P 115: Drehschwung

 21. Drehimpuls und Trägheitsmoment

21.1 Schwung und Trägheit beim Drehen

Wir haben in den letzten Posts ja gesehen, dass man alle Größen und Formeln, die wir bei linearen Bewegungen kennengelernt haben, einfach auf Kreisbewegungen übertragen kann:

Aus der Geschwindigkeit v wird die Winkelgeschwindigkeit  ω , aus der Beschleunigung a wird die Winkelbeschleunigung  α und natürlich wird aus der Strecke s der Drehwinkel  φ .

Und dann kann man einfach die Formeln übertragen:

Aus s(t)  = v*t wird   φ(t) =  ω * t

Aus s = 1/2*a*t² wird  φ = 1/2*α* t²

Aus v = a*t wird  ω = α * t

Auch die Zusammenhänge sind leicht zu beschreiben:

  v =  ω * r und a = α * r

Die Winkelgröße wird einfach mit dem Radius der Kreisbahn multipliziert und man erhält die lineare Bahngröße, gemessen längs der Bahn.

Überprüfe einmal, ob auch die Einheiten passen!

Natürlich haben auch die anderen Größen der Newtonschen Mechanik entsprechende Größen bei Kreisbewegungen:

Der Schwung (Impuls) p längs einer geradlinigen Bahn wird zum Drehschwung (Drehimpuls) L bei einer Kreisbewegung.

Die träge Masse m bei einer linearen Bewegung wird zum Trägheitsmoment Θ bei einer Kreisbewegung.

Und schon können wir die beiden wichtigen Formeln hinschreiben:

Aus der Impulsformel p = m* v wird die Drehimpulsformel L = Θ * ω.

Macht euch in eigenen Worten klar, was die Formelzeichen in den beiden Formeln für eine Bedeutung haben.

Diese Abbildung kann euch helfen:

Schauen wir uns erst noch einmal an, was wir in P 76 (Kapitel 14) über die träge Masse gelernt haben:

Was bedeutet also 1 kg?

Eine Masse von 1 kg ist in der Lage einen Schwung von 1 Hy in eine Geschwindigkeit von 1 m/sec umzusetzen.

Je größer eine Masse ist, desto mehr Schwung muss sie aufnehmen, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen.

Aufgenommene Menge = Konstante * Wirkung

                               p      =  m             *   v

 nennt man die Konstante eine Kapazität.

Denkt an unsere Badewanne:

Wir haben zwei Badewannen, in die beide 30 Liter pro Minute fließen. Bei Wanne A steigt jede Minute der Wasserspiegel um 3 cm, bei Wanne B um 2 mm.

Die Formel wäre: Wassermenge = Konstante * Höhe des Wasserspiegels

Wir sagen: Wanne B hat eine größere Kapazität für Wasser als Wanne A.

Entsprechend ist die  träge Masse  also eine Angabe zur  Kapazität, mit der sie  Schwung aufnehmen kann: Träge Masse ist eine Schwungkapazität.

Je höher die träge Masse, desto mehr Schwung kann sie speichern und desto mehr Schwung braucht man, um sie auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu bringen.

Eigentlich ist nur dieser letzte Satz wichtig. Er sollte an sich aber eher eine Trivialität ausdrücken...

Leider wird in unserer Umgangssprache das Wort Kapazität auch für Fassungsvermögen verwendet. Das ist in der Physik falsch: Eine Kapazität ist in der Physik eine Pro-Angabe, ein Fassungsvermögen gibt an, wieviel von etwas wo reinpasst. Ohne Pro und Kontra....

Eine Badewanne hat an sich nur ein Fassungsvermögen. Erst wenn wir Wasser reinlaufen lassen und wir wissen wollen, wie die Zuflussmenge in Wasserstand umgesetzt ist, benötigen wir die Kapazität der Wanne.

Je größer die Kapazität der Wanne ist, desto langsamer steigt der Wasserspiegel an.

Und genau so beschreibt das Trägheitsmoment  Θ, wie der Drehschwung L in Drehung (ω) umgesetzt wird:

Je größer das Trägheitsmoment  Θ ist, desto mehr widersetzt sich der Körper einer Drehung, d.h. desto mehr Drehschwung L brauche ich, um ihn auf eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit ω zu bringen.

Beim Drehen kommt es aber auch darauf an, wie die Drehachse relativ zum Körper angeordnet ist und vor allem wie sich die Masse innerhalb des Körpers verteilt.

Ist der Körper in größeren Abständen von der Drehachse besonders massereich, so kann man ihn nur schwer in Drehung versetzen.

Je dichter die Masse an der Drehachse liegt, desto leichter lässt sich ein Körper drehen, sein Trägheitsmoment  Θ ist dann kleiner.

Seilläufer stabilisieren sich in dem sie lange Stangen halten. Dadurch bekommen sie ein größeres Trägheitsmoment und sind nicht so leicht zum Drehen (Kippen) zu bringen.

                                                    Bild: Metallbau Goltings

Das Berechnen von Trägheitsmoment ist nicht einfach, es muss oft integriert werden. Man schlägt Formeln einfach nach, wenn man das Trägheitsmoment zu bestimmten Körpern berechnen will.

Zur Übung: 

Bestimme einmal die Formel für den Drehimpuls einer Kreisbewegung und das zugehörige Trägheitsmoment.

Nimm an, dass sich eine punktförmige Masse m mit der Bahngeschwindigkeit v auf einem Kreis mit dem Radius r bewegt.

P114: Lösungen

 Aufgabe 1:

33 Umdrehungen pro Minute sind 0,55 Umdrehungen pro Sekunde und eine Umdrehungszeit P = 1,8 sec (f= 1/P)

a) Bogenmaß: Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/P = 2π*f = 3,46/sec

     Grad: Winkelgeschwindigkeit ω  = 360°/P = 360°*f = 198°/sec

b) Bahngeschwindigkeit v =  ω * r, nun setze man die Radien in m ein:

   Innere Rille. v = 3,46/sec*0,068 m = 0,235 m/sec

   Äußere Rille: v = 3,46 sec *0,162 m = 0,56 m/sec

c) Das fassen wir als gleichförmige Kreisbewegung auf: Drehwinkel =  ω * t

t= 30 min = 1800 sec, also in Grad: 198°/sec*1800sec = 356400°

Teilt man das durch 360° so erhält man 990 Umdrehungen, das passt zu 33 Umdrehungen pro Minute...

d) Hier liegt eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung vor:

Wir brauchen die Winkelbeschleunigungen. Dazu müssen wir die End-Winkelgeschwindigkeiten (einmal in °/sec und einmal in 1/sec) durch die Anfahrzeit von 1,5 sec teilen:

Gradrechnung: 198°/1,5 sec = 132°/sec²

Bogenmaßrechnung: 3,46/1,5 = 2,3/sec².

Nun können wir mit dem Drehgesetz:

 Zurückgelegter Winkel = 1/2*Winkelbeschleunigung*t² 

den Drehwinkel  während des Anfahrens des Plattentellers ausrechnen: 

1/2*132°/sec²*1,5²sec² = 148,5 °, also knapp eine halbe Umdrehung.

Aufgabe 2:

Die Erde dreht sich in 86160 sec um ihre Achse.

a) Damit rechnen wir wieder die Winkelgeschwindigkeit aus:  ω = 360° bzw.2π/ 86160 sec.

Wir erhalten 0°,0042/sec  (1/4 Bogenminute pro Sekunde) bzw. 0,000073/sec für die Angabe im Bogenmaß.

b) Multiplizieren wir diesen Wert mit dem Erdradius, so erhalten wir die Drehgeschwindigkeit am Erdäquator:

v = 0,000073 * 6371 = 0,46 km/sec.

c) Der Abstand zur Rotationsachse verkürzt sich mit dem Cosinus der geographischen Breite φ (leider der gleiche Buchstabe wie für einen Drehwinkel...):

Abstand zur Drehachse = R * cos φ

Kassel ist nur 3966 km von der Drehachse entfernt.

Entsprechend erhält man bei gleicher Winkelgeschwindigkeit (!, sonst würde die Erde kaputtgehen) die entsprechende Rotationsgeschwindigkeit von Kassel: 0,29 km/sec.

d) Der Nordpol selbst dreht sich nicht, da er ja den Abstand r=0 zur Drehachse hat.

e) Im Prinzip kann man so vorgehen:

Man rechnet die Winkelgeschwindigkeit ω für den heutigen Tag mit 86160 sec aus, dann die Winkelgeschwindigkeit für einen Tag in 100 Jahren von 86159,998 sec.

Beide Winkelgeschwindigkeiten zieht man voneinander ab und teilt sie durch die Anzahl der Sekunden eines Jahrhunderts. Damit erhält man die Winkel-Brems-Beschleunigung: 5,38*10^(-22)/sec².

Verdammt wenig...und dennoch kann man das gut messen...

Hier noch eine Sendung mit der Maus  über Langspielplatten...

 

Hinweis

 Die Lösungen versuche ich noch vor Beginn der Osterferien 2022 zu posten. In den Ferien werde ich etwas vorarbeiten und die Kreisbewegungen fortführen.

Für 2022: Ich wünsche euch erholsame Osterferien und möge Corona zurückweichen und dieser widerliche Angriffskrieg schnell aufhören....

P 113: Alles schon mal da gewesen....

 20.2 Vergleich zwischen Kreisbewegung und linearer Bewegung

In beiden Bewegungsformen gibt es vergleichbare Festlegungen, was man unter einer Geschwindigkeit und einer Beschleunigung versteht.

Auch die Weg-Zeit-Gesetze WZG und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze GZG stimmen vollständig überein, wenn man nur die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit, die Beschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung und den zurückgelegten Weg s durch den Drehwinkel ersetzt.

Das merkt man sich am besten durch diesen Überblick:

Notiere Dir die Formeln in einer eigenen Tabelle und erläutere sie kurz.

Wichtig ist, dass man fast immer die Kreisgrößen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß angibt. Man muss es nicht,. aber für weiterführende Rechnungen ist es hilfreich.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die entsprechenden Größen ineinander überführt. Das kennst Du im Prinzip, deshalb versuch dich einmal an den folgenden Aufgaben:

Langspielplatten (LP)  kennst Du sicher nicht mehr, sie sind der Vorgänger einer CD. Auch wenn sie heute wenig eingesetzt werden, zum Rechnen eignen sie sich allemal (Bild: WDR):

Aufgabe 1:

Eine LP dreht sich mit 33 Umdrehungen pro Minute auf dem Plattenteller. In den Rillen, die sich spiralförmig nach Außen fortsetzen, ist die Musik gespeichert.

Die innere Rille als Kreis gedacht hat einen Radius von 6,8 cm, die äußere von 16,2 cm.

Berechne:

a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Platte dreht. Gib sie im Bogenmaß/sec an, aber auch im anschaulicheren Maß Grad/sec.

b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der inneren und auf der äußeren Rille auf seiner Kreisbahn?

c) Um wieviel Grad hat sich die LP nach 30 Minuten Spielzeit gedreht?

c) Nach dem Einschalten fährt ein Motor die LP sehr schnell auf die erforderliche Drehgeschwindigkeit hoch. Wir nehmen an, das passiert in 1,5 Sekunden.

- Wie hoch ist die (als konstant anzunehmende) Winkelbeschleunigung? Wieder mit Bogenmaß und Grad!

- Um wieviel Grad hat sich die LP während des Hochfahrens auf die Endgeschwindigkeit gedreht?

Aufgabe 2:

Auch die Erde dreht sich...in 23h56m einmal um ihre Achse. Berechne dazu:

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Angabe mit Bogenmaß und Grad

b) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt auf dem Erdäquator (Erdradius 6371 km)?

c) Welche Geschwindigkeit hat Kassel mit einer geographischen Breite von 51°,5?

d) Mit welcher Geschwindigkeit dreht sich der Nordpol?

e) Durch die Gezeitenreibung nimmt die Rotationsdauer pro Jahrhundert um 0,002 sec ab. Berechne die Bremsbeschleunigung!

P 112: Es dreht sich weiter...alles um die Lösungen

 Ich erläutere jetzt einmal die Lösungen:

Aufgabe 1:

P = 2 sec, d.h. eine Drehung dauert 2 Sekunden, d.h. in einer Sekunde liegt eine halbe Drehung vor: 

f = 1/2 Hz

Aufgabe 2: 

Damit ist klar: Je länger die Umdrehung dauert, desto kleiner ist die Frequenz.

P gibt die Dauer einer Umdrehu7ng an und f, wieviel Umdrehungen in eine Sekunde passen:

P = 3 sec   >>> f =1/3 sec

P = 0, 5 sec >>> f = 2 Hz

Also ist die Frequenz der Kehrwert der Drehungsdauer: 

f = 1/P

Aufgabe 3:

Geschwindigkeit v = Weg/Zeit, der Weg ist hier der Umfang U der Kreisbahn an den jeweiligen Stellen.

Ihr kennt die Formel U = 2*π*r aus der Mittelstufe.

M: r = 0, U = 0, v= 0

C: r = R = 0,1m >>> v = U/P = 0, 314259...m/sec

B: r = 1/2R >>> v = 0,1571 m/sec

A: r = 1/4R >>> v = 0,0785 m/sec

Aufgabe 4:

360° in 2 sec, also sind es 180° pro Sekunde.

Das ist die Winkelgeschwindigkeit ω , die ist für alle Punkte auf der Scheibe  gleich, außer für M, da ist sie 0.

Aufgabe 5:

ω gibt man im Bogenmaß pro Sekunde, also einfach in pro Sekunde, also Hz,  an: 

ω = 2π/P = 2π*f

Die 2π stehen für 360°.

Bei uns ist  ω = π Hz = 3,14 Hz.

Nun gilt (beachte: P = 1/f, d.h. 1/P = f):

 v = 2πr/P = 2πf * r = ω * r 

Also: Von der Winkelgeschwindigkeit ω zur Bahngeschwindigkeit kommt man über den Radius. Da ω  für die ganze Kreisscheibe ja gleich ist, muss die Bahngeschwindigkeit proportional zum Abstand r vom Mittelpunkt sein.

Damit haben wir die wichtigsten Formeln für die Kreisbewegung schon kennengelernt.

Im nächsten Post werden wir das systematisieren.

Vorher noch kurz die Rechenübungen:

Bogenmaß zu den angegebenen Winkeln: 0,79   0,52   0,17   6,98

Winkel zu angegebenem Bogenmaß: 57°   287°    2578°   5730°  (330°).

P 111: Alles dreht sich...

 20. Kreisbewegungen

20.1 Die drehende Kreisscheibe

Zuerst fahren wir einmal gemeinsam Karussell.

Auf unserer sich um M drehenden Kreisscheibe haben wir vier Punkte: M in der Mitte (r=0), dann A bei einem Viertel des Radius R (r=1/4*R), B bei der Hälfte (r = 1/2*R)  und C ganz außen beim Abstand r = R vom Mittelpunkt.

Die ganze Kreisscheibe dreht sich mit der Periodendauer P = 2 sec, d.h. alle 2 Sekunden ist jeder Punkt einmal herum. Das nennt man eine starre Rotation.

Im Vergleich dazu: Planeten um die Sonne rotieren so, dass jeder für sich eine eigene Umlaufszeit hat. Für die Erde ist das 1 Jahr, für den Jupiter z.B. sind das 12 Jahre.

Bei den Kreisbewegungen ist es üblich, auch die Frequenz f anzugeben.

f gibt die Anzahl der Drehungen pro Sekunde an! Die Einheit der Frequenz ist also [f] = 1/sec = Hertz Hz.

Ihr kennt die Angabe Hz vom Wechselstrom. Was das mit Drehungen zu tun hat, werdet ihr noch lernen.

Wir nehmen an, dass unsere Scheibe den Radius R = 0,1 m hat. Die Periodendauer P = 2 sec  hatte ich ja schon erwähnt.

Beantwortet für unsere Scheibe einmal die folgenden Fragen:

1) Mit welcher Frequenz f dreht sich die Scheibe?

2) Könnt ihr einen Zusammenhang zwischen Periodendauer P der Drehung und der Frequenz f herstellen?

- Je mehr desto?

- Sogar eine Formel angeben?

3) Welche Bahngeschwindigkeit v besitzen die Punkte M, A, B und C?

4) Um wieviel Grad pro Sekunde dreht sich der Punkt M, der Punkt A, B oder C?

 Die Gradzahl der Drehung pro Sekunde nennt man auch die Winkelgeschwindigkeit ω.

5) Fällt Dir ein Zusammenhang auf zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Bahngeschwindigkeit v? Kannst Du ihn auch begründen?

Hinweis: Bei Drehbewegungen ist es üblich, Winkel nicht in Grad anzugeben, sondern im Bogenmaß b.

Du kennst das (hoffentlich) aus der Mathematik: 360° entsprechen 2π, 180° entspricht π.

Ihr habt vielleicht auch eine Formel für das Bogenmaß b kennengelernt (sie gilt für den Einheitskreis):

 b/(2π) = φ/360°.

Diese Verhältnisgleichung spricht man so:

Der Bogen b verhält sich zum gesamten Umfang 2π * 1 (des Einheitskreises) wie der Mittelpunktswinkel φ zu 360°: Der Teil zum Ganzen wie der andere Teil zum anderen Ganzen....

Wenn Du die Winkelgeschwindigkeit mit Bogenmaß statt Winkel angibst, erkennst Du vielleicht die Antwort zu 5) leichter.

6) a) Welches Bogenmaß gehört zu 45°, 30°, 10°, 400°?

    b) Welcher Winkel gehört zum Bogenmaß 1, zu 5, zu 45 zu 1000?

Lösungen im nächsten Post.

P 110: Unsichtbar und dennoch da?

 19.6 Dunkle Materie

Wir haben gelernt, dass das Gravitationsgesetz das Verhalten der Materie von cm bis hin zu vielen tausenden von Lichtjahren beschreibt.

Aber es gibt auch Abweichungen. Von denen möchte ich kurz berichten:

Problem 1: Galaxienhaufen sind noch da...

Die Galaxien in Galaxienhaufen schwirren so schnell hin- und her, dass diese Ansammlungen von Galaxien sich schon längst aufgelöst haben müssten. Das hat schon der Schweizer Physiker Fritz Zwicky (1898-1874) im Jahr 1933 erkannt und vermutet, dass die Galaxienhaufen durch riesige Mengen an nicht leuchtender und deshalb unsichtbarer Materie zusammengehalten werden.

Bild Galaxienhaufen (HST/NASA)

Problem 2: Galaxien drehen sich viel zu schnell

So schnell, dass sie sich schon aufgelöst haben müssten...

Man erklärt die hohen Drehgeschwindigkeiten in den Außenbereichen der Galaxien durch Halos (Umgebungen) aus nicht leuchtender und damit unsichtbarer Materie.

Problem 3: Wie so gibt es diese Welt überhaupt?

Beim Urknall gab es winzige Dichteschwankungen, aus denen sich die heutigen Galaxien entwickelt haben müssen. Gäbe es nur die durch das Gravitationsgesetz beschriebene Schwerkraft, wäre der Kosmos immer noch dabei, ganz langsam Verdichtungen aufzubauen, die vielleicht mal in einigen Milliarden Jahren zu Galaxien werden. Galaxien aber gab es schon 500 Millionen Jahre nach dem Urknall.

Bild Dichteschwankungen 400 000 Jahre nach dem Urknall, Stärke 1:100 000 (ESA)

Und das ist heute daraus geworden: Verteilung der Galaxien bis zu 2 Milliarden Lichtjahren Entfernung (SDSS):

Dieses schnelle Wachstum der Galaxien geht nur durch riesige Ansammlungen nicht leuchtender Materie.

Die Lösung: Es gibt etwas, was man nicht sieht....

Alle Probleme lassen sich lösen, in dem man nicht leuchtende Materie annimmt, in die Galaxien und Galaxienhaufen eingebettet sind, und die eine enorme Schwerkraftwirkung ausübt.

Man kann diese drei Probleme auch durch Abänderungen des Gravitationsgesetzes lösen, aber es müssten jeweils andere sein. Dann aber würden Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr verständlich sein.

Deswegen gehen die meisten Forschenden von der Existenz dieser Dunklen Materie DM aus.

Das einzige Problem: Trotz jahrzehntelanger Suche hat man noch keinen direkten Nachweis gefunden.

Die Objekte aus denen DM besteht, erzeugen Schwerkraft, aber sie reagieren sonst fats überhaupt nicht mit anderen Feldern und Strahlungen.

DM muss sechsmal (!) häufiger sein als die normale Materie und sie macht immerhin 25% der gesamten Substanz unseres Kosmos aus. Da die ebenfalls nicht näher bekannte Dunkle Energie etwa 71% der kosmischen Substanz ausmacht, bilden die etwa 300 Milliarden Galaxien aus jeweils 300 Milliarden Sternen mit Billionen von Planeten nur etwa 4% der Substanz des Kosmos.

Wir sehen nur die Spitze eines gigantischen Eisberges!

Bild DESY

Viele Forschenden versuchen die Objekte der DM direkt auf der Erde nachzuweisen:

Das Video habe ich 2015 bei einem Besuch des Experimentes DEAP 3600 im kanadischen Untergrundlabor SNOLAB in 2100 m Tiefe gedreht, es ist ein Ausschnitt eines längeren Dokumentarfilmes. Man glaubte sich kurz vor dem Nachweis der DM...aber es gab dazu seit fast 7 Jahren keine passende Erfolgsmeldung....

Mit dem nächsten Post fangen wir ein weiteres Kapitel der Drehbewegungen an, etwas stärker am Lehrplan orientiert.

P 108: Gravitationskonstante: Ist sie wirklich konstant?

 19.5 Die Gravitationskonstante

Letztlich hat Newton ja "nur" herausgefunden, dass die Schwerkraft proportional zu M*m/r² ist.

Die Proportionalitätskonstante G, die Gravitationskonstante, konnte er nicht angeben, da er seiner eigenen (guten!) Massenschätzung der Erde nicht getraut hat.

Über  100 Jahre später, 1798 war die Messtechnik so verbessert, dass Cavendish eine Gravitationswaage bauen konnte, mit der er die Schwerkraft zwischen Massen direkt messen konnte.

Er wollte eigentlich nur die mittlere Dichte der Erde bestimmen, die Gravitationskonstante war ein By-Produkt.

Die Grundidee: Man hänge zwei Massen (Bleikugeln mit etwa 0,1 kg) an einer Balkenwaage auf, die über einen Torsionsfaden gehalten wird.

Bringt man nun  zwei größere Massen so an, dass sie die kleinen Massen anziehen und den Draht verdrillen, so kann man aus der Drehung das Drehmoment und damit die Gravitationskraft berechnen.

Die geringen Drehbewegungen macht man über einen Spiegel sichtbar, der an dem Faden befestigt ist.

Ein von ihm reflektierter Lichtstrahl vergrößert die Bewegung, man sieht den Lichtfleck auf einer weit entfernten Wand richtig wandern.

Die Auswertung ist nicht einfach, insbesondere wenn man G aus der Periodendauer eine Schwingung bestimmt.

Schüler von mir haben aber folgendes Experiment aufgebaut:

An einem dünnen Stahldraht, der durch sehr langes Hängen mit einer großen Masse entdrillt wurde, haben sie den Versuch nachgebaut. Als Masse haben sie zwei große Tonnen mit Wasser genommen und kleine Kugeln an eine selbstgebaute Balkenvorrichtung gehängt.

Sie konnten wirklich, verstärkt durch einen Lichtzeiger, die Drehbewegung sichtbar machen.

Die Bilder aus wikipedia zeigen schön die Idee und den originalen Versuchsaufbau:

Ein sehr schönes Video hierzu:

Auch auf leifiphysik wird das sehr gut erklärt:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gravitationsgesetz-und-feld/versuche/gravitationsdrehwaage

Messung der Gravitationskonstante

Lange Zeit war es auf diese Art nur möglich, Gravitation bei großen Massen und größeren Abständen zu bestimmen.

Aber wie verhält sich Gravitation im Abstandsbereich unter einem mm?

Ein ehemaliger Schüler von mir (Jonas Schmöle) hat dazu die Machbarkeitsstudie eines Experimentes entwickelt, das inzwischen auch durchgeführt wurde. Er erhielt 2018 den Hans-  Thirring - Preis der Universität Wien.

Die Durchführung hat dann Prof. Aspelmeyer in Wien gemacht: Er hat mit Massen von 91 mg und Abständen von wenigen mm gearbeitet und damit die Gravitationskonstante bestimmt.

Die Bewegungen fanden im Naometer-Bereich statt, die Kräfte lagen bei einem Billionstel Newton.

Sein Wert lag etwa 9% unter dem bisher angenommenen Wert. Ob das Zufall ist oder ob die Gravitation für kleine Massen und Abstände kleiner wird, das will er mit Messungen im atomaren Bereich herausfinden.

Die Bilder zeigen den Aufbau seiner Apparatur als Skizze und im Original (Universität Wien, nature)

Und zum Schluss noch mal der Literaturwert (für große Massen und Abstände):

G = 6,67 * 10^(-11)  N/kg² * m²

Im nächsten Post erfahren wir, dass das Gravitationsgesetz nicht jedes Verhalten von Massen deuten kann und dass man zu seiner Rettung eine Dunkle Materie erfinden muss....

Übrigens: Es lohnt sich noch mal in das Kapitel 11 zu schauen: "Was ist Masse?"

P 107: Wie weit ist der Mond entfernt?

 19.4.3 Bestimmung der Entfernung  Erde-Mond

Ich möchte zwei grundlegende Methoden kurz vorstellen.

Beginnen wir mit der einfachsten Methode, einer Laufzeitmessung:

- Fliege zum Mond und stelle dort einen großen Spiegel auf.

- Nimm einen schnell gepulsten (warum?) Laserstrahl und lenke ihn über ein Fernrohr auf den Spiegel, der auf dem Mond ist.

- Miss die Zeit zwischen Absenden eines Laserpulses und Registrieren des reflektierten Pulses.

- Multipliziere die Hälfte  (warum?) dieser  Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit und du hast die Entfernung zwischen Fernrohr und Spiegel.

- Aus der so erhaltenen Entfernung kannst Du über den Winkeldurchmesser der Mondscheibe leicht den Durchmesser des Mondes bestimmen und damit ist Dir der Abstand der Mittelpunkte von Erde und Mond bekannt. 

Das wird heute so gemacht. Schon die ersten Astronauten von Apollo11 hatten deshalb 1969 einen großen Spiegel dabei....Man spricht von lunar laser ranging...die Dauer der Laserpulse liegt bei 200 Picosekunden, die Laufzeit des Pulses bis zur Registrierung liegt bei etwa 2,6 Sekunden.

Damit kann man die Mondentfernung auf etwa einen Zentimeter  genau vermessen.

Der mittlere Wert liegt bei 384400 km. Da die Mondbahn eine Ellipse ist, kommt der Mond uns bis zu 356 400 km nahe. Sein größer Abstand liegt bei 406800 km.

Für unsere Mondrechnung arbeiten wir mit dem Mittelwert, da wir ja eine Kreisbahn annehmen.

Die zweite Methode beruht auf der sog. Parallaxe:

Man peilt den Mond aus unterschiedlichen Orten der Erde aus an und bestimmt die Winkelverschiebung gegen den Hintergrund der weit entfernten Sterne.

Ihr könnt die Idee leicht selbst ausprobieren:

Streckt euren Arm aus und peilt einen Finger mal mit dem rechten, mal mit dem linken Auge an. Ihr seht, wie der Finger sich vor dem entfernten Hintergrund verschiebt. Die Verschiebung wird um so größer, je näher ihr den Finger an das Auge holt.

Jede Parallaxenmessung benötigt eine bekannte Basislänge. Bei euch wäre das der Abstand der Augen.

Für die Mondentfernung muss man eine Strecke auf der Erde wählen, dazu muss der Erdradius bekannt sein und die Erde auch vermessen sein.

Die Trigonometrie dazu ist nicht einfach.

Das wird für euch keine Rolle im weiteren Unterricht spielen, deswegen gehen wir nicht näher darauf ein.

Aber in leifiphysik habe ich eine sehr gut vorgerechnete Methode gefunden:

https://www.leifiphysik.de/astronomie/sternbeobachtung/ausblick/mondentfernung-durch-triangulation

Zur Mondentfernung

Das Bild dazu solltet ihr euch auf alle Fälle mal ansehen, dann wird die Methode im Prinzip klar:

Damit haben wir jetzt alle Daten zusammen, die man zur Ausführung der Newtonschen Mondrechnung braucht.

Um aber die Gravitationskraft selbst Ausrechnen zu können, benötigt man die Gravitationskonstante. Wie diese gemessen wir, erkläre ich im nächsten Post.

P106: Wie groß ist die Erde?

 19.4.2 Bestimmung des Erdradius

Wir benötigen den Erdradius für die Bestimmung der Mondentfernung.

Die klassischen Verfahren beruhen auf einer einfachen Beobachtung:

Wenn wir auf der Erdoberfläche längs eines Längengrades immer weiter  nach Norden gehen, sinkt die Sonne am Himmel.

Wenn wir also bei verschiedenen geographischen Breiten, den Unterschied der Mittagshöhen der Sonne messen, so ist dieser gleich dem Breitenunterschied.

Wenn also am Äquator die Sonne im Zenit steht, dann muss sie am Nordpol im Horizont stehen (90° Unterschied).

Die Breitengrade sind auf der Erdoberfläche gedachte parallel Kreislinien, die jeweils 111 km zwischen zwei ganzen Breitengraden Abstand haben.

Durch die Beobachtung der Sonnenhöhe oder die Höhe des Polarsternes bei einer Breitenänderung längs eines Längengrades kann man schnell herausfinden, welche Strecke man auf der Erdoberfläche für eine Änderung von 1° in Breite zurücklegen muss: Es sind 111,3 km.

Nun kann man die Verhältnisgleichung aufstellen:

1°/360° = 111,3 km / (2πR), wobei R der Radius der Erdkugel ist.

Dabei kommt man auf R =6371 km (wenn man genauere Werte benutzt).

Zwei historische Methoden möchte ich ansprechen:

Al-Biruni hat auf einem Berg bekannter Höhe den Winkel zum Horizont am Fuß des Berges gemessen und daraus den Erdradius recht gut bestimmt.

Berühmt geworden ist die Idee von Eratosthenes, 220 Jahre vuZ:

Er hat durch Zufall beobachtet, dass am 21.3. (Frühlingsanfang) sich die Sonne im Brunnenwasser des Brunnens zu Syene spiegelt, sie also genau über ihm stehen muss.

Er wusste von früheren Reisen, dass zu der Zeit ein Obelisk in Alexandria einen Schatten wirft.

Aus der bekannten Höhe des Obelisken konnte er aus der Schattenlänge ausrechnen, dass die Sonne in Alexandria am 21.3. um 7,2° neben dem Zenit steht.

Da Alexandria und Syene auch etwa auf dem gleichen Längengrad liegen (um das zu überprüfen braucht man eine Uhr...), musste der Breitenunterschied beider Städte 7,2° betragen.

Die beiden Städte selbst sind 7000 Stadien (damaliges Längenmaß) voneinander entfernt. 1 Stadion sind etwa 157,5 m.

Berechne mit diesen Angaben den Erdradius (Antwort: 6267 km) und zeige, dass dieser Wert nur 1,6% vom richtigen Wert entfernt liegt.

                  Abbildung Lutz Clausnitzer

Damit hat die Vermessung der Erde begonnen.

Mit einer vermessenen Erde kann man nun die Mondentfernung bestimmen.

P 105: Wie lange ist ein Monat?

 19.4 Wie Newton die notwendigen Daten bekommt

19.4.1 Die Umlaufszeit des Mondes

Zur Berechnung der Bahngeschwindigkeit benötigen wir die Umlaufszeit des Mondes um die Erde.

Wir haben einen Monat etwa danach festgelegt, wie lange es von einem Neumondmond zum nächsten dauert. Das sind rund 29,5 Tage. Man nennt das die synodische Umlaufszeit.

Die wahre Umlaufszeit muss aber auf die Sterne bezogen werden, sie heißt deshalb siderische Periode Psid.

Nach 27,3 Tagen steht der Mond von uns aus betrachtet, wieder genau in Richtung eines bestimmten Sternes.

In dieser Zeit hat sich aber die Erde weiter um die Sonne bewegt. Deshalb muss der Mond noch etwas weiter um die Erde laufen, um wieder in die Neumondstellung zu kommen. Das sind die 2,2 Tage, die bis zur synodischen Periode Psyn fehlen.

                                                   Bild: Universität Wien                     

Mathematik dazu:

360°/Psid = 13,2°/Tag  legt der Mond täglich auf seiner Bahn zurück (in Grad angegeben).

360°/365Tage = 0,99 °/Tag  legt die Erde täglich auf ihrer Bahn um die Sonne zurück, bzw. die Sonne am Himmel.

Die Differenz beider Winkel/Tag muss genau den Winkel ergeben, den der Mond pro Tag relativ zur Sonne am Himmel zurücklegt, das sind 360°/Psyn, also 12,2°/Tag.

Damit erhält man die Formel:

360°/Psyn = 360°/Psid - 360°/365Tage

Wir teilen beide Seiten durch 360° und erhalten:

1/Psyn = 1/Psid - 1/365Tage

Diese Formel kannte Newton und er konnte aus der Zeit zwischen zwei Neumonden (Psyn) die richtige Umlaufszeit des Mondes Psid ausrechnen.

Überprüft das mal! Hier müsst natürlich die synodische Periode in tagen angeben und erhaltet dann die Tage der siderischen Periode.

Physik dazu:

360°/P nennen wir eine Winkelgeschwindigkeit ω, ein gedrehter Winkel pro Zeiteinheit (hier Tag).

Die scheinbare Winkelgeschwindigkeit des Mondes relativ zur Erde (360°/Psyn) ist gleich der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten des Mondes und der Erde auf ihren jeweiligen Bahnen.

Ganz einfach formuliert: Die Geschwindigkeit meines Autos relativ zu einem LKW ist die Differenz meiner Geschwindigkeit relativ zur Straße zur LKW-Geschwindigkeit relativ zur Straße. Daran ändert sich auch nichts, wenn wir alle im Kreis fahren.

Auch so kann man die Formel verstehen.

P104 Er hätte noch besser sein können...

Bitte erst die Aufgaben in P103 lesen und zumindest überdenken! 

Über die Lösungen der Aufgaben kommen wir zum Gravitationsgesetz:

a(R) ist die Fallbeschleunigung eines Körpers im Abstand R vom Erdzentrum, also an der Oberfläche. Den Wert kennen wir, den haben wir schon gemessen: g = 9,81 m/sec²

Wir könnten jetzt übrigens die Geschwindigkeit ausrechnen, mit der ein Körper unmittelbar an der Oberfläche um die Erde kreisen müsste, ohne herunter zu fallen: v² = g*R. Wir würden, wenn wir g und den Erdradius einsetzen v = 7,9 km/sec erhalten, das sind 28460 km/h.

Um die Fallbeschleunigung des Mondes, also seine Zentralbeschleunigung, zu bestimmen, müssen wir erst einmal seine Bahngeschwindigkeit kennen:

v = 2*π*r / P, dabei ist P = 27,3 Tage = 2358720 sec und r = 384000 km.

Wir erhalten v = 1,02 km/sec.

Damit erhalten wir nun die angegebene Zentralbeschleunigung am Ort der Mondbahn: 

a(r) = 0,0027 m/sec².

An der Erdoberfläche ist a(R)=g = 9,81m/sec²

Das Verhältnis a(R)/a(r) ist 33633, das ist ungefähr 60²!

Newton fiel auf, dass der Mond etwa 60 Erdradien vom Mittelpunkt der Erde entfernt ist:

r/R = 60

Damit ist r²/R² = 3600 = a(R)/a(r).

Das können wir umstellen: a(r) = a(R) * R²/r² = g* R² * 1/r²

Die Zentralbeschleunigung nimmt also mit dem Quadrat der Entfernung ab: a(r)~1/r².

Newton hat sinnvollerweise vermutet, dass die Zentralbeschleunigung natürlich proportional zur Masse des anziehenden Körpers ist, hier also zur Masse M der Erde.

Also hat er die folgende Proportionalität aufgestellt:

a(r) ~ M/r².

Durch Einfügen einer Proportionalitätskonstante kann man daraus eine Gleichung machen. Wir nennen die Konstante G, denn es ist die Gravitationskonstante:

a(r) = G*M/r².

Ihr seht übrigens, dass die Masse des fallenden Körpers keine Rolle spielt: Alle Körper fallen gleich schnell. An der Erdoberfläche können wir einen Schlüssel fallen lassen und weit draußen,  bei 384400 km, einen ganzen Mond...oder umgekehrt...

Nun müssen wir noch mit der Masse m des Mondes multiplizieren und erhalten die anziehende Kraft, die diese Zentralbeschleunigung hervorruft ( für die Kraft spielt die Masse des fallenden Körpers eine Rolle, das ist ja an der Erdoberfläche die Gewichtskraft):

F = m*a(r) = G * M * m / r²

Das ist Newtons berühmtes Gravitationsgesetz.

Rechnen konnte er damit nicht, denn er kannte die Gravitationskonstante nicht. Noch heute haben wir keine Theorie, die uns eine Berechnung gestattet.

Hätte Newton die Masse der Erde gekannt, dann hätte er G auch ausrechnen können. Er hätte als Abstand den Erdradius R genommen und als Beschleunigung die Fallbeschleunigung g.

Hätte...ja, er hat sogar!

Aus der Dichte der Gesteine und der Größe der Erde hat er sehr gut die Erdmasse abgeschätzt, sehr dicht am heutigen Wert. Aber er hat dieser Schätzung nie vertraut und damit die große Chance vertan, die Kräfte selbst auszurechnen.

Wie man 100 Jahre später die Gravitationskonstante gemessen hat, erfahren wir bald.

G ist eine winzig kleine Zahl, denn die Gravitation ist die schwächste aller Kräfte:

G = 6,6 * 10^-11 N*m²/kg² 

Das wir trotzdem unser eigenes Gewicht spüren, liegt nicht nur an unserem dicken Bauch, sondern an der gewaltigen Masse der Erde: Es braucht schon einen ganzen Planeten, damit wir etwas wiegen...

Wir kennen G auch nur für große Massen und große Abstände. Erst vor einem Jahr ist G im Bereich von mm-Abständen gemessen worden. Und da wir nicht wollen, dass das Gravitationsgesetz bei kosmischen Abständen seine Gültigkeit verliert, haben wir die Dunkle Materie erfunden.

Auch darüber bald mehr...

Wie geht es weiter?

Wir haben jetzt das Gravitationsgesetz gefunden, so ganz nebenbei wichtige Informationen über Kreisbewegungen erfahren.

Noch aber haben wir nicht besprochen, wie man die notwendigen Hilfsgrössen Erdradius, Mondumlaufszeit und Mondentfernung  bestimmt. Die kannte ja Newton schon, sonst hätte er nicht das Verhältnis der Zentralbeschleunigungen bilden können.

Dazu solltet ihr ja recherchieren...

Wir behandeln das in den nächsten Posts.

Abschließend geht es dann an die Messung der Gravitationskonstanten. Und zum Schluss erfahren wir etwas über die Dunkle Materie.

P103: Der große Wurf

 Wir haben im letzten Post gelernt, wie man durch eine geschickte Zerlegung der Kreisbahn des Mondes eine Formel für die Zentralbeschleunigung a(r)  herleiten kann. Mit dieser Beschleunigung, wir nehmen an, dass sie vom Abstand r abhängt, fällt der Mond ständig auf die Erde zu. Da er aber eine zusätzliche gleichförmige Tangentialbewegung ausführt, fällt er auf einer Kreisbahn and er Erde vorbei.

Hier nochmal die Formeln:

Zentralbeschleunigung a(r) = v²/r

Zentralkraft F(r) = m*a = m*v²/r

F(r) ist die Kraft, mit der die Erde den Mond mit der Masse m anzieht.

In den nächsten Posts werden wir lernen, wie Newton die notwendigen Daten erhalten hat. Ihr solltet dazu ja mal eine Recherche beginnen.

Ich denke, es ist aber einfacher für euch, wenn wir jetzt diese Daten einfach nachschlagen und Newtons weiteren Weg aufzeigen.

Danach werden wir dann lernen, wie man die notwendigen Daten des Mondes erhalten kann.

19.3 Newton findet das Gravitationsgesetz

Ich möchte Dich Schritt für Schritt anleiten, einmal Newtons Weg selbst zu finden:

Aufgabe 1:

Erläutere die Formel: a(R) = g, wobei R der Erdradius ist.

Aufgabe 2:

Um die Fallbeschleunigung a(r), also die Zentralbeschleunigung (denn der Mond fällt ja auf das Zentrum seiner Bahn zu) berechnen zu können, benötigen wir die Bahngeschwindigkeit v und den Mondabstand r.

Mondabstand r= 384400 km

Umlaufszeit: P = 27,3 Tage

Da wir ja eine Kreisbahn annehmen, kannst Du jetzt die Bahngeschwindigkeit ausrechnen.

Berechne damit die Bahngeschwindigkeit v.

Übrigens: Wundere Dich nicht über die Umlaufszeit des Mondes von 27 Tagen. Das ist weniger als die Zeit zwischen zwei Vollmonden von 29,5 Tagen. Diesen Unterschied kannte Newton, wir werden ihn in einem Extrapost besprechen.

Aufgabe 3:

Nun kannst Du die Fallbeschleunigung des Mondes ausrechnen.

Es sollte herauskommen: a(r) = 0,0027 m/sec².

Aufgabe 4:

Vergleiche diesen Wert mit g = 9.81 m/sec², der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche.

Warum darfst Du diesen Vergleich machen? Mir fällt doch höchstens mein Schlüssel aus der Hand, aber nicht der Mond...?

Vielleicht hilft Dir der Radius der Erde weiter: R = 6371 km.

                                                       Kronberggynasium Aschaffenburg

Aufgabe 5:

Fällt Dir was auf?

Kannst Du eine Aussage darüber treffen, wie die Gravitationskraft der Erde mit wachsendem Abstand r vom Erdzentrum sich verändert?

Wenn ja, dann bist Du kurz davor, das Gravitationsgesetz hinzuschreiben. Du brauchst nur noch etwas Mut...

Über all das sprechen wir im nächsten Post...aber versuchs doch mal selbst.

P102: Nun fällt uns auch noch der Mond auf den Kopf...

 Klären wir erst einmal einige der Fragen:

Eine wirklich geniale Leistung von Newton war, dass er annahm, auch der Mond wird von der Erde angezogen und muss deshalb auf die Erde zufallen.

Vor Newton gab es eine deutliche Trennung zwischen Erde und Himmel: Auf der Erde war der Mensch zuständig, und auch Naturwissenschaftler durften etwas über das sagen, was auf der Erde passiert.

Für den Himmel aber war ein Gott zuständig. Der konnte machen was er (oder sie?) wollte.

Und nun behauptet Newton doch tatsächlich was anderes: Auch im Himmel gelten die Gesetze der Erde, die die der Mensch dort findet. Der Himmel ist nichts besonderes mehr, die himmlische Welt unterliegt irdischen Regeln.

Also, auch der Mond fällt runter.

Warum trifft er nicht? Ganz einfach, weil er ständig vorbeifällt....

Der Mond hat bei seiner Entstehung eine Geschwindigkeit v bekommen, die ihn so von der Erde wegführt, dass er durch die Fallbewegung immer wieder auf seine Bahn zurückfällt.

We groß diese Mond-Fallbeschleunigung a ist, das müssen wir ausrechnen. Auch kennen wir keine Regel für die Bestimmung der "Ausgleichsgeschwindigkeit" v. Die müssen wir am Mond messen.

Und wenn wir dann damit herausfinden, wie die Fallbewegung des Mondes schwächer würde, wenn er weiter weg wäre, dann haben wir das Gravitationsgesetz gefunden.

Das ist  noch ein langer Weg...

19.2 Stufenweise zur Zentralbeschleunigung

Ich skizziere einmal Newtons Idee:

Wir sehen die Kreisbahn des Mondes mit dem Radus r  (ja, wir wissen er hat eine Ellipsenbahn, aber diese Vereinfache soll uns helfen, die Idee zu verstehen!).

Wir zerlegen die Kreisbewegung (das dürfen wir ja nach dem Unabhängigkeitsprinzip):

In einem sehr kurzen Zeitraum führt er eine gleichförmige tangentiale Bewegung aus (rot) und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (grün).

Da die Tangente rechtwinklig auf dem Radius steht, dürfen wir den Satz des Pythagoras anwenden

 (a² + b² = c²) und lassen nun alles weg, was so klein ist das es nicht stört (für Nerds: Wir führen einen Grenzübergang durch) und schon sind wir beim gewünschten Ergebnis.

Macht das erst einmal selbst...bevor ihr weiterlest.

Was sagt uns diese Formel aus?

Wir werden a bald Zentralbeschleunigung kennen und F = m*a = m*v²/r die Zentralkraft.

Solche Kräfte spielen in der Q-Phase bei Bewegungen in elektrischen und magnetischen Feldern eine große Rolle.

So, jetzt seit ihr dran...

Wir wollen a berechnen. Heute ist das kein Problem...man googelt die nötigen Werte nach.

Macht das erst einmal.

Aber Newton hatte kein Google der musste die Werte für v und r anders herausbekommen. Vielleicht findet ihr dazu ja bei Google auch Angaben oder Hinweise.

P101: Der Apfel fällt nicht weit vom Stamm

 Teil 4: Alles dreht sich

Ein wichtiger Teil der Mechanik sind Drehbewegungen oder Eigendrehungen von Gegenständen. Die Begriffe hat man sogar in die Atomphysik übernommen und spricht vom Spin der Elektronen, obwohl sich da überhaupt nichts dreht...

Aber der Spin der Elektronen sorgt dafür, dass eure Zettel mit kleinen Magneten am Kühlschrank haften. Er ist die Ursache der Magnetfelder von Permanentmagneten.

Endlich mal eine alltagsrelevante Anwendung...

19. Das Gravitationsgesetz

In diesem Kapitel wollen wir einen Weg kennenlernen, mit dem Newton sein Gravitationsgesetz gefunden haben könnte.

Dass er das wirklich so gemacht hat, wird bezweifelt....die Geschichte vom inspirierenden Apfelfall ist wohl nur eine Anekdote. Aber sie wird uns inspirieren.

Übrigens hat Newton diese Anekdote am 15.4.1726, ein Jahr vor seinem
Tod 1727, seinem Biographen William Stukely selbst erzählt. 

                                             Bild: WDR

Dass eine Gravitationskraft eine Kreisbahn hervorrufen kann (und deshalb steht dieses Kapitel am Anfang von Teil 4: Alles dreht sich), hat Newton eher militärisch gefunden: Was passiert, wenn man eine Kanone immer stärker macht, so dass die Kugel mit immer größerer Geschwindigkeit fortfliegt?

Vielleicht ist  auch das nur eine Anekdote. Es scheint aber sicher zu sein, dass Newton sein Gravitationsgesetz aus den schon vor ihm bekannten Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung herleiten konnte.

Wir gehen einen etwas anderen Weg und werden dann umgekehrt  zeigen, wie wir die Keplerschen Gesetze aus dem Gravitationsgesetz gewinnen können.

Auf unserem Weg werden wir aber auch, so wie Newton damals, die notwendigen Monddaten benötigen.

Wir werden lernen, wie man Abstand, Umlaufszeit und Bahngeschwindigkeit des Mondes erhält.

Zusammen mit Informationen zur Bestimmung der Gravitationskonstanten und einem Ausblick auf moderne Erkenntnisse (Gravitation bei kleinen Abständen, Dunkle Materie) werden wir uns mit einer ganz wichtigen Anwendung beschäftigen: Newtons Gesetz ist eine der ganz wenigen Möglichkeiten Massen von Sternen und Schwarzen Löchern zu bestimmen.

Dieses Kapitel zeigt die Anstrengungen von Menschen über 2500 Jahre hinweg...an dessen Ende die Massenbestimmung des Schwarzen Loches in unserer Galaxis steht.

An Newtons Mondrechnung (so nennt man dieses Vorgehen) erfahren wir 2500 Jahre Wissenschaftsgeschichte.

Viele der Themen hier stehen nicht unmittelbar im Zusammenhang mit Abiturprüfungen.

Obwohl, es gab mal eine Aufgabe, die an die Newtonsche Mondrechnung angelehnt war.

Aber alles, was wir hier lernen, wird in ähnlicher Form bei Bewegungen von Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern und in der Atomphysik benötigt.

19.1 Die Geschichte vom fallenden Apfel

Es ist Abend im Sommer 1665. Der damals 22-jährige  Newton entspannt sich, mit dem Rücken an den Stamm eines Apfelbaumes gelehnt. Da fällt ihm ein Apfel auf den Kopf....Autsch... ganz schön wirkungsvoll diese g = 9,81 m/sec².

Und der Apfel fällt immer runter, nie zur Seite oder gar nach oben. Er muss also von der Erde angezogen werden.

Alle Massen fallen gleich schnell...das wusste Newton schon vom Galilei...Und der Mond, der so schön auf diese Szene leuchtet? Wird er nicht auch von der Erde angezogen?

Müsste er nicht auch mit g = 9,81 m/sec² auf die Erde fallen?

Zwei Fragen tauchen erst einmal auf: Offensichtlich fällt der Mond so nicht auf die Erde...was macht er aber dann?

Und wenn die  Schwerkraft der Erde auch den den Mond anzieht, ist sie  dann genau so groß wie hier auf ihrer  Oberfläche?

Ganz offensichtloch tauchen insgesamt die  folgende Fragen auf:

- Fällt auch der Mond auf die Erde?

- Wenn ja, warum trifft er nie?

- Wenn ja, mit  welcher Beschleunigung fällt der Mond?

- Wie ändert sich die Fallbeschleunigung mit dem Abstand?

Fallen euch noch weitere Fragen ein?

Versucht einmal eigene Antworten zu geben, natürlich noch ohne Formeln. Aber vielleicht habt ihr schon zumindest qualitativ Vorstellungen.

Hinweis

 

Der zweite Post meiner neuen Serie ist online: Wie kommt man zur Kernaussage der Allgemeinen Relativitätstheorie?

Mich hat es viele Jahre meines Lebens gekostet, das zu verstehen (falls ich es verstanden habe...). Vielleicht kann ich anderen helfen, schneller dahin zu kommen....

Ihr findet ihn auf meiner Homepage www.natur-science-schule.info auf einer Unterseite der Physik-Abrteilung:

https://www.natur-science-schule.info/von-newton-zu

Ergänzende Posts

P100: Es sind 5, nicht 3!

 18.5 Die fünf Aggregatzustände

In der Mittelstufe habt ihr die drei Aggregatzustände (oder Zustandsformen von Materie) fest - flüssig - gasförmig kennengelernt.

In ihnen unterscheiden sich die Atome und Moleküle in ihrer Beweglichkeit und die Art wie sie miteinander verbunden und in Wechselwirkung treten können.

Wenn Eis erwärmt wird, brechen einige Bindungen durch die heftigeren Molekülschwingungen auf, Molekülgruppen können übereinander gleiten. Das ist eine Flüssigkeit.  Bei weiterer Erwärmung trennen sich alle Bestandteile. Wir haben ein Gas vorliegen.

Diese drei Zustandsformen gibt es eigentlich nur auf Planeten, sie sind somit sehr selten im Universum.

Am häufigsten kommt die Zustandsform eines Plasmas vor:

Durch starke Erhitzung stoßen Atome so heftig aneinander, dass sie ionisiert werden, d.h.  Elektronen abgeben.

Ein Plasma besteht also aus frei beweglichen Elektronen und positiv geladenen Ionen.

Alle Sterne bestehen fast vollständig aus Plasma. Plasmen können auch durch Magnetfelder stark beeinflusst werden. Damit gelingt es Plasmen in starken Magnetfeldern zu speichern und hoffentlich bald zur Energieerzeugung durch Kernfusion zu nutzen.

                                 Bild: ESA/NASA

Es gibt auch kalte Plasmen: Hier erfolgt die Ionisierung durch extrem hohen Druck, wie beim Wasserstoff im Inneren des Jupiters.

Wenn  Sterne alt werden, bilden sie Kugeln aus entarteter Materie:

Sonnenähnliche Sterne werden zu Weißen Zwergen. Hier entartet das Elektronengas.

Massereiche Sterne werden zu Neutronensternen, hier entartet das Neutronengas.

                                                 Physik Uni Regensburg

Was heißt Entartung?

 Druck und Temperatur haben nichts mehr miteinander zu tun (normalerweise steigt der Druck mit der Temperatur) . Der Stern wird nicht durch einen inneren Druck durch hohe Temperatur stabilisiert, sondern durch einen sog. Entartungsdruck. Dieser Entartungsdruck entsteht, weil bei den extrem hohen Dichten entarteter Materie sich die Bestandteile wegen quantenmechanischen Gesetzen nicht näher kommen können.

Unsere Sonne wird in 5 Milliarden Jahren zu einem Weißen Zwerg. Sie wird dann durch das entartete Elektronengas stabilisiert. Sie wird immer eine Größe von dann 10 km behalten, obwohl sie ständig kälter wird.

Komplett entartetes Verhalten...

Entartetes Elektronengas gibt es aber auch auf der Erde: Die Leitungselektronen in einem Metall bilden ein entartetes Gas.

Wer etwas mehr darüber nachlesen möchte, kann auf meine Homepage ins Extrafutter gehen:

https://www.natur-science-schule.info/post/der-vierte-und-f%C3%BCnfte-aggregatzustand

Plasma und entartete Materie

Nun beginnen wir im nächsten Post wirklich mit der Behandlung von Drehungen. Zuerst mit der Drehung des Mondes um die Erde...

P99: Die Hauptsätze der Thermodynamik

 18.4 Die Hauptsätze der Wärmelehre

Unsere bisherigen Erfahrungen werden durch vier Regeln festgehalten, die man Hauptsätze der Wärmelehre nennt. Sie haben einen ähnlichen Status für die Wärmelehre wie die Newtonschen Axiome für die Mechanik:

0. Hauptsatz:

Werden zwei Körper in Kontakt gebracht, so gleichen sich ihre Temperaturen an.

Man sagt: Sie befinden sich im thermischen Gleichgewicht.

Dieser Hauptsatz wurde erst später aufgestellt, aber dann vor die anderen drei gesetzt, weil er ganz grundlegend ist. Man kann mit ihm zwar keine Temperatur definieren, aber mit Hilfe einer Vorstellung zu Temperatur kann man untersuchen, ob zwei Körper im thermischen Gleichgewicht stehen.

Deswegen findet man auch oft die folgende Formulierung: Systeme im thermischen Gleichgewicht haben die gleiche Temperatur.

1. Hauptsatz:

Das ist nichts anderes als der Energieerhaltungssatz: Die Energie eines thermodynamischen Systems ist eine Erhaltungsgröße.

Man kann auch sagen: Es gibt kein Perpetuum mobile 1.Art

Praktisch bedeutet das:

Die innere Energie U eines Gases wird dadurch erhöht, dass man Wärmeenergie Q zuführt und/oder Arbeit W am Gas verrichtet.

Oft sieht man den 1. Hauptsatz dann als Formel: 

ΔU = Q + W

2. Hauptsatz:

Den haben wir im letzten Post schon genannt. Es gibt einige alternative Formulierungen, die ich hier aufzählen möchte:

- Durch keinen periodischen Vorgang kann Wärmeenergie vollständig in Arbeit umgewandelt werden.

- Wärmeenergie fließt nicht von allein von einem kälteren zu einem wärmeren Körper.

- Die Entropie S eines Systems kann nicht von alleine abnehmen.

- Es gibt kein Perpetuum mobile 2.Art (eine periodische arbeitende Maschine, die Arbeit nur durch Abkühlen eines anderen Körpers verrichtet).

3. Hauptsatz:

Hier gibt es verschiedene Formulierungen:

- In der Nähe des absoluten Nullpunktes werden Entropieänderungen verschwindend klein.

- Je kälter ein Objekt ist, desto mehr Arbeit ist notwendig, es noch kälter zu machen.

- Durch keine endliche Anzahl zyklischer Prozesse kann man einen Körper auf 0 K abkühlen.

Kurz: Es ist nicht möglich, den absoluten Nullpunkt 0 K = -273,15°C zu erreichen.

Trotz allem hat man sich ihm bisher auf ein zehnmilliardstel Grad genähert.

Damit wollen wir es belassen. Ich finde, man muss mal von diesen Erfahrungsregeln gehört haben, die alle durch die Erfindung der Dampfmaschine gefunden wurden und die die erste technische Revolution der Menschheit eingeleitet und theoretisch begleitet haben. Es sind Erfahrungsregeln, keine "beweisbaren" mathematische Gesetze!

P98: Entropie, die Richtung der Zeit und Leben

 18.3 Entropie

Ich will versuchen, euch eine Idee dieser wichtigen, immer noch umstrittenen, Größe der Physik  zu vermitteln.

Die Größe Entropie S ist 1854 von Rudolf Clausius eingeführt worden. Damit wollte man Energieumwandlungsprozesse bilanzieren, also beschreiben, welche in der Natur ablaufen und welche nicht. Das war wichtig, um ein theoretisches Verständnis der Dampfmaschine zu bekommen.

Formal berechnet man die Entropie S aus der bei einem Prozess übertragenen Wärmemenge Q geteilt durch die Temperatur T, bei der der Vorgang der Energieübertragung stattfindet.

S = Q/T ist also eine Wärmeenergie pro Grad Kelvin.

So lange ein System (z.B. der Dampf in einer Dampfmaschine) im Gleichgewicht ist, bleibt S konstant. Bei Vorgängen, die irreduzibel sind, also nicht umkehrbar sind (wie das Zersplittern einer Tasse), nimmt S zu.

Vorgänge mit abnehmender Entropie kommen in der Natur nicht vor.

Die Natur, d.h. der Kosmos, kann sich also nur von einem Zustand niedriger Entropie in einen Zustand hoher Entropie entwickeln.

Oft wird die Größe Entropie mit dem Begriff der Unordnung in Verbindung gebracht:

Der Urknall war ein geordneter Zustand, ohne große Struktur. Durch die Expansion des Kosmos haben sich immer mehr Strukturen gebildet, die Entropie hat zugenommen.

Im Inneren eines Lebewesens herrschen hochgeordnete Strukturen vor, deswegen müssen Lebewesen viel ungeordnete Wärmeenergie abgeben, um die Entropieabnahme in ihrem Körper insgesamt in eine Entropiezunahme des Kosmos umzuwandeln.

Wenn der Kosmos in seinen möglichen Endzustand übertritt, haben wir eine größtmögliche Unordnung, es gibt keine inneren Strukturen mehr. Das nennen wir den Wärmetod, obwohl die Temperatur des Kosmos dann dicht bei 0 K liegt.

Wenn Sterne entstehen, verringert die Gravitation die Entropie, da ein Stern ein wesentlich geordneter Zustand als das Gas ist, aus dem er sich gebildet hat. Aber der Stern wird dabei heiß, schleudert viele Wärmestrahlung mit hoher Entropie in den Kosmos. Insgesamt steigt also die Entropie durch die Sternbildung.

Hier sehen wir ein Sternentstehungsgebiet (credit: ESO), in dem der Kosmos Sterne, also Entropieerhöhungs-Maschinen, konstruiert.

Im Prinzip haben wir mit dem Begriff der Energieentwertung schon die wesentlichen Merkmale der Entropie erfasst: Bei jedem Umwandlungsprozess von Energie, wird Energie entwertet, da die Entropie des Systems steigt.

Ihr seht an diesem Rundumschlag, dass diese Bilanzierungsgröße Entropie überall benutzt wird und eine Bedeutung für Leben und Kosmos zu besitzen scheint.

Ich trage einfach mal verschiedene Deutungen der Entropie zusammen:

Entropie ist

- ein Maß für die Unordnung

- ein Maß für fehlende Information über ein System

- ein Maß dafür, wie gut sich ein Prozess umkehren lässt

- ein Maß für die Anzahl der Möglichkeiten, mit denen man den Zustand eines Systems realisieren kann

- ein Maß für den Ablauf der Zeit

Übrigens, die Definition des Begriffs Information von Shannon und die Definition der Entropie in der statistischen Wärmelehre entsprechen sich. Hat 1 bit etwas mit Entropie zu tun? Ist unser Kosmos ein informationsverarbeitendes System?

Fragen über Fragen...es gibt viele sinnvolle Antworten, das würde aber diesen kleinen Ausflug in die Wärmelehre sprengen.

Wir wollen unsere Erfahrung mit dem Begriff Entropie im 2.Hauptsatz der Wärmelehre zusammenfassen (nächster Post).

Aber erst einmal muss ich die Entropie auf meinem Schreibtisch reduzieren. Dabei komme ich so ins Schwitzen, dass ich die Entropie meines Arbeitszimmers mehr erhöhe als ich die meines Schreibtisches senke.

Übrigens: Das ist die wesentliche Aussage des 2. Hauptsatzes: Aufräumen macht keinen Sinn! Wenn ich irgendwo Ordnung erzeuge, produziere ich woanders mehr Unordnung.

Gar nicht so dumm der Claudius...

P 97: Was sind die Atome heute wieder schnell...

 stöhnt man bei 38°C im Schatten...

18.2 Geschwindigkeiten im Gas

Es gibt drei Freiheitsgrade der Bewegung eines Moleküls in Luft, also ist die mittlere kinetische Energie E = 3/2*k*T.

Was bedeutet das?

Wärme ist Bewegung!

Was wir im Alltag als warm empfinden, ist nichts anderes als eine schnelle ungeordnete Bewegung der Atome und Moleküle der Luft oder eine Schwingung der Atome eines Festkörpers.

Wir haben nur die Temperatur als Maß für die Wärme erfunden, bevor wir wussten, was da im Mikroskopischen passiert.

Deswegen geben wir heute Temperaturen in °C an und nicht als m/sec....

Ich habe zwei schöne Videos gefunden, die euch das noch einmal veranschaulichen.

Das erste Experiment im ersten Video könnt ihr sofort selbst machen:

Hängt je einen Beutel mit Früchtetee in ein Glas mit kaltem Wasser und in ein Glas mit heißem Wasser.

Ihr seht sofort, dass im heißen Wasser mehr Bewegung vorliegt und sich das farbige Teewasser schneller verteilt.

Aus der ungeordneten Wärmebewegung von Staubteilchen, angestoßen durch die sich bewegenden Flüssigkeitsmoleküle, hat Einstein 1905 auf die reale Existenz der Atome und Moleküle geschlossen.

Wir können nun die Geschwindigkeit ausrechnen:

1/2 m*v² = 3/2 * k*T ergibt v = √(3kT/m).

Die Geschwindigkeit der Atome oder Moleküle in einem Gas wächst also mit der Wurzel aus der Temperatur.

Achtung: 

Hier muss die Temperatur in Kelvin angegeben werden. Von 20°C auf 80°C wird die Temperatur nicht vervierfacht, sondern sie steigt nur um das  353/293 = 1,2 -fache!

Die Geschwindigkeit erhöht sich dann nur auf das 1,1-fache, nicht auf das Doppelte (als Wurzel aus 4).

Die mit der Gleichung oben bestimmten Geschwindigkeiten kann man als mittlere Geschwindigkeit eines Atoms oder Moleküls der Masse m bei einem Gas der absoluten Temperatur T ansehen.

Logischerweise sind schwerer Objekte langsamer, denn sie erhalten ja die gleiche Energie wie masseärmere Objekte. Somit  erreichen sie diese als kinetische Energie wegen der größeren Masse schon bei kleinerer Geschwindigkeit.

Wenn Stickstoff -Moleküle in unserer Luft sich im Mittel mit 470 m/sec bewegt, dann fühlen wir uns wohl...es sind 20°C.

Liegen 454 m/sec vor, so frieren wir...es sind 0°C.

Was 16 m/sec ausmachen!

Das schwerere Kohlendioxid Moleküle hat bei 20°C nur 375 m/sec.

In allen Fällen liegt Überschallgeschwindigkeit vor: Bei 20°C ist Schall in trockener Luft 343 m/sec schnell.

Bei welcher Temperatur haben Stickstoffatome diese Geschwindigkeit?

Mittlere freie Weglänge:

Nun solltet ihr nicht denken, dass Luftmoleküle nach einer Sekunde 470 m weg geflogen sind...

Sie stoßen schon sehr schnell mit anderen Molekülen zusammen und verändern dabei die Richtung.

Die Strecke bis zum nächsten Zusammenstoß nennt man "mittlere freie Weglänge"(mfWl).

Für Luftmoleküle bei 20°C liegt die mfW bei 70 nm = 0,00007 mm.

Im "Vakuum" einer Leuchtstoffröhre liegt die mfWl bei 0,1 mm.

In einem Ultra-Hoch-Vakuum beträgt die mfWl über 10 000 km.

P 96: Gerechtigkeit unter den Atomen

Bevor wir zu Drehbewegungen und dem Gravitationsgesetz kommen, möchte ich doch noch ein Kapitel aus der Wärmelehre einschieben. Wärmelehre wird in der Schule etwas stiefmütterlich, eher gar nicht, behandelt. Die Inhalte sind kein Prüfungsstoff im Abitur, helfen aber sehr, ein anschauliches Modell für Wärme bereitzustellen, auf das man später immer wieder gerne zurückgreift.

18. Wärmeenergie und Entropie

18.1 Energieverteilung und Freiheitsgrade

Wärmeenergie ist eine besondere Form der Energie. Je geringer die Temperatur ist unter der z.B. ein Gas Wärmeenergie gespeichert hat, desto weniger kann man diese nutzen.

Wir haben das als die Entwertung von Energie bei Umwandlungsprozessen kennengelernt.

Inzwischen ist klar, dass Wärmeenergie eigentlich keine eigenständige Form der Energie ist. Sie liegt in Form von Bewegungsenergie der Atome und Moleküle vor:

Jede Möglichkeit, sich zu bewegen, bezeichnet man als einen Freiheitsgrad.

Eine normale Translationsbewegung besitzt 3 Freiheitsgrade, die Bewegung kann in jede der drei Raumrichtungen unabhängig erfolgen.

In jedem Freiheitsgrad kann die Energie E = 1/2*k*T gespeichert werden. Dabei ist T die absolute Temperatur des Gases in Kelvin K, k die sog. Boltzmannsche Konstante (k = 1,38*10^-23 J/K).

Das Zustandekommen der Formel wollen wir hier nicht klären. Aber es ist naheliegend, dass die "Wärmeenergie"E proportional zur absoluten Temperatur ist. Die Konstante k gibt einfach nur an, wieviel Energie ich pro Grad Erwärmung zuführen muss (den Faktor 1/2 vergessen wir jetzt mal...).

Damit gilt für die Wärmeenergie eines Atoms in einem einatomigen Gas: E = 3/2*k*T.

Wieso steht da jetzt 3/2 statt 1/2????

Wenn wir zweiatomige Moleküle haben, gibt es mehr Freiheitsgrade. Sie können Energie auch noch durch andere Bewegungen speichern:

Das Molekül kann um drei Achsen rotieren. Dabei nimmt aber die Rotation um die Längsachse keine Energie auf (wir sagen: die Trägheit ist zu vernachlässigen). Deshalb kommen nur zwei Freiheitsgrade dazu.

                                              nach lernhelfer.de

Zweiatomige Moleküle in einem Gas besitzen also die Energien E = 5/2*k*T

Bei sehr hohen Temperaturen kommen noch zwei Schwingungsfreiheitsgrade dazu.

Insgesamt gilt die Formel:

E = f/2*k*T, wobei f die Anzahl der zur Verfügung stehenden Freiheitsgrade ist.

Durch Änderung von inneren Zuständen der Atome ("Elektronensprünge") kann noch weitere Energie gespeichert werden. Hier spricht man aber nicht von Freiheitsgraden. Das wird in Q3 eine Rolle spielen.

Bezieht man die Energie nicht auf einzelne Atome/Moleküle, sondern auf eine bestimmte Menge (kg oder mol), so nennt man den Vorfaktor von T auch die Wärmekapazität des Gases.

Das ist prinzipiell keine neue Physik. Wir wollen das hier nicht vertiefen.

In der Physik geht man davon aus, dass sich Energien gleichmäßig auf alle zur Verfügung stehenden Freiheitsgrade verteilt.

Gleichverteilungssatz:

In einem thermischen Gleichgewicht besitzt jeder Freiheitsgrad die gleiche mittlere Energie.

Diese Regel gilt für die Welt der Quanten nicht mehr. 

Max Planck hat 1900 eine andere Art der Energieverteilung gefunden:

 E = h*f, d.h. die Energie wächst mit der Frequenz von Schwingungen und Wellen. Sie wird eben nicht mehr gleichmäßig auf alle möglichen Schwingungen und Wellen verteilt. Nur damit konnte Einstein 1905 erklären, wie man mit Licht Strom erzeugen kann, wie also Solarzellen funktionieren.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die Geschwindigkeiten der Atome und Moleküle berechnen kann. Dann lernen wir den Begriff der Entropie kennen und entwickeln abschließend ein (hoffentlich schon bekanntes) Bild der Aggregatzustände, nehmen aber die des Plasmas und der entarteten Materie als die häufigsten im Kosmos dazu.

Hinweis zu einer Postserie als Ergänzung zum Unterricht

 Eigentlich wollte ich ja nur eine Extraseite schreiben, auf der ich zeige, welche Bedeutung die Newtonsche Mechanik für die Konzepte der modernen Physik hat.

Nach der Recherche stelle ich fest, das gibt keine Extraseite, das gibt einen Extra-Blog...

Ich lade euch ein, auf meiner Homepage en neuen Blog Von Newton zu... zu besuchen.

- Von Newton zur Quantenmechanik

- Von Newton zur Allgemeinen Relativitätstheorie

- Von Newton zur Quantenfeldtheorie

- Von Newton zur Speziellen Relativitätstheorie

- Von Newton zur Kosmologie

Später wird es dazu auch Videos geben im neuen FutureSpace Videokanal bei YouTube.

Also schaut mal über  den Rand des Schulunterrichts, der erste Post ist online ...

https://www.natur-science-schule.info/von-newton-zu

Von Newton zur modernen Physik