P 130: Eigentlich kann es unsere Galaxis nicht geben...

 22.5.2 Kepler und die Dunkle Materie

Auch unsere Galaxis besteht zum größten Teil aus nicht sichtbarer Dunkler Materie DM.

Woher wissen wir das?

In den Außenbereichen dreht sich unsere Galaxis so schnell, dass durch die Fliehkraft alle Sterne schon längst weggeflogen wären, würden sie nur von den anderen sichtbaren Sternen angezogen. Unsere Galaxis hätte sich ohne DM schon längst aufgelöst....

Die Sterne  werden also von DM auf ihrer Bahn gehalten.

Die Beobachtungen dazu wurden von der Astronomin Vera C. Rubin (1928-2016) durchgeführt. 1962 stellte sie einer ihrer Studentengruppen die Aufgabe, eine Rotationskurve von unserer Galaxis zu messen.

In dieser Kurve soll die Rotationsgeschwindigkeit für verschiedene Abstände vom Zentrum bestimmt werden.

Wieder geht das nur, in dem man die Farbveränderungen beobachtet, die durch die Rotationsbewegungen von leuchtenden Gasen entstehen (Dopplereffekt: zeigt der Geschwindigkeitsvektor von uns fort, beobachtet man eine Rotverschiebung, ansonsten eine Blauverschiebung).

Was war zu erwarten?

Wäre unsere Galaxis eine starre rotierende Scheibe, so würde die Rotationsgeschwindigkeit v proportional zum Abstand r ansteigen: v = ω * r.

Die Formel kennen  wir.

Würden alle Sterne wie Planeten um eine zentrale Masse kreisen (Kepler Rotation) so gilt (siehe Post 127):

v = √ ( G * M / r), d.h. die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit der Wurzel aus dem Abstand ab.

Auch diese Formel haben wir hergeleitet.

Was haben Rubin und ihre Studenten gesehen?

In den äußeren Bereichen bleibt die Rotationsgeschwindigkeit nahezu konstant, vollkommen unerwartet..

Das kann nur so erklärt werden, dass weit außen, also da, wo man keine Sterne mehr sieht, große Mengen an DM die schnelle Rotationsbewegung der Sterne verursachen.

Als nächstes (1970) bestimmte sie die Rotationskurve der Andromedagalaxie, unserer großen Nachbargalaxie:

Im Zentrum rotiert sie wie eine starre Scheibe, dann gibt es einen kleinen Bereich mit Kepler Rotation und ab da geht es ab...die DM macht Dampf!

In den Jahren danach hat Rubin die Rotationskurven von vielen anderen Galaxien  bestimmt und immer wieder das gleiche Ergebnis gefunden:

In einer Veröffentlichung von 1980 schreibt sie:

"The conclusion is inescapable that non-luminous matter exists beyond the optical galaxy.”

Die Entdeckung Zwickys fast 50 Jahre vorher konnte sie als allgemeines Gesetz bestätigen.

Sie hat die DM nicht entdeckt. Als Rubin ihre Ausbildung begann, war die Idee der DM schon da. Aber sie hat zweifelsfrei die Existenz von DM in den Galaxien nachgewiesen.

Heute vermuten wir, dass DM einen entscheidenden Anteil an der Bildung von kosmischen Strukturen hat. DM bildet ein Netzwerk im Kosmos (das auch beobachtet wird), an deren Knoten sich die sichtbare Materie angelagert hat, konzentriert wurde und Sterne und Galaxien gebildet hat.

Wir leben und sind gefangen in einem gigantischen Netzwerk aus Dunkler Materie.

Alles, was wir über die Gravitation und Kreisbewegungen in diesem Kurs gelernt haben, ermöglicht es uns, diese Erkenntnis nachzuvollziehen.

Die Formel für einen waagerechten Wurf werdet ihr wahrscheinlich nach der Schule nie wieder brauchen, die Erkenntnis in einem Netz aus unsichtbarer Materie zur Existenz gekommen zu sein, solltet ihr nie wieder vergessen.

Das Bild zeigt eine Computersimulation der Strukturbildung im Kosmos durch DM.

Nächste Woche beginnt der letzte große Abschnitt: Schwingungen

Sie spielen in vielen Bereichen der Physik in Q2 und Q3 eine große Rolle. Wir werden das Thema vor allem an Schallschwingungen und Musikinstrumenten entwickeln.

P 129: Ich sehe was, was Du nicht siehst...

 22.5 Dunkle Materie

22.5.1 Entdeckung durch Zwicky

Fritz Zwicky( 1898 - 1974) war ein später in Amerika lebender Schweizer Astronom. Er führte als erster Supernovae auf einen Gravitationskollaps zurück und vermutete Neutronensterne als Folgeobjekte. Einstein untersuchte Sterne als Gravitationslinsen und verwarf die Idee, Zwicky zeigte, dass Galaxien Gravitationslinsen sein können.

 Die bedeutendste und folgenschwerste Idee hatte er 1933. Als Erster benutzte er den Virialsatz bei der Untersuchung von Galaxienhaufen und entdeckte dadurch die Dunkle Materie.

Zum Virialsatz:

Der Virialsatz stellt einen Zusammenhang her zwischen der kinetischen Energie und der potenziellen Energie eines Systems.

Wer sich mehr darüber informieren möchte, sollte einen  Post im Physik Blog lesen:

https://www.natur-science-schule.info/post/der-virialsatz-grundlegender-als-energieerhaltung

Vertiefung: Virialsatz

 

In Galaxienhaufen  ist der Mittelwert der kinetischen Energie Wkin aller Galaxien bestimmt durch den Mittelwert der potenziellen Energien Wpot.:

Wkin = -1/2*Wpot

Mit recht guter Näherung kann man die potenzielle Energie durch die Größe (Radius R) und die Masse M des Galaxienhaufens ausdrücken:

Wpot = G*M²/R, wobei G die Gravitationskonstante ist.

Um die mittlere kinetische Energie zu bestimmen, braucht man aber die Geschwindigkeit:

Für eine Galaxie der Masse m ist Wkin =1/2*m*v².

Galaxienhaufen sind aber so weit entfernt, dass wir direkt keinerlei Bewegungen erkennen können.

Aber Zwicky bestimmte die Bewegung über den sog. Dopplereffekt: Das Licht bewegter Galaxien ist röter, wenn sie sich von uns entfernen und bläulicher, wenn sie auf uns zukommen.

Der von Zwicky untersuchte Comahaufen, NASA
Jeder Lichtfleck ist eine Galaxie

 So, was musste er tun?

- Von möglichst vielen Galaxien eines Galaxienhaufens über den Dopplereffekt die Geschwindigkeit messen.

- Mittelwerte bilden.

- Damit über die bekannte mittlere Masse einer Galaxie die mittlere kinetische Energie berechnen.

- Über den Virialsatz erhält er dann die potenzielle Energie des Haufens.

- Zwicky hat mit dem Comahaufen gearbeitet. Über die Beobachtung von bestimmten veränderlichen Sternen, den Cepheiden,  in einzelnen   Galaxien war dessen Entfernung bekannt. Aus der Winkelausdehnung am Himmel konnte man somit   den Radius des Haufens berechnen. 

- Damit konnte Zwicky aus der mit dem Dopplereffekt über den Virialsatz  berechneten potenziellen Energie die Gesamtmasse des Haufens berechnen, also die Masse von allem, was im Haufen Schwerkraft erzeugt.

Zwicky erhielt für die Gesamtmasse des Comahaufens 70 Billionen Sonnenmassen.

Aus der Leuchtkraft der Galaxien kam er aber nur auf 70 Milliarden Sonnenmassen.

Das war eine Diskrepanz um den Faktor 1000.

Im Comahaufen steckt also nach Zwickys Beobachtungen 1000 Mal mehr Materie, die Schwerkraft erzeugt, als die, die wir in Form von leuchtenden Galaxien sehen.

Aus dieser gewaltigen Diskrepanz folgerte er die Existenz der Dunklen Materie, die bis zu sechsmal häufiger ist als normale Materie und genau wie diese die Schwerkraft erzeugt.

Anmerkung: Zwickys Faktor 1000 ist zu hoch. Ein Teil der Diskrepanz kann inzwischen durch intergalaktisches Gas und Zwerggalaxien erklärt werden.

Aber immer noch gilt: Die meiste Materie in einem Galaxienhaufen sehen wir nicht, es ist Dunkle Materie.

Im nächsten Post sehen wir, wie auch das 3.Keplersche Gesetz uns bei der Suche nach Dunkler Materie unterstützt.

 

P 128: Die kosmische Waage

 22.4 Massenbestimmung im Kosmos

Für die Sonnenmasse habt ihr es ja schon gemacht:

Umlaufszeit der Erde: 1 Jahr

Abstand der Erde r= 150 Millionen km.

Aber Achtung: P muss in Sekunden und r in Metern eingesetzt werden.

Wer das gemacht hat, erhält die richtige Sonnenmasse: M = 2*10^30 kg.

Jetzt müsste auch klar sein, wie man Massen im Kosmos bestimmt!

Was benötigt man?

Einen Körper, der die zu bestimmende Masse umläuft. Das kann ein Planet sein, das kann ein Mond sein, das kann ein Satellit sein, das kann ein Stern sein, der um das Zentrum der Milchstraße kreist, das kann eine Galaxie sein, die um eine andere kreist...

Wir brauchen immer die Umlaufszeit des Himmelskörpers und seinen Abstand zum Körper, dessen Masse wir berechnen wollen.

Das mit der Umlaufszeit ist schwierig, wenn ein Stern um das galaktische Zentrum kreist. Die Sonne braucht dazu 240 Millionen Jahre. Da kann man natürlich nicht warten...

Aber es gibt einen Effekt, den Dopplereffekt (den lernt ihr später kennen), mit dem kann man leicht Geschwindigkeiten von leuchtenden Objekten messen (und Geschwindigkeiten von  Autos in Radarfallen...). Kennt man die Umlaufsgeschwindigkeit v und den Abstand r, so erhält man die Umlaufsperiode P = 2* π  *r / v. Um den Abstand r, also den Bahnradius zu bestimmen, muss man allerdings die Entfernung kennen...

Also ganz so einfach ist die Massenbestimmung nicht...

Ein nicht allzu oft anwendbares Verfahren ist die sog. Gravitationsrotverschiebung: Wenn Licht von einem kompakten Objekt wegfliegt, wird es röter. Kennt man die ursprüngliche Farbe, so kann man aus der Rötung auf die Masse des Objektes schließen. Das geht insbesondere bei Weißen Zwergen.

Nun sollt ihr mal die ein oder andere Masse ausrechnen:

Wie groß ist die Masse des Jupiters?

Der Jupitermond Io umkreist den Jupiter in 1 Tag 18,5 Stunden in einem Abstand von 421600 km.

Wie groß ist die Masse der Erde?

Der Erdmond läuft in 27,3 Tage in einem mittleren Abstand von 384400 km um die Erde.

Wie groß ist die Masse des inneren Teil unserer Milchstraße?

Die Sonne läuft in 240 Millionen km in einem Abstand von 25 000 Lichtjahren um das Zentrum der Galaxis.

Der Stern S2 läuft in einem Abstand  von 4 Lichttagen in 16 Jahren um das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis.

                           

(Bild: MPE)

                                                                  

Welche Masse hat das Schwarze Loch?

(Das Ergebnis entspricht nicht genau den bekannten Werten, da die Sternbahn eine stark abgeplattete Ellipse ist. Er nähert sich dem Schwarzen Loch bis auf 18 Milliarden km.)

Hier übrigens ein Bild der Umgebung des Schwarzen Loches, erst vor wenigen Wochen veröffentlicht:

P 127: Aus Newton wird Kepler (und umgekehrt)

 Zuerst etwas zu den Aufgaben:

Kepler hat die Entfernung Erde-Mars nicht in km angeben können. Dazu hätte er die Entfernung Erde-Sonne (1AE) kennen müssen oder die Marsentfernung direkt messen müssen. Beides war erst messtechnisch Jahrzehnte später möglich.

Die Entfernungen der Planeten in AE sind: Merkur 0,39 AE, Venus 0,62 AE, Erde 1 AE, Mars 1,5 AE, Jupiter 5,2 AE Saturn 9,6 AE.

Damit lässt sich leicht ein maßstäbliches Modell zeichnen. Wer da Pluto mit drauf haben will (er ist aber kein Planet) muss bis 40 AE erweitern....

22.3.3 Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes aus dem Gravitationsgesetz

Wir besprechen nur den sehr einfachen Fall, bei dem ein Planet mit der vernachlässigbaren kleinen Masse m auf einer Kreisbahn um die Sonne mit der Masse M umläuft.

In P 102 vom 16.3. haben wir die Zentralbeschleunigung kennengelernt.

Zentralbeschleunigung

Achtung: Wir werden jetzt a ausschließlich für eine Beschleunigung verwenden. Da wir Kreisbahnen behandeln, ist der Radius r die große Halbachse. Dafür werden wir kein a mehr nehmen.

Zentralbeschleunigung: a = v²/r

Das ergibt die Zentralkraft F = m*a = m*v²/r.

Diese Zentralkraft, die den Planet auf der Bahn hält (damit er nicht wegen seiner Trägheit tangential wegfliegt) wird durch die Gravitationskraft F = G * M*m/r² erzeugt (G ist die Gravitationskonstante, die wir ja auch schon kennengelernt haben).

Beide Kräfte müssen gleich groß sein:

m*v²/r  = G * m * M/r²

Auf beiden Seiten der Gleichung können wir durch m dividieren, d.h. m, die Planetenmasse, fällt raus.

Was heißt das?

Bei Kreisbahnen ist es egal, ob eine winzige Raumfahrermaus oder ein riesiger Jupiter um die Sonne laufen...

wdr-Maus

Nun lösen wir nach v auf (beide Seite mit r multiplizieren und wurzeln...):

v² = G * M / r       (Gl.#)

 v = √ ( G * M / r)

Diese wichtige Formel führt uns gleich zur Entdeckung der Dunklen Materie.

Ganz ähnliche Herleitungen werdet ihr in Q2 bei elektrischen und magnetischen Feldern durchführen. Da kommen auch Kreisbahnen von Ladungen vor... Es gibt sogar ein drittes Keplersches Gesetz für Elektronenbahnen in Atomen....

Erst einmal soll es weitergehen zu Kepler III:

v = Weg/Zeit = Bahnumfang/Umlaufsperiode = 2 * π * r / P

Damit: v² = 4π²r²/P²

Das setzen wir in Gl.# ein:

4π²r²/P² = G*M/r

Damit erhält man (probiere die Umformungen selbst aus):

  P² *G*M/r = 4π²r²

und somit:

P² = 4π²/(G*M) * r³

Das bedeutet: P² ~ r³

Das ist die Aussage des 3. Keplerschen Gesetzes: Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen, d.h. der Bahnradien.

Und wir kennen jetzt auch die Proportionalitätskonstante: Es ist die Masse der Sonne, als wesentlicher Bestandteil!

Aufgabe: Berechne die Sonnenmasse.

P 126:Kepler III

 22.3 Gravitationsgesetz und das dritte Keplersche Gesetz

Kepler hat lange gebraucht, um die "Zahlenspielerei" seines dritten Gesetzes zu finden: P² ~ a³:

Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse.

22.3.1 Kepler spielt mit Zahlen

Von der Erde wusste er die Umlaufszeit: 1 Jahr.

Von den anderen großen Planeten konnte er sie bestimmen, aber das ist gar nicht so einfach:

Wir haben jetzt soviel gelernt, dass wir sogar seine Idee nachvollziehen können:

In Post 105 vom 22.3. haben wir das, etwas einfacher dargestellt, schon einmal für den Mond durchdacht:

Mond statt Mars

Der Mars bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω(M) um die Sonne, die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit ω(E).

Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Umlaufsperiode ist uns bekannt:

   ω = 2*π* f = 2*π/P, da P = 1/f als Umlaufsdauer der Kehrwert der Umlaufsfrequenz ist.

Da wir den Mars von der bewegten Erde aus beobachten, erkennen wir nur die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten als Bewegung am Himmel.

Auftrag: Mache Dir das an zwei Autos klar. Wir beobachten ein Auto aus einem fahrenden Auto heraus....

Wir nennen diese Differenz die scheinbare oder synodische Bewegung:

    ω(syn) = ω(E) - ω(M)

Auch die synodische (scheinbare) Winkelgeschwindigkeit lässt sich als Kehrwert einer synodischen, scheinbaren Periodendauer darstellen.

Damit erhalten wir:

   1/P(syn) = 1/P(E) - 1/P(M)

Frage: Was ist mit den vielen Pi`s passiert????

Kepler hat ja die Marsbahn gut beobachtet, er konnte die synodische Periodendauer des Mars bestimmen. Das ist z.B. die Zeit zwischen zwei Stellungen, in denen der Mars der Sonne gegenübersteht (Oppositionsstellungen, Mars ist die ganze Nacht zu sehen). Das sind 2,14 Jahre.

Die Umlaufszeit P(E) der Erde um die Sonne kannte Kepler auch: P(E) = 1 Jahr.

Was Kepler suchte, war die Umlaufszeit P(M) des Mars:

  1/2,14 = 1/1 - 1/P(M)

Aufgabe: Rechne damit die Umlaufszeit des Mars aus.

Man erhält 1,88 Jahre.

Hinweis: 

Das alles ist kein Abiturwissen. Ich denke unter 10% alle Physikkurse in Deutschland behandeln dieses Thema. Ich finde das aber blöd...denn es gibt  Einblick in die Entwicklung unseres Weltbildes und zeigt uns, wie präzise Kepler schon damals die Zusammenhänge erdacht hatte.

Also: Alle 1,88 Jahre umrundet der Mars die Sonne und alle 2,14 Jahre sehen wir auf der Erde ihn relativ zur Sonne in der gleichen Position. Nur diese letzte Zahl konnte Kepler beobachten. Die gesuchte Zahl musste er durch diese Überlegungen errechnen.

                                                                Bilder: Keplermuseum Graz

                                                 

Auf diese Art hat er auch die  (wahren) Umlaufszeiten der anderen Planeten bestimmt.

Das nützte ihm aber nichts, denn er hatte nur präzise Beobachtungen der Marsbewegung, aus denen er die Marsbahn relativ zur Erdbahn konstruieren konnte.

Nahm er die Entfernung der Erde dabei als Einheit (1 AE = 1 Astronomische Einheit = 150 Millionen km), konnte er auch die Entfernung des Mars zur Sonne in AE, aber nicht in km, bestimmen.

Er erhielt aus seinen Konstruktionen der Marsbahn 1,5 AE.

Frage: Was hätte Kepler bekannt sein müssen, um die Entfernung des Mars auch in Kilometern anzugeben?

Achtung Falle: Hier ist a die große Halbachse der Ellipse. Früher war a für uns eine Beschleunigung. Man muss aus dem Zusammenhang erkennen, welche Bedeutung a hat.

Welche Zentralbeschleunigung a besitzt ein Planet, dessen Bahn die große Halbachse a hat?

Ist nicht ganz ernst gemeint, heraus käme die Formel : a = v²/a  (hatten wir als a = v²/r)...und wer jetzt in de  letzten Formel die beiden a´s zusammenfasst, hat verloren...a² = v², kompletter Unsinn...

Die spinnen die Physiker...oder die Germanisten hätten mehr Buchstaben im Alphabet erfinden sollen...

Nun machen wir mit Kepler weiter: 1,88² = 1,5³ ...wer hätte das gedacht...

Damit hatte er seine Formel gefunden...  P² ~ a³

23.3.2 Ein maßstäbliches Modell des Planetensystems

Aufgabe: Berechne die Entfernung  a(M) des Mars zur Sonne in AE:

Lösung: a(M)³ / (1 AE)³  = (1,88 Jahre)² / (1 Jahr)²

Man erhält 1,52 AE.

Aufgabe: 

Zeichne ein maßstäbliches Modell des Planetensystems mit den Planeten, die Kepler gekannt hatte:.

Umlaufszeiten der Planeten:

Merkur: 88 Tage

Venus: 0,625 Jahre

Erde: 1 Jahr

Mars: 1,88 Jahre

Jupiter: 11,9 Jahre

Saturn: 29,6 Jahre

wird fortgesetzt...

P 125: Lösung der Aufgaben

 Wenn der Planet im Aphel steht, dann sieht man dass Aphelabstand und Perihelabstand die große Achse der Ellipse bilden, also 2*a.

Die Werte für die Exzentrizität e ergeben sich so: Entscheidend ist der Zähler des Bruches für e, d.h. der Abstand des Brennpunktes vom Mittelpunkt.

Dieser Zähler ist beim Kreis 0, da der Brennpunkt im Mittelpunkt liegt. Also ist e=0.

Dieser Abstand ist aber immer kleiner als die große Halbachse, also muss e<1 sein.

Im Perihel muss der Planet schneller sein, da der kürzere Fahrstrahl sonst nicht die gleiche Fläche überstreicht.

Die rot markierten Flächen sollen gleich sein. Das ist ja das 2.Keplersche Gesetz.

Dass das Winterhalbjahr auf der Nordhalbkugel eine gute Woche kürzer ist hat zwei Gründe:

- Da das Perihel Anfang Januar erreicht wird, bewegt sich die Erde im Winterhalbjahr schneller auf der Bahn.

- Da Herbst- und Frühlingsanfang in der Skizze auf Höhe der Sonne sind, legt die Erde im Winterhalbjahr auch eine kürzere Bahnstrecke zurück.

Beides zusammen ergibt trotz der geringen Abweichung vom Kreis eine Verkürzung um gut eine Woche.

P 124: Kepler I und II

 22.2 Zentralkraft und Drehimpulserhaltung

Wenn wir annehmen, dass die Sonne fest steht und wegen ihrer viel größeren Masse vernachlässigbar wenig von den Planeten angezogen wird (was nicht ganz stimmt), der Raum um die Sonne nicht gekrümmt ist (was auch nicht stimmt) und die Planeten sich gegenseitig nicht anziehen (was ebenfalls nicht der Fall ist), dann kann man die Anziehungskraft der Sonne als Zentralkraft bezeichnen: Sie zeigt immer auf den Mittelpunkt der Sonne.

Eine solche Kraft kann auf einen Planeten  kein Drehmoment ausüben, d.h. er behält sein Drehimpuls.

Im Post 121 haben wir ΔL = M * Δt kennen gelernt: Wenn das Drehmoment M =0 ist, kann sich der Drehimpuls nicht ändern, d.h. ΔL = 0.

Der Drehimpuls eines Planeten ist aber L = m*v*r (Post 116).

Nun sind die Planetenbahnen Ellipsen, d.h. der Abstand r zur Sonne ändert sich. Wird r kleiner, so muss v entsprechend zunehmen, damit L gleich bleibt.

Das genau beschreibt das 2.Keplersche Gesetz: 

Es ist also der Drehimpulserhaltungssatz.

Mathematischer Exkurs:

Wir wollen die Sprechweise von Kepler begründen: Der Fahrstrahl des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

                                                            wikipedia common

Wir nehmen eine winzig kleine Zeit Δt. Der Planet legt auf seiner Bahn die Strecke Δs = v * Δt zurück.

Damit haben wir eine Seite des Dreiecks, das näherungsweise rechtwinklig ist.

Dann ist die Fläche des Dreiecks ΔA = 1/2 * Basis * Höhe = 1/2 *r * Δr = 1/2 * r * v * Δt

Da L = m*r*v ist, können wir auch schreiben:

ΔA = 1/2 * L/m * Δt

Damit ergibt sich: ΔA/Δt = 1/2*L/m

ΔA/Δt ist eine Flächenänderung pro Zeit, das kann man als Flächengeschwindigkeit beschreiben.

Wenn also der Drehimpuls L konstant ist, dann muss die Flächengeschwindigkeit der Planetenbahn immer gleich sein, d.h. in gleichen Zeiten muss der Fahrstrahl gleiche Flächen überstreichen.

Faszinierend, wie Kepler die Drehimpulserhaltung gefunden hat, ohne den Begriff Drehimpuls zu kennen....

Ende mathematischer Exkurs

Kommen wir noch zum 1.Keplerschen Gesetz:

Da sich die Anziehungskraft der Sonne zeitlich nicht ändert (wir nennen das eine konservative Kraft), muss der Energieerhaltungssatz gelten.

Damit kann man zeigen, dass je nach Gesamtenergie E nur die folgenden Bahnformen vorkommen können:

E = 0:  Parabelbahn

E > 0:  Hyperbelbahn

E < 0: Kreisbahn oder Ellipsenbahn.

Und das ist letztlich Keplers erstes Gesetz.

                                                                   nach wikipedia common

Wenn man annimmt, dass der Planet auch die Sonne  anzieht, dann hat man ein sogenanntes Zwei-Körper-Problem vor sich liegen. Das kann man auch gut berechnen.

Sobald aber drei Massen oder mehr vorkommen, sind die Bahnen nicht berechenbar, sie können nur näherungsweise im Computer simuliert werden.

P 123: Kepler revolutioniert die Himmelsmechanik

 22. Dunkle Materie und Keplers Gesetze der Planetenbewegung

22.1 Was hat Kepler gemacht?

Nikolaus Kopernikus (1473 - 1543) hat im Jahr seines Todes ein Werk veröffentlicht, dass unser heliozentrisches Weltbild begründet: Die Erde als sich drehender Planet umläuft wie die anderen Planeten die Sonne auf einer Kreisbahn und steht damit nicht mehr im Mittelpunkt der Welt.

Tycho Brahe

Johannes Kepler (1571-1630) entdeckte dann 1606 und 1618 die drei grundlegenden Gesetze der Planetenbewegung. Er wertete die sehr genauen Beobachtungen von Tycho Brahe (1546-1601) zur Marsbewegung am Himmel aus.

Vermutlich hat Newton sein Gravitationsgesetz aus Keplers Gesetzen gewonnen. Wir werden später den umgekehrten Weg zeigen.

Wir wollen Keplers Gesetze einmal darstellen:

1.Keplersches Gesetz:

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.

Eine Ellipse kennen wir aus den vergeblichen Versuchen einen Kreis zu zeichnen, sie sieht wie ein zusammengedrückter Kreis aus.

Wir müssen hier nur ein paar Begriffe kennen:

Wenn die Sonne in einem Brennpunkt steht (für alle Planetenbahnen ist es der auf der gleichen Seite), dann gibt es einen Punkt mit dem geringsten Sonnenabstand, den nennt man Perihel, und einen mit dem größten Sonnenabstand, den nennt man Aphel.

Die Strecke vom Mittelpunkt der Ellipse zu Perihel oder Aphel nennt man große Halbachse a. Sie wird oft auch als mittlere Planetenentfernung bezeichnet.

Bearbeitetes Bild aus leifiphysik

Beispiel Erde:

Mittlere Entfernung: 150 Mill km

Perihelabstand: 147 Millionen km

Aphelabstand: 152 Millionen km

Die Abweichung von einer Kreisbahn würde man mit freiem Auge bei der Erdbahn gar nicht erkennen.

Die Brennpunkt werden über die Bahnform definiert: Von jedem Punkt der Ellipse aus ist die Summe der beiden Abstände zu den beiden Brennpunkten immer gleich und zwar gleich 2a, wenn a die Länge der großen Halbachse ist.

Aufgabe: Wenn der Planet im Perihel oder Aphel steht, lässt sich leicht zeigen, dass die Summe der Brennpunktsabstände gleich 2a ist.

Der Begriff der Exzentrizität ist noch wichtig: Damit bezeichnet man das Verhältnis e aus dem Abstand eines Brennpunktes zum Mittelpunkt geteilt durch die große Halbachse.

Zeige: Ein Kreis hat die Exzentrizität e =0, die Exzentrizität einer Ellipse liegt zwischen 0 und 1.

Hinweis: e = 1 ist eine Parabel und e > 1 eine Hyperbel.

Himmelskörper auf Parabelbahnen gehören noch (für unendliche lange Zeit) zum Sonnensystem, Himmelskörper auf Hyperbelbahnen fliegen nur einmal vorbei und sind dann wieder weg....

2.Keplersches Gesetz:

Die Verbindungslinie Planet-Sonne (Kepler nennt das den Fahrstrahl des Planeten) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Aufgabe: Fahre mit dem Finger eine solche Bewegung ab. Was bedeutet dass, wenn der Planet das Perihel und was, wenn er das Aphel überstreicht?

Frage: Was kann man nach dem 2.Keplerschen Gesetz über die rot markierten Flächen sagen?

Aufgabe: Anfang Januar steht die Erde im Perihel ihrer Bahn, Anfang Juli im Aphel (noch einmal: die Jahreszeiten haben nichts mit dem Abstand Erde-Sonne zu tun, sondern mit der Neigung der Erdachse).

Das Sommerhalbjahr geht vom Frühlingsanfang am 20.3. bis zum Herbstanfang am 23.9.

Das Winterhalbjahr (der Nordhalbkugel) geht vom 23.9. zum 20.3.

Erkläre, wieso das Sommerhalbjahr etwa eine Woche länger ist. Es gibt zwei Effekte, die dazu beitragen.

3. Keplersches Gesetz:

Hier hat Kepler die Umlaufszeiten der Planeten P und ihre großen Halbachsen a in Beziehung gesetzt:

Das Verhältnis der Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten unserer Sonne ist gleich dem Verhältnis der Kuben ihrer großen Halbachsen:

P1²/P2² = a1³/a2³

Wir werden die physikalischen Hintergründe dieser drei Gesetze in den nächsten Posts kennenlernen und dabei erkennen, was sie mit der Dunklen Materie zu tun haben.

P 122: Wenn es im Juli schneit....

 21.6 Das Eiern der Erde

Wir haben im letzten Post gelernt, dass ein sich drehender Körper senkrecht zu einer angreifenden Kraft ausweicht. Er kippt nicht um.

Das kennen wir von einem Kinderkreisel:

Wenn man ihn anstößt, kippt er nicht, sondern seine Drehachse weicht seitlich zum Stoß aus. Sie umkreist die ursprüngliche Richtung auf einem Kegelmantel. Diese Bewegung nennen wir Präzession.

Dreht sich der Kreisel nicht und stößt man ihn an, so kippt er um. Das kennen wir auch beim Fahrradfahren. Die Räder sind Kreisel. Drehen sie sich, so kann man das Fahrrad gut stabilisieren. Steht es still, kippt man eigentlich sofort zur Seite.

Wird ein Kreisel so aufgehängt, dass er nicht angestoßen wird, dann behält er seine Drehimpulsachse bei. Das demonstriert sehr eindrucksvoll der Astronaut Alexander Gerst auf der ISS.

Es lohnt sich unbedingt dieses Video anzusehen:

In der Luft- und Raumfahrt werden solche Kreisel zur Lageregelung genutzt. Man nennt sie Gyroskope. Mehr können wir in diesem Rahmen leider dazu nicht behandeln.

Auch die Erde ist ein Kreisel.

Am Erdäquator ist sie etwas dicker als an den Polen (der Äquatordurchmesser ist etwa 42 km größer als der Poldurchmesser).

Da die Erdachse schrägt auf der Bahnebene steht, versuchen Sonne und Mond, die in der Bahnebene stehen, die Erdachse aufzurichten. Sie üben ein Drehmoment aus, dem die Erde seitlich ausweicht. Die Erdachse beschreibt deshalb in 26000 Jahren einen Kegelmantel. 

Sie eiert oder torkelt wie ein Kinderkreisel....nur viel viel langsamer...Zur Zeit zeigt sie auf den Polarstern.

Vor 12 000 Jahren war der helle Stern Wega in der Leier unser Polarstern.

Da die Lage der Erdachse auch unsere Jahreszeiten bestimmt, verschieben sich die Jahreszeiten jedes Jahr um etwa 20 Minuten. In 13  000 Jahren haben wir auf der Nordhalbkugel am 21.12. Sommer! Und im Juli wird es schneien.

Frage: Wieso hat das nichts mit dem Klimawandel zu tun?

In dieser Darstellung (wikipedia common) sieht man, wie der Himmelsnordpol in 26 000 Jahren einmal um den höchsten Punkt am Himmel, das Zenit, wandert.

Übrigens: Dadurch haben sich die Tierkreiszeichen von den Horoskopen gegen die echten Sternbilder verschoben. Wer heute das Horoskop für das Tierkreiszeichen Waage  liest, ist gar keine Waage, sondern astronomisch gesehen wurde die Person unter der Jungfrau geboren.

Daran erkennt man was für ein Blödsinn die Astrologie ist.....

Rechercheauftrag:

Wieso bestimmt die Neigung der Erdachse die Jahreszeiten?

Erkläre, warum die etwas größere Nähe zur Sonne Anfang Januar keinen Einfluss auf die Jahreszeiten hat.

Wie verlaufen die Jahreszeiten auf Uranus?

Vertiefung:

In dieser Darstellung (Physik - HU Berlin) sind die Vektoren eingezeichnet. Es gibt eine Kraftkomponente senkrecht zum Radius r, die ein Drehmoment nach vorne erzeugt. Eingezeichnet ist dann die Torkelbewegung.

Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist durch das Verhältnis aus Drehmoment und Drehimpuls bestimmt: ωp = M/L.

Das wollen wir hier nicht herleiten. Wenn durch Reibung die Drehung des Kreisels abnimmt, also L kleiner wird, dann nimmt die Präzessionsgeschwindigkeit zu. Vielleicht schaut ihr euch die ersten Videos noch einmal an, da könnt ihr das auch beobachten.

In den nächsten Posts behandeln wir die Gesetze der Planetenbewegung und werden dabei viel von dem anwenden, was wir bisher gelernt haben.

P 121: Beschleunigen und Kippen

 Kommen wir erst einmal zur Kran-Aufgabe:

Das Gewicht L, die Last, erzeugt am Lastarm l (rechts) ein Drehmoment ML (ich habe den Vektor mit der Drei-Finger-Regel bestimmt und eingezeichnet. Er geht entlang der Drehachse nach hinten).

Entsprechend erzeugt das angehängte Gegengewicht links eine Kraft F am Kraftarm f und damit ein Drehmoment MF nach vorne.

Beide Drehmomente sind gleich groß, wirken entgegen und heben sich gegenseitig auf:

F*f = L * l

Wenn diese Hebelgleichung erfüllt ist, kippt der Kran nicht.

21.5.2 Kraftwirkung in Bewegungsrichtung

Wirkt eine Kraft F tangential zur Kreisbahn, also in Richtung der Geschwindigkeit, so wird der Körper schneller.

Das ist irgendwie logisch, lässt sich aber auch mit Drehmomenten erklären:

Der Radius r der Bahn ist der Hebelarm, an dem die Kraft F senkrecht angreift. Nach der Drei-Finger-Regel zeigt dann der Drehmomentvektor nach oben, er verläuft parallel zum Vektor des Drehimpulses L (oder der Winkelgeschwindigkeit). Diese Vektoren addieren sich, der Drehimpuls nimmt zu. Die Drehung wird schneller.

Der Grund ist die Definition: Drehmoment ist Drehimpulsänderung pro Zeit. Also bewirkt ein Drehmoment, das eine Zeit lang wirkt, eine Drehimpulsänderung:

M = ΔL/Δt, also ΔL = M * Δt  (siehe P 120).

21.5.2 Kraftwirkung senkrecht zur Bahnebene

Wirkt eine Kraft senkrecht zur Bahnebene, so ist auch intuitiv klar, dass die Bahn kippt....

Aber nicht so, wie man denkt.... Mit der Drei-Finger-Regel (Daumen in Radiusrichtung, Zeigerfinger in Kraftrichtung) erkennt man, dass das Drehmoment senkrecht zur wirkenden Kraft zeigt. Die Drehachse wird nicht (in unserem Bild)  nach links sondern nach vorne gekippt.

Ein drehender Körper weicht immer senkrecht zur wirkenden Kraft aus.

Das erfahren schon kleine Kinder...und das spielt eine große Bedeutung bei der Stabilisierung von Satelliten

Mehr dazu im nächsten Post...

P 120: In Drehung versetzen

 21.5 Drehmomente

21.5.1 Festlegung des Begriffs

Wir versuchen, diesen abstrakten Begriff wieder in Analogie zur geradlinigen Bewegung zu verstehen:

Geradlinige Bewegung:

Kräfte  versetzen Körper in Bewegung, sie erhöhen ihren Impuls.

Wir haben  die Kraft als den Impulszuwachs pro Zeit eingeführt, allgemeiner als Impulsstromstärke:

 F = Δp/Δt = m*a

Drehbewegung:

Nun kann man mit einer Kraft auch eine Drehung erzeugen, man führt dann Drehimpuls ΔL hinzu.

Die Drehimpulsstromstärke, also den Drehimpulszuwachs pro Zeit, nennt man Drehmoment M:

M = ΔL/Δt = Θ * α  

(Trägheitsmoment statt träger Masse, Drehbeschleunigung statt normaler Beschleunigung).

Einige wichtige Anmerkungen und Lerninterferenzen:

Eine Drehmoment ist keine Kraft, sondern die Wirkung einer Kraft in Verbindung mit einem Angriffspunkt, der einen Abstand r vom Drehpunkt oder der Drehachse hat:

M = r* F

Man nennt r auch den Hebelarm, an dem die Kraft angreift.

                                                        wikipedia: M = r*F, wenn r senkrecht auf F steht

Achtung: Siehe die Lerninterferenz von Post 116! Hier wird die lineare Größe Kraft mit dem Radius r multipliziert, nicht die Kreisgröße M, um einen Zusammenhang zwischen M und r herzustellen.

Damit eine Kraft auch etwas in Drehung versetzen kann, darf sie nicht radial angreifen, sie muss in Richtung der Drehung zeigen.

Unsere Formel gilt, wenn Kraft F und Abstand r senkrecht aufeinander stehen.

(Das ist das Gleiche, wenn eine Kraft nicht in Richtung des Weges zeigt...).

Fasst man r und F als Vektoren auf, so ist auch M ein Vektor. Dessen Richtung zeigt in Richtung der Drehachse. Man kann da smit der Drei-Fingerregle machen: Daumen in Richtung von r, Zeigefinger in Richtung der Kraft, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Vektors von M an.

M ist dann das sog. Vektorprodukt aus r und F.

                                                                leifiphysik

Das wollen wir hier aber nicht vertiefen!

Schauen wir viel besser noch auf eine zweite Lerninterferenz:

Die Einheit des Drehmomentes M ist die von Kraft* Weg, also Nm.

Nm kennen wir aber als Einheit der Arbeit.

Hier ist es aber keine Arbeit, denn der Weg r (der ja außerdem auch gar nicht abgefahren wird) steht senkrecht zur Kraft F.

Deswegen darf man Drehmomente nicht in Joule angeben, nur in Nm.

Eine sehr schöne Aufgabe zu diesem Thema (leider vektoriell gestellt), findet man bei Leifiphysik:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/arbeit-energie-und-leistung/aufgabe/unterscheidung-von-arbeit-und-drehmoment

Aufgabe Drehmoment/Arbeit

Im zugehörigen Bild wird deutlich: a ist der Hebelarm (unser r) und s der für die Arbeit wichtige, zurückgelegte Weg.

Aufgabe:

Erläutere, warum der Kran nicht kippt. Benutze dabei den Begriff Drehmoment und stelle eine Bedingung auf, die zwei Drehmomente berücksichtigt.

Du hast diese Bedingung als Hebelgesetz hoffentlich in der Mittelstufe kennengelernt.

   WDR, Die Sendung mit der Maus

Bald gibt es den FutureSpace in Kassel

 für euch zum Treffen, Lernen, experimentieren, aber auch für eure Kursen und Klassen

P119: Lösungen zur Suppe und zum Pulsar

 Die Pulsaraufgabe ist wieder etwas gemein, denn alle Zusammenhänge sind nicht linear. Man darf also nicht die Differenzen nehmen und damit rechnen.

Gegeben war die Frequenz von 30 Hz. Das liefert die Winkelgeschwindigkeit von 188,49556 /sec

Formel: ω = 2*π*f

Die Periodendauer erhält man als Kehrwert von f zu 1/30 sec. Davon muss man die 0,00001 sec abziehen, dann erhält man die Periodendauer vor einem Jahr (früher drehte sich der Stern schneller).

Daraus bestimmt man wieder als Kehrwert (Achtung: Auch Kehrwerte sind nicht lineare Zusammenhänge) die frühere Drehfrequenz und die frühere Winkelgeschwindigkeit zu 188,55212 /sec.

Nun brauchen wir das Trägheitsmoment einer Kugel Θ = 2/5*M*R². Pulsare werden langsamer, weil sie über die Magnetfelder Energie verlieren, nicht weil sie sich ausdehnen.

Nun können wir die beiden Rotationsenergien ausrechnen, wir müssen nur die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten einsetzen. Die Differenz ergibt 1,157 * 10^39 Nm.

Das ist der Energieverlust von einem Jahr. Die Leuchtkraft der Sonne bezieht sich aber auf die Energieaussendung pro Sekunde.

Also müssen wir den Energieverlust noch durch die Anzahl der Sekunden eines Jahres teilen. Dann kommen wir auf 92000 Sonnenleuchtkräfte.

Und nun kommen wir zum Suppen-Wettrennen:

Beim Herunterrollen kommt die Erbsensuppe langsamer in Fahrt. Denn der feste Inhalt (Erbsenpampe) muss sich mit drehen. Das bedeutet ein recht hohes Trägheitsmoment. Es geht also viel der durch den Höhenunterschied gewonnenen potenziellen Energie in die Rotationsenergie, nur ein Rest steht als Bewegungsenergie zur Verfügung.

Die Hühnersuppe ist extrem flüssig, die Flüssigkeit dreht sich am Anfang überhaupt nicht mit, es bleibt viel für Bewegungsenergie übrig, die Hühnersuppe ist schneller. Wegen ihres kleineren Trägheitsmomentes hat sie auf der Hangabfahrt weniger Rotationsenergie gespeichert. Deswegen kullert sie deutlich eher aus und bleibt liegen, deutlich früher als die  Erbsensuppe.

Das kennen wir: Wenn träge Massen erst mal in Bewegung sind, dann kann man sie kaum bremsen...

Damit wir zum Schluss noch verstehen können, warum sich die Jahreszeiten der Erde verschieben, benötigen wir den Begriff des Drehmomentes. Der hilft übrigens auch beim Wechseln von Autoreifen...

Das kommt im nächsten Post.

P 118: Erbseneintopf gegen Hühnersuppe: Wer gewinnt?

 21.4 Rotationsenergie

Ein sich mit der Geschwindigkeit v bewegender Körper, der die (träge) Masse m hat, besitzt die kinetische Energie Ekin = 1/2*m*v².

Wenn wir nun einen rotierenden Körper haben, müssen wir die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit ω ersetzen und die (träge) Masse m durch das Trägheitsmoment θ.

Wir erhalten dann als Rotationsenergie: Erot = 1/2* θ * ω².

Wir haben ja schon erfahren, dass Trägheitsmomente schwer zu berechnen sind.

Für eine gleichmäßig mit der Masse M ausgefüllte Kugel erhält man θ = 2/5 * M * R²  (M= Masse, R = Radius).

Ein gleichmäßig mit Masse ausgefüllter Zylinder hat θ = 1/2*M* R².

Würde sich die Masse M wie ein Planet konzentriert auf einer Umlaufsbahn mit Radius R befinden, so wäre θ = M * R².

Eine Verteilung der Masse auf eine Kugel reduziert das Trägheitsmoment auf 40%, auf einen Zylinder auf die Hälfte.

Ein Zylinder lässt sich also leichter als eine Kugel und diese leichter als ein umkreisender Körper in Drehbewegung versetzen.

Übungsaufgabe:

Der Crabpulsar (Neutronenstern, der aus einer 1054 beobachteten Supernovaexplosion hervorging) hat eine Drehfrequenz f von 30 Hz. Seine Periodendauer nimmt jedes Jahr um 0,01 msec ab.

Sein Radius beträgt 10 km, seine Masse 1,4 Sonnenmassen (2,78*10^30 kg)

        Chandra X-Ray Observatory

Wie groß ist der Verlust an Rotationenergie in einem Jahr?

Vergleiche mit der Leuchtkraft der Sonne von L = 4*10^26 J/sec

Und nun kommen wir zum Dosenrennen.

Moritz hat zwei gleichschwere gleichgroße Dosen in der Hand. In der rechten Hand die Dose mit der Erbsensuppe. Für Nichtkenner von Fertiggerichten: Das ist eigentlich keine Suppe sondern eine nahezu feste Matsche aus allem Möglichen....darunter auch kleine grüne Kugeln...

In der linken Hand (von Moritz aus gesehen!) hält Moritz Hühnersuppe...Auch hier eine Anmerkung: Das ist eigentlich auch keine Suppe, sondern fettiges Wasser, in dem einige wenige Teile von toten Hühnern herumschwimmen...

Beide Dosen rollen jetzt einen Abhang hinunter.

Wer kommt zuerst an? Warum?

Die Geschichte geht aber weiter...

Der Verlierer des Abwärtsrollens rollte aber auf der Ebene dann weiter als die Gewinnersuppe...(ich gebe zu, das ist wegen der leicht auseinander driftenden Bahnen nicht so gut zu erkennen). Woran liegt denn das?

Lösungen im nächsten Post...

Und nu n das Video:

P 117 Da kann einem leicht übel werden...

 21.3 Drehimpulserhaltung

Jetzt haben wir alles zusammen, um eines der bekanntesten Erhaltungsgesetze kennenzulernen.

Drehimpulserhaltungssatz: Der Drehimpuls eines Körpers bleibt immer erhalten, vorausgesetzt, es gibt keine äußeren Einflüsse.

Das gilt sogar für den Drehimpulsvektor, also die Richtung: die Drehachse stabilisiert sich selbst im Raum.

Das ist gut so, sonst würden wir beim Fahrradfahren ständig umfallen....

Mir ist dieser Erhaltungssatz  schon als kleines Kind begegnet...da musste ich immer Weihnachten mit meiner Familie Eiskunstlauf ansehen...war Tradition...und da kommen die Pirouetten vor...Läufer/innen bringen sich in Drehung, ziehen die Arme an den Körper und drehen sich schneller...beim eleganten Ausstrecken der Arme bremsen sie ab....

Wenn die Masse also näher an die Drehachse verlagert wird, verringert sich das Trägheitsmoment Θ (für eine Punktmasse ist es ja mit Θ = m*r² sogar durch das Quadrat des Abstandes bestimmt...), da aber der Drehimpuls erhalten bleibt, also L =  Θ * ω sich nicht ändert, muss mit dem Kleinerwerden von  Θ die Winkelgeschwindigkeit ω größer werden. Der Mensch dreht sich schneller...

Aus diesem Grund drehen sich auch die 10 km großen (besser kleinen) Neutronensterne wahnsinnig schnell (teilweise in Millisekunden...), denn sie sind durch den Kollaps eines Überriesensternes entstanden.

Ihr könnt die Erhaltung des Drehimpulses auch selbst spüren...ihr braucht einen gut gelagerten drehbaren Schreibtischstuhl und zwei schwere Massen, die ihr mit ausgestreckten Armen haltet.

Nehmt am besten mit Wasser gefüllte wertvolle Porzellanschüsseln...oder zwei Stativfüße...

Ich führe euch das mit Philipp im Café-Bereich des FutureSpace vor...

Hinterfragt das mal...

Wieso wird Philipp schneller? Wo kommt die Energie her, wo die Kraft zum Beschleunigen...???

Klar, durch die Formel  L =  Θ * ω kann man das erklären, aber verstehen wir es?

Ich möchte hier nur ein paar Hinweise geben, es würde den Rahmen des Kurses sprengen:

Philipp muss, wenn er die Gewichte an sich zieht, Arbeit verrichten (gegen die Fliehkraft). Diese Arbeit wird in erhöhter Rotationsenergie gespeichert.

Genaue Konstruktionen zeigen, dass dabei auch beschleunigende Kräfte in Drehrichtung entstehen....

Aber viel pauschaler, damit einfacher, ergibt sich alles nur aus dem Erhaltungssatz für den Drehimpuls.

Aber wieso gilt der denn?

Auch dafür gibt es eine pauschale Erklärung. Die gebe ich in den nächsten 10 Tagen auf den Zusatzseiten.

Ich habe das schon bei P 70 angekündigt...nun wird es aber Zeit...

Wir haben ja inzwischen drei Erhaltungssätze kennengelernt: Energieerhaltung, Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung.

Die haben unmittelbar etwas mit der inneren Struktur von Raum und Zeit zu tun...(siehe Extraseiten (bald)).

Aber erst einmal wollen wir zwei Dosen mit  Eintöpfen richtig durchschütteln...wir kommen zum berühmten Dosen-Wettrennen:

Wer wird gewinnen? Die Erbsensuppe oder die Hühnersuppe?

P 116: Planeten haben Drehimpuls

 21.2. Kreisende Punktmassen

Für einen einfachen Fall möchte ich die Formeln einmal herleiten:

Eine (punktförmige) Masse m umläuft  um einen Mittelpunkt M auf einer Kreisbahn im Abstand r.

Bisher haben wir die linearen Größen durch Multiplikation der Kreisgröße mit r erhalten, 

z.B.:  v = ω *r.

Hier ist es genau umgekehrt: Drehimpuls = Impuls der Kreisbewegung längs der Bahn * r, in Formeln also:

   L = p * r

Achtung Lerninterferenz:

Bei den einfachen Kreisgrößen (wie dem Winkel φ und der Winkelgeschwindigkeit ω) muss man diese mit r multiplizieren, um die Bahngrößen s und v zu bekommen.

Bahngeschwindigkeit v = Winkelgeschwindigkeit * r

Bei Drehimpuls (und Drehmoment M, kommt später) ist es umgekehrt: Hier muss man die Bahngrößen mit r multiplizieren, um die Kreisgrößen zu bekommen:

Drehimpuls L = Impuls * r

Drehmoment M = Kraft * r

Man kann sich das notfalls an den Einheiten klar machen. Mein Gehirn erzeugt hier ständig ein Lerninterferenz-Minimum...ich bringe das immer durcheinander...diesen Text habe ich dreimal überarbeiten müssen....

Achtung Mathealarm Vektorrechnung (nur für LKs....)!

Der Impuls p ist ein Vektor, d.h. eine gerichtete Größe. Das ist der Radius auch, denn er zeigt vom Mittelpunkt des Kreises zur Masse. Man spricht vom Radiusvektor.

Wir notieren Vektoren fett, unterstrichen  und kursiv, also p und r sind die Vektoren.

Wenn man zwei Vektoren multipliziert, dann denkt man oft an das Skalarprodukt. Dabei erhält man eine nicht gerichtete, skalare Größe.

Wir kennen das von der Arbeit W, sie ist das Skalarprodukt aus dem Kraftvektor mit dem Wegvektor: 

W = F * s und die Arbeit ist natürlich ungerichtet.

Das kann beim Drehimpuls nicht sein, Drehimpuls (Drehschwung) hat immer eine Richtung!

nach Lexikon der Physik

 Der Drehimpulsvektor L steht senkrecht auf der Bahn. Seine Richtung erhält  man, wenn man die Finger der rechten Hand in Richtung der Drehbewegung krümmt, dann zeigt der Daumen  die Richtung des Drehimpulses an.

Man kann das auch mit der Drei-Finger-Regel beschreiben:

nach wikipedia

Der Daumen der rechten Hand zeigt in Richtung des Radiusvektors, der Zeigefinger in Impulsrichtung, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Drehimpulsvektors an.

Das geht natürlich nicht mit einem Skalarprodukt. Für diesen Fall gibt es ein spezielles Vektorprodukt oder Kreuzprodukt genannt.

Wie man das ausrechnet, wollen wir hier nicht behandeln, eventuell wird es im Algebrakurs in Mathe besprochen. In Physik wird es euch bei der Lorentzkraft in Q2 begegnen.

Richtig geschrieben: L = r  x  p, das x steht für das besondere Kreuzprodukt. Vektoriell geschrieben, muss der Radiusvektor als erstes im Produkt stehen, denn in seine Richtung muss ja der Daumen gehalten werden.

nach Chemie in der Schule

Im übrigen gilt das auch bei unserer Formel v = ω * r.

Auch die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich ein Vektor, er zeigt längs der Drehachse und lässt sich mit der rechten Hand so bestimmen wie der Drehimpulsvektor.

Die vektoriell richtige Formel wäre also mit dem Kreuzprodukt: v =   ω x r

Probiert das mal mit den drei Fingern der rechten Hand aus. Dabei werdet ihr merken, dass hier r nicht als erstes stehen darf: Daumen in Richtung der Drehachse, Zeigefinger vom Mittelpunkt der Kreisbahn zur Masse. Dann zeigt der Mittelfinger die Richtung der Bahngeschwindigkeit an.

Aber betrachtet das eher als Ergänzungen für Nerds...in meinen LKs habe ich das nie gemacht. In so einem Blog aber kann man ruhig mal etwas mehr Infos bereitstellen.

Ende des Mathealarms

Aber wir lassen hier die Vektoren außen vor...nutzen einfach die skalare Gleichung L = p*r.

Nun ersetzen wir p = m*v und erhalten: L = m*v*r

v aber können wir durch die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: v = ω * r

Damit erhalten wir unsere endgültige Formel für den Drehimpuls unserer Masse m auf ihrer Kreisbahn:

  L = m * r² * ω

Ich habe die Größen umsortiert (wo kommt das Quadrat her?).

Dann könnt ihr mit der Formel: L = θ  * ω vergleichen, θ ist ja unser Trägheitsmoment.

Welches Trägheitsmoment besitzt also die auf einem Kreis mit dem Radius r laufende Masse m?

Antwort:   θ = m* r²

Ihr seht also, dass die Trägheit quadratisch mit dem Abstand vom Drehzentrum ansteigt.

P 115: Drehschwung

 21. Drehimpuls und Trägheitsmoment

21.1 Schwung und Trägheit beim Drehen

Wir haben in den letzten Posts ja gesehen, dass man alle Größen und Formeln, die wir bei linearen Bewegungen kennengelernt haben, einfach auf Kreisbewegungen übertragen kann:

Aus der Geschwindigkeit v wird die Winkelgeschwindigkeit  ω , aus der Beschleunigung a wird die Winkelbeschleunigung  α und natürlich wird aus der Strecke s der Drehwinkel  φ .

Und dann kann man einfach die Formeln übertragen:

Aus s(t)  = v*t wird   φ(t) =  ω * t

Aus s = 1/2*a*t² wird  φ = 1/2*α* t²

Aus v = a*t wird  ω = α * t

Auch die Zusammenhänge sind leicht zu beschreiben:

  v =  ω * r und a = α * r

Die Winkelgröße wird einfach mit dem Radius der Kreisbahn multipliziert und man erhält die lineare Bahngröße, gemessen längs der Bahn.

Überprüfe einmal, ob auch die Einheiten passen!

Natürlich haben auch die anderen Größen der Newtonschen Mechanik entsprechende Größen bei Kreisbewegungen:

Der Schwung (Impuls) p längs einer geradlinigen Bahn wird zum Drehschwung (Drehimpuls) L bei einer Kreisbewegung.

Die träge Masse m bei einer linearen Bewegung wird zum Trägheitsmoment Θ bei einer Kreisbewegung.

Und schon können wir die beiden wichtigen Formeln hinschreiben:

Aus der Impulsformel p = m* v wird die Drehimpulsformel L = Θ * ω.

Macht euch in eigenen Worten klar, was die Formelzeichen in den beiden Formeln für eine Bedeutung haben.

Diese Abbildung kann euch helfen:

Schauen wir uns erst noch einmal an, was wir in P 76 (Kapitel 14) über die träge Masse gelernt haben:

Was bedeutet also 1 kg?

Eine Masse von 1 kg ist in der Lage einen Schwung von 1 Hy in eine Geschwindigkeit von 1 m/sec umzusetzen.

Je größer eine Masse ist, desto mehr Schwung muss sie aufnehmen, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen.

Aufgenommene Menge = Konstante * Wirkung

                               p      =  m             *   v

 nennt man die Konstante eine Kapazität.

Denkt an unsere Badewanne:

Wir haben zwei Badewannen, in die beide 30 Liter pro Minute fließen. Bei Wanne A steigt jede Minute der Wasserspiegel um 3 cm, bei Wanne B um 2 mm.

Die Formel wäre: Wassermenge = Konstante * Höhe des Wasserspiegels

Wir sagen: Wanne B hat eine größere Kapazität für Wasser als Wanne A.

Entsprechend ist die  träge Masse  also eine Angabe zur  Kapazität, mit der sie  Schwung aufnehmen kann: Träge Masse ist eine Schwungkapazität.

Je höher die träge Masse, desto mehr Schwung kann sie speichern und desto mehr Schwung braucht man, um sie auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu bringen.

Eigentlich ist nur dieser letzte Satz wichtig. Er sollte an sich aber eher eine Trivialität ausdrücken...

Leider wird in unserer Umgangssprache das Wort Kapazität auch für Fassungsvermögen verwendet. Das ist in der Physik falsch: Eine Kapazität ist in der Physik eine Pro-Angabe, ein Fassungsvermögen gibt an, wieviel von etwas wo reinpasst. Ohne Pro und Kontra....

Eine Badewanne hat an sich nur ein Fassungsvermögen. Erst wenn wir Wasser reinlaufen lassen und wir wissen wollen, wie die Zuflussmenge in Wasserstand umgesetzt ist, benötigen wir die Kapazität der Wanne.

Je größer die Kapazität der Wanne ist, desto langsamer steigt der Wasserspiegel an.

Und genau so beschreibt das Trägheitsmoment  Θ, wie der Drehschwung L in Drehung (ω) umgesetzt wird:

Je größer das Trägheitsmoment  Θ ist, desto mehr widersetzt sich der Körper einer Drehung, d.h. desto mehr Drehschwung L brauche ich, um ihn auf eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit ω zu bringen.

Beim Drehen kommt es aber auch darauf an, wie die Drehachse relativ zum Körper angeordnet ist und vor allem wie sich die Masse innerhalb des Körpers verteilt.

Ist der Körper in größeren Abständen von der Drehachse besonders massereich, so kann man ihn nur schwer in Drehung versetzen.

Je dichter die Masse an der Drehachse liegt, desto leichter lässt sich ein Körper drehen, sein Trägheitsmoment  Θ ist dann kleiner.

Seilläufer stabilisieren sich in dem sie lange Stangen halten. Dadurch bekommen sie ein größeres Trägheitsmoment und sind nicht so leicht zum Drehen (Kippen) zu bringen.

                                                    Bild: Metallbau Goltings

Das Berechnen von Trägheitsmoment ist nicht einfach, es muss oft integriert werden. Man schlägt Formeln einfach nach, wenn man das Trägheitsmoment zu bestimmten Körpern berechnen will.

Zur Übung: 

Bestimme einmal die Formel für den Drehimpuls einer Kreisbewegung und das zugehörige Trägheitsmoment.

Nimm an, dass sich eine punktförmige Masse m mit der Bahngeschwindigkeit v auf einem Kreis mit dem Radius r bewegt.