweg übertragt das in eurer Heft und wir können dann in einem kurzen nächsten Post das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung hinschreiben und anwenden.

 

P22: Bitte kommen Sie zum Gate 22

 3.4 Berechnung einer Startbahnlänge

3.4.1 Die Aufgabe

Ein Airbus A 380 hat eine Masse von 560 000 kg. Deshalb braucht er zum Abheben eine Geschwindigkeit von 260 km/h.

Beim Start einer A 380 habe ich mal die Zeit zwischen Losrollen an der Startbahn  und Abheben gestoppt. Ich bin auf 35 Sekunden gekommen.

Überlegt euch ein Verfahren, wie man mit den Angaben die Mindestlänge der Startbahn berechnen kann.

Hilfe: Was hat jemand gemacht, wenn 2527 m herauskommen? 

Warum ist dieser Wert zu groß?

Warum kann man so nicht vorgehen?

Ihr müsst auch sinnvolle Annahmen machen. Welche?

Der richtige Wert ist 1264 m. Wie kommt man da drauf?

Legt los...

Falls euch der errechnete Wert zu niedrig erscheint, ich war auch überrascht, wie schnell dieses Flugzeug abhebt. Eine Startbahn ist aber mindestens doppelt so lang wie unser errechneter Wert, da man ja auch einen Startabbruch und das Ausrollen in Betracht ziehen muss.

Bild wikipedia

 

   Im Cockpit

Anmerkung: In Hessen beginnen am Freitag die Herbstferien. Ich werde trotzdem, wenn auch etwas seltener, während der Ferien  weiterposten. Das erleichtert mir später die Arbeit und gibt aber auch Nutzern  aus anderen Bundesländern die Möglichkeit dabei zu bleiben.

P21: Wenn sich v gleichmäßig ändert

3.3 Das GZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz GZG, also die Formel, die angibt,wie sich v mi8t der Zeit ändert, ergibt sich direkt aus der Definition der Beschleunigung a:

Wir nehmen an, dass a konstant ist, d.h. sich nicht während der Bewegung ändert. Deshalb sprechen wir ja von der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Das Wort "gleichmäßig" drückt die konstante Beschleunigung aus.

Wie haben wir die Beschleunigung a in P19   definiert? 

 Starten wir die Bewgeung bei der Zeit 0 sec mit der Geschwindigkeit 0 m/sec, dann vereinfacht sich die Formel, vor allem wenn wir dann nur v und t schreiben:

Und damit sind wir beim GZG der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

   v(t) = a * t, mit a = const.  (damit ist gemeint: a ändert sich nicht während der Bewegung)

Den Graphen können wir sofort skizzieren, es ist eine Ursprungsgerade.

 

Was heißt das?

Bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist die Geschwindigkeit v(t) proportional zu t, vorausgesetzt man startet zum Zeitpunkt 0 mit der Geschwindigkeit 0.

Anderenfalls gilt: v(t) = a*t + v0, wobei v0 die Startgeschwindigkeit ist.

In dem Fall ist v nicht mehr porportional zu t, sondern wächst nur linear mit t an.

Das hatten wir gerade alles...

Lerntipps:

Aber hier könnt ihr wieder euer Gehirn unterstützen:

Zeigt eurem Gehirn die sehr ähnlich klingenden Notizen zu s = v*t, v = const. und v = a*t, a = const

Euer Gehirn hat sie ja mit eurer Hand selbst geschrieben, wird sie sofort wieder erkennen.

Dann erzählt laut, warum das sich entspricht, was aber der Unterschied ist (das eine ist eine Strecke s, mit einer Geschwindigkeit v, die sich nicht ändert und das andere eine Geschwindigkeit v, die sich ändert, mit einer Beschleunigung, die sich nicht ändert).

Wenn ihr das alles auseinanderdividiert und dann wieder zusammen gebracht habt, dnan ist es vernetzt und ohne Lerninterferenz abgespeichert!

Überprüft es:

Aufgabe:

Ein ICE fährt mit 200 km/h konstant 3 Stunden lang. Wie weit kommt er?

Ein Stein fällt mit 10 m/sec² konstant noch unten. Welche Geschwindigkeit hat er nach 3 Sekunden?

Sinnvolle Übung:

Ich empfehle euch die kleine Animation in Leifiphysik mal anzusehen. Da wird nochmal sehr konkret die Bedeutung einer momentanen und einer mittleren Beschleunigung deutlich:

Mittlere Beschleunigung

 https://www.leifiphysik.de/mechanik/beschleunigte-bewegung/grundwissen/mittlere-beschleunigung

 Anmerkung:

Wir haben das GZG allein aus unserer Definition begründet, nicht durch Experimente und Messungen. Ich halte das für naheliegender, zumal Geschwindigkeitsmessungen nicht leicht sind, wie wir wissen.

Auch das WZG der gleichmäßig beschleunigten Bewgeung werden wir uns theoretisch überlegen. Das soll angeblich auch Galilei so gemacht haben. Wir werden seine Argumente benutzen.

Was der vor über 400 Jahren konnte, das können wir auch!

Natürlich messen wir dann auch nach... 

Aber vorher starten wir erst einmal vom viel genutzten Flughafen Kassel-Calden in den Süden. P22 wird gleich aufgerufen.

 

P 20: Beschleunigungspfeile...

 Das folgende Kapitel ist vor allem für zukünftige Leistungskursler wichtig:

3.2 Beschleunigung vektoriell

Wir haben ja schon gelernt, dass sich bei einer Kreisbahn die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert und dass das auch eine Beschleunigung darstellt.

Das möchte ich hier für zukünftige LKler durch Vektorrechnung in einem besonders einfachen Fall bestätigen:

Wir ändern eine nach rechts zeigende Bewegung so, dass sie senkrecht nach oben verläuft. Die Schnelligkeit soll sich nicht ändern, nur der Geschwindigkeitsvektor.

Woran erkennst Du das an den Vektoren?

Das kannst Du der Abbildung entnehmen, die Du auch in Dein Heft stückweise übertragen solltest.

 

Nun können wir sehr leicht den Differenzvektor (grün) der beiden Geschwindigkeiten konstruieren.

Der Beschleunigungsvektor zeigt in Richtung dieses Differenzvektors. Teilen wir den durch die Zeitspanne, so erhalten wir den Beschleunigungsvektor.

(Vektoren werden durch eine Zahl geteilt, in dem man jede Komponente durch die Zahl teilt).

Mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras kann man dann die Länge des Beschleunigungsvektors bilden, so wie wir es schon gemacht haben.

 

Wir sehen, da kommt nicht 0 heraus, obwohl sich die Schnelligkeit nicht geändert hat. 

Damit wollen wir es belassen und zur Mechanik ohne Vektoren zurückkehren....

P 19: Schneller oder langsamer werden

 3. Die beschleunigte Bewegung

Gleich vorweg: In der Physik spricht man  von Beschleunigung sowohl beim Schnellerwerden als auch beim Abbremsen. Das unterscheidet uns von der Umgangssprache. Aber ganz oft benutzen auch Physiker/innen die Umgangssprache....

3.1 Was ist eine Beschleunigung?

Schaut einmal, wie wir eine Geschwindigkeit eingeführt haben (Posts P5 und P2 oder mit Hilfe der Labels). Da haben wir Ortsänderungen, also Strecken auf Zeiten bezogen und eine Pro-Angabe erhalten.

Hier machen wir es genau so:

Wir beziehen Geschwindigkeitsänderungen auf Zeiten und erhalten die Beschleunigung als Pro-Angabe: 

Eine Beschleunigung ist eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit!

Wir kürzen die Beschleunigung mit "a" ab (von acceleration, das ist blöd, denn für Abbremsen gibt es im Englischen  deceleration, aber auch die englisch sprechenden Physiker/innen beziehen Abbremsen mit in den Beschleunigungsbegriff ein...). 

Vergleicht einmal, wie wir die Geschwindigkeit eingeführt haben:

In Formeln sieht das bei der Beschleunigunga  ganz ähnlich  aus:

Auch hier erhalten wir so nur eine mittlere Beschleunigung in dem Zeitintervall Δt.

Auch jetzt müssen wir zwischen mittlerer und momentaner Beschleunigung unterscheiden.

Da wir a Anfang immer und später fast ausschließlich   nur Bewegungen mit konstanter Beschleunigung untersuchen, ist diese  Unterscheidung erst einmal nicht notwendig.

In der Regel meinen wir also fast immer eine konstante Beschleunigung und sprechen auch von der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel:

Ein Auto fährt mit 5 m/sec und beschleunigt (wie auch immer) auf 7 m/sec innerhalb von 15 sec.

Dann ist die (mittlere) Beschleunigung a:

  a = (7 - 5) m/sec / 15 sec  = 0,13 m/sec / sec

Etwas besser geschrieben:

 

 Schauen wir uns mal die Einheiten an:

Ihr alle kennt die Regel:

Ein Bruch wird durch eine Zahl geteilt, in dem man den Nenner mit dieser Zahl multipliziert (oder den Zähler durch die Zahl teilt).

Könnt ihr damit erklären, wie es zur üblichen Schreibweise a = 0,13 m/sec² kommt?

Es gibt keine Quadratsekunden, aber es gibt doppelte Pro-Angaben!

Wieso ist die Beschleunigung eine doppelte Pro-Angabe?

Aufgabe: 

1) Ein Auto beschleunigt in 30 sec von 30 km/h auf 50 km/h. Wie groß ist die Beschleunigung in m/sec²?

2) Die Fallbeschleunigung auf der Erde beträgt 9,81 m/sec², die auf einem Neutronenstern 2 Billionen m/sec².

Was bedeutet das jeweils anschaulich für einen fallenden Körper?

Wie schnell wäre ein fallender Körper nach 3 Sekunden auf der Erde und auf dem Neutronenstern?

Hinweis: 

Neutronensterne sind Überreste massereicher Sterne. Sie haben einen Durchmesser von etwa 20 km und die Masse der Sonne! 

Erklärt das einiges?

Neutronensterne entstehen beim Kollaps eines Sternes, wenn die Elektronen in die Protonen gepresst werden und Neutronen bilden. In der Regel drehen sie sich sehr schnell.Kleine, cm-große Berge und Hügel verzerren dabei Raum und Zeit so, dass Neutronensterne auch Gravitationswellen abstrahlen.

Größere Berge können sich nicht halten, sie werden durch die enorme Schwerkraft ganz schnell platt gemacht...

                     Aufbau eines Neutronensternes (Physik.Institut, Uni Heidelberg)

 Anekdote zum Schluss:

Die bezieht sich auf die englische Bezeichnung acceleration (für schneller werden) und deceleration (für abbremsen).

Vor 1994 war man ganz fest davon überzeugt, dass sich unser Kosmos wegen der inneren Anziehung der Galaxien untereinander  abgebremst ausdehnen muss.

Ich war damals auf einer Tagung zur Kosmologie in Aachen, als ein amerikanischer Physiker in Englisch über die Expansion des Kosmos redete. Er sprach immer von acceleration...wir verstanden das nicht und dachten an ein sprachliches Problem und fragten nach.

Seine Antwort: 

"Nein, ich meine "schneller werden". Unsere Forschungen haben ergeben:Die Ausdehnung des Kosmos ist mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit beschleunigt in dem Sinn, dass er immer schneller immer größer wird.."

Unser Weltbild stand auf dem Kopf: Ein beschleunigt expandierendes Universum ist etwas Einmaliges, hat ein Anfang und ein Ende....wenige Jahre später gab es für diese Entdeckung den Nobelpreis.

Ich war immerhin bei einer der ersten öffentlichen Ankündigungen der Entdeckung der beschleunigten Expansion des Kosmos dabei...

Was ist daraus geworden?

Es stimmt, aber wir wissen immer noch nicht warum. Deswegen haben wir Dunkle Energie als Antrieb erfunden. Wir wissen aber auch nicht, was das ist...

Übrigens, merkt ihr, wie ich/man hier den Begriff "beschleunigt" benutze? Nur im Sinne von "schneller werden". 

Das kann ganz schön verwirrend sein.

Sagt das eurem Hippocampus, damit er nicht dicht macht...vor allem, wenn wir später Bremsbewegungen von Autos behandeln...