P 120: In Drehung versetzen

 21.5 Drehmomente

21.5.1 Festlegung des Begriffs

Wir versuchen, diesen abstrakten Begriff wieder in Analogie zur geradlinigen Bewegung zu verstehen:

Geradlinige Bewegung:

Kräfte  versetzen Körper in Bewegung, sie erhöhen ihren Impuls.

Wir haben  die Kraft als den Impulszuwachs pro Zeit eingeführt, allgemeiner als Impulsstromstärke:

 F = Δp/Δt = m*a

Drehbewegung:

Nun kann man mit einer Kraft auch eine Drehung erzeugen, man führt dann Drehimpuls ΔL hinzu.

Die Drehimpulsstromstärke, also den Drehimpulszuwachs pro Zeit, nennt man Drehmoment M:

M = ΔL/Δt = Θ * α  

(Trägheitsmoment statt träger Masse, Drehbeschleunigung statt normaler Beschleunigung).

Einige wichtige Anmerkungen und Lerninterferenzen:

Eine Drehmoment ist keine Kraft, sondern die Wirkung einer Kraft in Verbindung mit einem Angriffspunkt, der einen Abstand r vom Drehpunkt oder der Drehachse hat:

M = r* F

Man nennt r auch den Hebelarm, an dem die Kraft angreift.

                                                        wikipedia: M = r*F, wenn r senkrecht auf F steht

Achtung: Siehe die Lerninterferenz von Post 116! Hier wird die lineare Größe Kraft mit dem Radius r multipliziert, nicht die Kreisgröße M, um einen Zusammenhang zwischen M und r herzustellen.

Damit eine Kraft auch etwas in Drehung versetzen kann, darf sie nicht radial angreifen, sie muss in Richtung der Drehung zeigen.

Unsere Formel gilt, wenn Kraft F und Abstand r senkrecht aufeinander stehen.

(Das ist das Gleiche, wenn eine Kraft nicht in Richtung des Weges zeigt...).

Fasst man r und F als Vektoren auf, so ist auch M ein Vektor. Dessen Richtung zeigt in Richtung der Drehachse. Man kann da smit der Drei-Fingerregle machen: Daumen in Richtung von r, Zeigefinger in Richtung der Kraft, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Vektors von M an.

M ist dann das sog. Vektorprodukt aus r und F.

                                                                leifiphysik

Das wollen wir hier aber nicht vertiefen!

Schauen wir viel besser noch auf eine zweite Lerninterferenz:

Die Einheit des Drehmomentes M ist die von Kraft* Weg, also Nm.

Nm kennen wir aber als Einheit der Arbeit.

Hier ist es aber keine Arbeit, denn der Weg r (der ja außerdem auch gar nicht abgefahren wird) steht senkrecht zur Kraft F.

Deswegen darf man Drehmomente nicht in Joule angeben, nur in Nm.

Eine sehr schöne Aufgabe zu diesem Thema (leider vektoriell gestellt), findet man bei Leifiphysik:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/arbeit-energie-und-leistung/aufgabe/unterscheidung-von-arbeit-und-drehmoment

Aufgabe Drehmoment/Arbeit

Im zugehörigen Bild wird deutlich: a ist der Hebelarm (unser r) und s der für die Arbeit wichtige, zurückgelegte Weg.

Aufgabe:

Erläutere, warum der Kran nicht kippt. Benutze dabei den Begriff Drehmoment und stelle eine Bedingung auf, die zwei Drehmomente berücksichtigt.

Du hast diese Bedingung als Hebelgesetz hoffentlich in der Mittelstufe kennengelernt.

   WDR, Die Sendung mit der Maus

Bald gibt es den FutureSpace in Kassel

 für euch zum Treffen, Lernen, experimentieren, aber auch für eure Kursen und Klassen

P119: Lösungen zur Suppe und zum Pulsar

 Die Pulsaraufgabe ist wieder etwas gemein, denn alle Zusammenhänge sind nicht linear. Man darf also nicht die Differenzen nehmen und damit rechnen.

Gegeben war die Frequenz von 30 Hz. Das liefert die Winkelgeschwindigkeit von 188,49556 /sec

Formel: ω = 2*π*f

Die Periodendauer erhält man als Kehrwert von f zu 1/30 sec. Davon muss man die 0,00001 sec abziehen, dann erhält man die Periodendauer vor einem Jahr (früher drehte sich der Stern schneller).

Daraus bestimmt man wieder als Kehrwert (Achtung: Auch Kehrwerte sind nicht lineare Zusammenhänge) die frühere Drehfrequenz und die frühere Winkelgeschwindigkeit zu 188,55212 /sec.

Nun brauchen wir das Trägheitsmoment einer Kugel Θ = 2/5*M*R². Pulsare werden langsamer, weil sie über die Magnetfelder Energie verlieren, nicht weil sie sich ausdehnen.

Nun können wir die beiden Rotationsenergien ausrechnen, wir müssen nur die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten einsetzen. Die Differenz ergibt 1,157 * 10^39 Nm.

Das ist der Energieverlust von einem Jahr. Die Leuchtkraft der Sonne bezieht sich aber auf die Energieaussendung pro Sekunde.

Also müssen wir den Energieverlust noch durch die Anzahl der Sekunden eines Jahres teilen. Dann kommen wir auf 92000 Sonnenleuchtkräfte.

Und nun kommen wir zum Suppen-Wettrennen:

Beim Herunterrollen kommt die Erbsensuppe langsamer in Fahrt. Denn der feste Inhalt (Erbsenpampe) muss sich mit drehen. Das bedeutet ein recht hohes Trägheitsmoment. Es geht also viel der durch den Höhenunterschied gewonnenen potenziellen Energie in die Rotationsenergie, nur ein Rest steht als Bewegungsenergie zur Verfügung.

Die Hühnersuppe ist extrem flüssig, die Flüssigkeit dreht sich am Anfang überhaupt nicht mit, es bleibt viel für Bewegungsenergie übrig, die Hühnersuppe ist schneller. Wegen ihres kleineren Trägheitsmomentes hat sie auf der Hangabfahrt weniger Rotationsenergie gespeichert. Deswegen kullert sie deutlich eher aus und bleibt liegen, deutlich früher als die  Erbsensuppe.

Das kennen wir: Wenn träge Massen erst mal in Bewegung sind, dann kann man sie kaum bremsen...

Damit wir zum Schluss noch verstehen können, warum sich die Jahreszeiten der Erde verschieben, benötigen wir den Begriff des Drehmomentes. Der hilft übrigens auch beim Wechseln von Autoreifen...

Das kommt im nächsten Post.

P 118: Erbseneintopf gegen Hühnersuppe: Wer gewinnt?

 21.4 Rotationsenergie

Ein sich mit der Geschwindigkeit v bewegender Körper, der die (träge) Masse m hat, besitzt die kinetische Energie Ekin = 1/2*m*v².

Wenn wir nun einen rotierenden Körper haben, müssen wir die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit ω ersetzen und die (träge) Masse m durch das Trägheitsmoment θ.

Wir erhalten dann als Rotationsenergie: Erot = 1/2* θ * ω².

Wir haben ja schon erfahren, dass Trägheitsmomente schwer zu berechnen sind.

Für eine gleichmäßig mit der Masse M ausgefüllte Kugel erhält man θ = 2/5 * M * R²  (M= Masse, R = Radius).

Ein gleichmäßig mit Masse ausgefüllter Zylinder hat θ = 1/2*M* R².

Würde sich die Masse M wie ein Planet konzentriert auf einer Umlaufsbahn mit Radius R befinden, so wäre θ = M * R².

Eine Verteilung der Masse auf eine Kugel reduziert das Trägheitsmoment auf 40%, auf einen Zylinder auf die Hälfte.

Ein Zylinder lässt sich also leichter als eine Kugel und diese leichter als ein umkreisender Körper in Drehbewegung versetzen.

Übungsaufgabe:

Der Crabpulsar (Neutronenstern, der aus einer 1054 beobachteten Supernovaexplosion hervorging) hat eine Drehfrequenz f von 30 Hz. Seine Periodendauer nimmt jedes Jahr um 0,01 msec ab.

Sein Radius beträgt 10 km, seine Masse 1,4 Sonnenmassen (2,78*10^30 kg)

        Chandra X-Ray Observatory

Wie groß ist der Verlust an Rotationenergie in einem Jahr?

Vergleiche mit der Leuchtkraft der Sonne von L = 4*10^26 J/sec

Und nun kommen wir zum Dosenrennen.

Moritz hat zwei gleichschwere gleichgroße Dosen in der Hand. In der rechten Hand die Dose mit der Erbsensuppe. Für Nichtkenner von Fertiggerichten: Das ist eigentlich keine Suppe sondern eine nahezu feste Matsche aus allem Möglichen....darunter auch kleine grüne Kugeln...

In der linken Hand (von Moritz aus gesehen!) hält Moritz Hühnersuppe...Auch hier eine Anmerkung: Das ist eigentlich auch keine Suppe, sondern fettiges Wasser, in dem einige wenige Teile von toten Hühnern herumschwimmen...

Beide Dosen rollen jetzt einen Abhang hinunter.

Wer kommt zuerst an? Warum?

Die Geschichte geht aber weiter...

Der Verlierer des Abwärtsrollens rollte aber auf der Ebene dann weiter als die Gewinnersuppe...(ich gebe zu, das ist wegen der leicht auseinander driftenden Bahnen nicht so gut zu erkennen). Woran liegt denn das?

Lösungen im nächsten Post...

Und nu n das Video:

P 117 Da kann einem leicht übel werden...

 21.3 Drehimpulserhaltung

Jetzt haben wir alles zusammen, um eines der bekanntesten Erhaltungsgesetze kennenzulernen.

Drehimpulserhaltungssatz: Der Drehimpuls eines Körpers bleibt immer erhalten, vorausgesetzt, es gibt keine äußeren Einflüsse.

Das gilt sogar für den Drehimpulsvektor, also die Richtung: die Drehachse stabilisiert sich selbst im Raum.

Das ist gut so, sonst würden wir beim Fahrradfahren ständig umfallen....

Mir ist dieser Erhaltungssatz  schon als kleines Kind begegnet...da musste ich immer Weihnachten mit meiner Familie Eiskunstlauf ansehen...war Tradition...und da kommen die Pirouetten vor...Läufer/innen bringen sich in Drehung, ziehen die Arme an den Körper und drehen sich schneller...beim eleganten Ausstrecken der Arme bremsen sie ab....

Wenn die Masse also näher an die Drehachse verlagert wird, verringert sich das Trägheitsmoment Θ (für eine Punktmasse ist es ja mit Θ = m*r² sogar durch das Quadrat des Abstandes bestimmt...), da aber der Drehimpuls erhalten bleibt, also L =  Θ * ω sich nicht ändert, muss mit dem Kleinerwerden von  Θ die Winkelgeschwindigkeit ω größer werden. Der Mensch dreht sich schneller...

Aus diesem Grund drehen sich auch die 10 km großen (besser kleinen) Neutronensterne wahnsinnig schnell (teilweise in Millisekunden...), denn sie sind durch den Kollaps eines Überriesensternes entstanden.

Ihr könnt die Erhaltung des Drehimpulses auch selbst spüren...ihr braucht einen gut gelagerten drehbaren Schreibtischstuhl und zwei schwere Massen, die ihr mit ausgestreckten Armen haltet.

Nehmt am besten mit Wasser gefüllte wertvolle Porzellanschüsseln...oder zwei Stativfüße...

Ich führe euch das mit Philipp im Café-Bereich des FutureSpace vor...

Hinterfragt das mal...

Wieso wird Philipp schneller? Wo kommt die Energie her, wo die Kraft zum Beschleunigen...???

Klar, durch die Formel  L =  Θ * ω kann man das erklären, aber verstehen wir es?

Ich möchte hier nur ein paar Hinweise geben, es würde den Rahmen des Kurses sprengen:

Philipp muss, wenn er die Gewichte an sich zieht, Arbeit verrichten (gegen die Fliehkraft). Diese Arbeit wird in erhöhter Rotationsenergie gespeichert.

Genaue Konstruktionen zeigen, dass dabei auch beschleunigende Kräfte in Drehrichtung entstehen....

Aber viel pauschaler, damit einfacher, ergibt sich alles nur aus dem Erhaltungssatz für den Drehimpuls.

Aber wieso gilt der denn?

Auch dafür gibt es eine pauschale Erklärung. Die gebe ich in den nächsten 10 Tagen auf den Zusatzseiten.

Ich habe das schon bei P 70 angekündigt...nun wird es aber Zeit...

Wir haben ja inzwischen drei Erhaltungssätze kennengelernt: Energieerhaltung, Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung.

Die haben unmittelbar etwas mit der inneren Struktur von Raum und Zeit zu tun...(siehe Extraseiten (bald)).

Aber erst einmal wollen wir zwei Dosen mit  Eintöpfen richtig durchschütteln...wir kommen zum berühmten Dosen-Wettrennen:

Wer wird gewinnen? Die Erbsensuppe oder die Hühnersuppe?

P 116: Planeten haben Drehimpuls

 21.2. Kreisende Punktmassen

Für einen einfachen Fall möchte ich die Formeln einmal herleiten:

Eine (punktförmige) Masse m umläuft  um einen Mittelpunkt M auf einer Kreisbahn im Abstand r.

Bisher haben wir die linearen Größen durch Multiplikation der Kreisgröße mit r erhalten, 

z.B.:  v = ω *r.

Hier ist es genau umgekehrt: Drehimpuls = Impuls der Kreisbewegung längs der Bahn * r, in Formeln also:

   L = p * r

Achtung Lerninterferenz:

Bei den einfachen Kreisgrößen (wie dem Winkel φ und der Winkelgeschwindigkeit ω) muss man diese mit r multiplizieren, um die Bahngrößen s und v zu bekommen.

Bahngeschwindigkeit v = Winkelgeschwindigkeit * r

Bei Drehimpuls (und Drehmoment M, kommt später) ist es umgekehrt: Hier muss man die Bahngrößen mit r multiplizieren, um die Kreisgrößen zu bekommen:

Drehimpuls L = Impuls * r

Drehmoment M = Kraft * r

Man kann sich das notfalls an den Einheiten klar machen. Mein Gehirn erzeugt hier ständig ein Lerninterferenz-Minimum...ich bringe das immer durcheinander...diesen Text habe ich dreimal überarbeiten müssen....

Achtung Mathealarm Vektorrechnung (nur für LKs....)!

Der Impuls p ist ein Vektor, d.h. eine gerichtete Größe. Das ist der Radius auch, denn er zeigt vom Mittelpunkt des Kreises zur Masse. Man spricht vom Radiusvektor.

Wir notieren Vektoren fett, unterstrichen  und kursiv, also p und r sind die Vektoren.

Wenn man zwei Vektoren multipliziert, dann denkt man oft an das Skalarprodukt. Dabei erhält man eine nicht gerichtete, skalare Größe.

Wir kennen das von der Arbeit W, sie ist das Skalarprodukt aus dem Kraftvektor mit dem Wegvektor: 

W = F * s und die Arbeit ist natürlich ungerichtet.

Das kann beim Drehimpuls nicht sein, Drehimpuls (Drehschwung) hat immer eine Richtung!

nach Lexikon der Physik

 Der Drehimpulsvektor L steht senkrecht auf der Bahn. Seine Richtung erhält  man, wenn man die Finger der rechten Hand in Richtung der Drehbewegung krümmt, dann zeigt der Daumen  die Richtung des Drehimpulses an.

Man kann das auch mit der Drei-Finger-Regel beschreiben:

nach wikipedia

Der Daumen der rechten Hand zeigt in Richtung des Radiusvektors, der Zeigefinger in Impulsrichtung, dann zeigt der Mittelfinger die Richtung des Drehimpulsvektors an.

Das geht natürlich nicht mit einem Skalarprodukt. Für diesen Fall gibt es ein spezielles Vektorprodukt oder Kreuzprodukt genannt.

Wie man das ausrechnet, wollen wir hier nicht behandeln, eventuell wird es im Algebrakurs in Mathe besprochen. In Physik wird es euch bei der Lorentzkraft in Q2 begegnen.

Richtig geschrieben: L = r  x  p, das x steht für das besondere Kreuzprodukt. Vektoriell geschrieben, muss der Radiusvektor als erstes im Produkt stehen, denn in seine Richtung muss ja der Daumen gehalten werden.

nach Chemie in der Schule

Im übrigen gilt das auch bei unserer Formel v = ω * r.

Auch die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich ein Vektor, er zeigt längs der Drehachse und lässt sich mit der rechten Hand so bestimmen wie der Drehimpulsvektor.

Die vektoriell richtige Formel wäre also mit dem Kreuzprodukt: v =   ω x r

Probiert das mal mit den drei Fingern der rechten Hand aus. Dabei werdet ihr merken, dass hier r nicht als erstes stehen darf: Daumen in Richtung der Drehachse, Zeigefinger vom Mittelpunkt der Kreisbahn zur Masse. Dann zeigt der Mittelfinger die Richtung der Bahngeschwindigkeit an.

Aber betrachtet das eher als Ergänzungen für Nerds...in meinen LKs habe ich das nie gemacht. In so einem Blog aber kann man ruhig mal etwas mehr Infos bereitstellen.

Ende des Mathealarms

Aber wir lassen hier die Vektoren außen vor...nutzen einfach die skalare Gleichung L = p*r.

Nun ersetzen wir p = m*v und erhalten: L = m*v*r

v aber können wir durch die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: v = ω * r

Damit erhalten wir unsere endgültige Formel für den Drehimpuls unserer Masse m auf ihrer Kreisbahn:

  L = m * r² * ω

Ich habe die Größen umsortiert (wo kommt das Quadrat her?).

Dann könnt ihr mit der Formel: L = θ  * ω vergleichen, θ ist ja unser Trägheitsmoment.

Welches Trägheitsmoment besitzt also die auf einem Kreis mit dem Radius r laufende Masse m?

Antwort:   θ = m* r²

Ihr seht also, dass die Trägheit quadratisch mit dem Abstand vom Drehzentrum ansteigt.

P 115: Drehschwung

 21. Drehimpuls und Trägheitsmoment

21.1 Schwung und Trägheit beim Drehen

Wir haben in den letzten Posts ja gesehen, dass man alle Größen und Formeln, die wir bei linearen Bewegungen kennengelernt haben, einfach auf Kreisbewegungen übertragen kann:

Aus der Geschwindigkeit v wird die Winkelgeschwindigkeit  ω , aus der Beschleunigung a wird die Winkelbeschleunigung  α und natürlich wird aus der Strecke s der Drehwinkel  φ .

Und dann kann man einfach die Formeln übertragen:

Aus s(t)  = v*t wird   φ(t) =  ω * t

Aus s = 1/2*a*t² wird  φ = 1/2*α* t²

Aus v = a*t wird  ω = α * t

Auch die Zusammenhänge sind leicht zu beschreiben:

  v =  ω * r und a = α * r

Die Winkelgröße wird einfach mit dem Radius der Kreisbahn multipliziert und man erhält die lineare Bahngröße, gemessen längs der Bahn.

Überprüfe einmal, ob auch die Einheiten passen!

Natürlich haben auch die anderen Größen der Newtonschen Mechanik entsprechende Größen bei Kreisbewegungen:

Der Schwung (Impuls) p längs einer geradlinigen Bahn wird zum Drehschwung (Drehimpuls) L bei einer Kreisbewegung.

Die träge Masse m bei einer linearen Bewegung wird zum Trägheitsmoment Θ bei einer Kreisbewegung.

Und schon können wir die beiden wichtigen Formeln hinschreiben:

Aus der Impulsformel p = m* v wird die Drehimpulsformel L = Θ * ω.

Macht euch in eigenen Worten klar, was die Formelzeichen in den beiden Formeln für eine Bedeutung haben.

Diese Abbildung kann euch helfen:

Schauen wir uns erst noch einmal an, was wir in P 76 (Kapitel 14) über die träge Masse gelernt haben:

Was bedeutet also 1 kg?

Eine Masse von 1 kg ist in der Lage einen Schwung von 1 Hy in eine Geschwindigkeit von 1 m/sec umzusetzen.

Je größer eine Masse ist, desto mehr Schwung muss sie aufnehmen, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen.

Aufgenommene Menge = Konstante * Wirkung

                               p      =  m             *   v

 nennt man die Konstante eine Kapazität.

Denkt an unsere Badewanne:

Wir haben zwei Badewannen, in die beide 30 Liter pro Minute fließen. Bei Wanne A steigt jede Minute der Wasserspiegel um 3 cm, bei Wanne B um 2 mm.

Die Formel wäre: Wassermenge = Konstante * Höhe des Wasserspiegels

Wir sagen: Wanne B hat eine größere Kapazität für Wasser als Wanne A.

Entsprechend ist die  träge Masse  also eine Angabe zur  Kapazität, mit der sie  Schwung aufnehmen kann: Träge Masse ist eine Schwungkapazität.

Je höher die träge Masse, desto mehr Schwung kann sie speichern und desto mehr Schwung braucht man, um sie auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu bringen.

Eigentlich ist nur dieser letzte Satz wichtig. Er sollte an sich aber eher eine Trivialität ausdrücken...

Leider wird in unserer Umgangssprache das Wort Kapazität auch für Fassungsvermögen verwendet. Das ist in der Physik falsch: Eine Kapazität ist in der Physik eine Pro-Angabe, ein Fassungsvermögen gibt an, wieviel von etwas wo reinpasst. Ohne Pro und Kontra....

Eine Badewanne hat an sich nur ein Fassungsvermögen. Erst wenn wir Wasser reinlaufen lassen und wir wissen wollen, wie die Zuflussmenge in Wasserstand umgesetzt ist, benötigen wir die Kapazität der Wanne.

Je größer die Kapazität der Wanne ist, desto langsamer steigt der Wasserspiegel an.

Und genau so beschreibt das Trägheitsmoment  Θ, wie der Drehschwung L in Drehung (ω) umgesetzt wird:

Je größer das Trägheitsmoment  Θ ist, desto mehr widersetzt sich der Körper einer Drehung, d.h. desto mehr Drehschwung L brauche ich, um ihn auf eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit ω zu bringen.

Beim Drehen kommt es aber auch darauf an, wie die Drehachse relativ zum Körper angeordnet ist und vor allem wie sich die Masse innerhalb des Körpers verteilt.

Ist der Körper in größeren Abständen von der Drehachse besonders massereich, so kann man ihn nur schwer in Drehung versetzen.

Je dichter die Masse an der Drehachse liegt, desto leichter lässt sich ein Körper drehen, sein Trägheitsmoment  Θ ist dann kleiner.

Seilläufer stabilisieren sich in dem sie lange Stangen halten. Dadurch bekommen sie ein größeres Trägheitsmoment und sind nicht so leicht zum Drehen (Kippen) zu bringen.

                                                    Bild: Metallbau Goltings

Das Berechnen von Trägheitsmoment ist nicht einfach, es muss oft integriert werden. Man schlägt Formeln einfach nach, wenn man das Trägheitsmoment zu bestimmten Körpern berechnen will.

Zur Übung: 

Bestimme einmal die Formel für den Drehimpuls einer Kreisbewegung und das zugehörige Trägheitsmoment.

Nimm an, dass sich eine punktförmige Masse m mit der Bahngeschwindigkeit v auf einem Kreis mit dem Radius r bewegt.

P114: Lösungen

 Aufgabe 1:

33 Umdrehungen pro Minute sind 0,55 Umdrehungen pro Sekunde und eine Umdrehungszeit P = 1,8 sec (f= 1/P)

a) Bogenmaß: Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/P = 2π*f = 3,46/sec

     Grad: Winkelgeschwindigkeit ω  = 360°/P = 360°*f = 198°/sec

b) Bahngeschwindigkeit v =  ω * r, nun setze man die Radien in m ein:

   Innere Rille. v = 3,46/sec*0,068 m = 0,235 m/sec

   Äußere Rille: v = 3,46 sec *0,162 m = 0,56 m/sec

c) Das fassen wir als gleichförmige Kreisbewegung auf: Drehwinkel =  ω * t

t= 30 min = 1800 sec, also in Grad: 198°/sec*1800sec = 356400°

Teilt man das durch 360° so erhält man 990 Umdrehungen, das passt zu 33 Umdrehungen pro Minute...

d) Hier liegt eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung vor:

Wir brauchen die Winkelbeschleunigungen. Dazu müssen wir die End-Winkelgeschwindigkeiten (einmal in °/sec und einmal in 1/sec) durch die Anfahrzeit von 1,5 sec teilen:

Gradrechnung: 198°/1,5 sec = 132°/sec²

Bogenmaßrechnung: 3,46/1,5 = 2,3/sec².

Nun können wir mit dem Drehgesetz:

 Zurückgelegter Winkel = 1/2*Winkelbeschleunigung*t² 

den Drehwinkel  während des Anfahrens des Plattentellers ausrechnen: 

1/2*132°/sec²*1,5²sec² = 148,5 °, also knapp eine halbe Umdrehung.

Aufgabe 2:

Die Erde dreht sich in 86160 sec um ihre Achse.

a) Damit rechnen wir wieder die Winkelgeschwindigkeit aus:  ω = 360° bzw.2π/ 86160 sec.

Wir erhalten 0°,0042/sec  (1/4 Bogenminute pro Sekunde) bzw. 0,000073/sec für die Angabe im Bogenmaß.

b) Multiplizieren wir diesen Wert mit dem Erdradius, so erhalten wir die Drehgeschwindigkeit am Erdäquator:

v = 0,000073 * 6371 = 0,46 km/sec.

c) Der Abstand zur Rotationsachse verkürzt sich mit dem Cosinus der geographischen Breite φ (leider der gleiche Buchstabe wie für einen Drehwinkel...):

Abstand zur Drehachse = R * cos φ

Kassel ist nur 3966 km von der Drehachse entfernt.

Entsprechend erhält man bei gleicher Winkelgeschwindigkeit (!, sonst würde die Erde kaputtgehen) die entsprechende Rotationsgeschwindigkeit von Kassel: 0,29 km/sec.

d) Der Nordpol selbst dreht sich nicht, da er ja den Abstand r=0 zur Drehachse hat.

e) Im Prinzip kann man so vorgehen:

Man rechnet die Winkelgeschwindigkeit ω für den heutigen Tag mit 86160 sec aus, dann die Winkelgeschwindigkeit für einen Tag in 100 Jahren von 86159,998 sec.

Beide Winkelgeschwindigkeiten zieht man voneinander ab und teilt sie durch die Anzahl der Sekunden eines Jahrhunderts. Damit erhält man die Winkel-Brems-Beschleunigung: 5,38*10^(-22)/sec².

Verdammt wenig...und dennoch kann man das gut messen...

Hier noch eine Sendung mit der Maus  über Langspielplatten...

 

Hinweis

 Die Lösungen versuche ich noch vor Beginn der Osterferien 2022 zu posten. In den Ferien werde ich etwas vorarbeiten und die Kreisbewegungen fortführen.

Für 2022: Ich wünsche euch erholsame Osterferien und möge Corona zurückweichen und dieser widerliche Angriffskrieg schnell aufhören....

P 113: Alles schon mal da gewesen....

 20.2 Vergleich zwischen Kreisbewegung und linearer Bewegung

In beiden Bewegungsformen gibt es vergleichbare Festlegungen, was man unter einer Geschwindigkeit und einer Beschleunigung versteht.

Auch die Weg-Zeit-Gesetze WZG und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze GZG stimmen vollständig überein, wenn man nur die Geschwindigkeit v durch die Winkelgeschwindigkeit, die Beschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung und den zurückgelegten Weg s durch den Drehwinkel ersetzt.

Das merkt man sich am besten durch diesen Überblick:

Notiere Dir die Formeln in einer eigenen Tabelle und erläutere sie kurz.

Wichtig ist, dass man fast immer die Kreisgrößen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß angibt. Man muss es nicht,. aber für weiterführende Rechnungen ist es hilfreich.

Im nächsten Post lernen wir, wie man die entsprechenden Größen ineinander überführt. Das kennst Du im Prinzip, deshalb versuch dich einmal an den folgenden Aufgaben:

Langspielplatten (LP)  kennst Du sicher nicht mehr, sie sind der Vorgänger einer CD. Auch wenn sie heute wenig eingesetzt werden, zum Rechnen eignen sie sich allemal (Bild: WDR):

Aufgabe 1:

Eine LP dreht sich mit 33 Umdrehungen pro Minute auf dem Plattenteller. In den Rillen, die sich spiralförmig nach Außen fortsetzen, ist die Musik gespeichert.

Die innere Rille als Kreis gedacht hat einen Radius von 6,8 cm, die äußere von 16,2 cm.

Berechne:

a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Platte dreht. Gib sie im Bogenmaß/sec an, aber auch im anschaulicheren Maß Grad/sec.

b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt auf der inneren und auf der äußeren Rille auf seiner Kreisbahn?

c) Um wieviel Grad hat sich die LP nach 30 Minuten Spielzeit gedreht?

c) Nach dem Einschalten fährt ein Motor die LP sehr schnell auf die erforderliche Drehgeschwindigkeit hoch. Wir nehmen an, das passiert in 1,5 Sekunden.

- Wie hoch ist die (als konstant anzunehmende) Winkelbeschleunigung? Wieder mit Bogenmaß und Grad!

- Um wieviel Grad hat sich die LP während des Hochfahrens auf die Endgeschwindigkeit gedreht?

Aufgabe 2:

Auch die Erde dreht sich...in 23h56m einmal um ihre Achse. Berechne dazu:

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Angabe mit Bogenmaß und Grad

b) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt auf dem Erdäquator (Erdradius 6371 km)?

c) Welche Geschwindigkeit hat Kassel mit einer geographischen Breite von 51°,5?

d) Mit welcher Geschwindigkeit dreht sich der Nordpol?

e) Durch die Gezeitenreibung nimmt die Rotationsdauer pro Jahrhundert um 0,002 sec ab. Berechne die Bremsbeschleunigung!

P 112: Es dreht sich weiter...alles um die Lösungen

 Ich erläutere jetzt einmal die Lösungen:

Aufgabe 1:

P = 2 sec, d.h. eine Drehung dauert 2 Sekunden, d.h. in einer Sekunde liegt eine halbe Drehung vor: 

f = 1/2 Hz

Aufgabe 2: 

Damit ist klar: Je länger die Umdrehung dauert, desto kleiner ist die Frequenz.

P gibt die Dauer einer Umdrehu7ng an und f, wieviel Umdrehungen in eine Sekunde passen:

P = 3 sec   >>> f =1/3 sec

P = 0, 5 sec >>> f = 2 Hz

Also ist die Frequenz der Kehrwert der Drehungsdauer: 

f = 1/P

Aufgabe 3:

Geschwindigkeit v = Weg/Zeit, der Weg ist hier der Umfang U der Kreisbahn an den jeweiligen Stellen.

Ihr kennt die Formel U = 2*π*r aus der Mittelstufe.

M: r = 0, U = 0, v= 0

C: r = R = 0,1m >>> v = U/P = 0, 314259...m/sec

B: r = 1/2R >>> v = 0,1571 m/sec

A: r = 1/4R >>> v = 0,0785 m/sec

Aufgabe 4:

360° in 2 sec, also sind es 180° pro Sekunde.

Das ist die Winkelgeschwindigkeit ω , die ist für alle Punkte auf der Scheibe  gleich, außer für M, da ist sie 0.

Aufgabe 5:

ω gibt man im Bogenmaß pro Sekunde, also einfach in pro Sekunde, also Hz,  an: 

ω = 2π/P = 2π*f

Die 2π stehen für 360°.

Bei uns ist  ω = π Hz = 3,14 Hz.

Nun gilt (beachte: P = 1/f, d.h. 1/P = f):

 v = 2πr/P = 2πf * r = ω * r 

Also: Von der Winkelgeschwindigkeit ω zur Bahngeschwindigkeit kommt man über den Radius. Da ω  für die ganze Kreisscheibe ja gleich ist, muss die Bahngeschwindigkeit proportional zum Abstand r vom Mittelpunkt sein.

Damit haben wir die wichtigsten Formeln für die Kreisbewegung schon kennengelernt.

Im nächsten Post werden wir das systematisieren.

Vorher noch kurz die Rechenübungen:

Bogenmaß zu den angegebenen Winkeln: 0,79   0,52   0,17   6,98

Winkel zu angegebenem Bogenmaß: 57°   287°    2578°   5730°  (330°).

P 111: Alles dreht sich...

 20. Kreisbewegungen

20.1 Die drehende Kreisscheibe

Zuerst fahren wir einmal gemeinsam Karussell.

Auf unserer sich um M drehenden Kreisscheibe haben wir vier Punkte: M in der Mitte (r=0), dann A bei einem Viertel des Radius R (r=1/4*R), B bei der Hälfte (r = 1/2*R)  und C ganz außen beim Abstand r = R vom Mittelpunkt.

Die ganze Kreisscheibe dreht sich mit der Periodendauer P = 2 sec, d.h. alle 2 Sekunden ist jeder Punkt einmal herum. Das nennt man eine starre Rotation.

Im Vergleich dazu: Planeten um die Sonne rotieren so, dass jeder für sich eine eigene Umlaufszeit hat. Für die Erde ist das 1 Jahr, für den Jupiter z.B. sind das 12 Jahre.

Bei den Kreisbewegungen ist es üblich, auch die Frequenz f anzugeben.

f gibt die Anzahl der Drehungen pro Sekunde an! Die Einheit der Frequenz ist also [f] = 1/sec = Hertz Hz.

Ihr kennt die Angabe Hz vom Wechselstrom. Was das mit Drehungen zu tun hat, werdet ihr noch lernen.

Wir nehmen an, dass unsere Scheibe den Radius R = 0,1 m hat. Die Periodendauer P = 2 sec  hatte ich ja schon erwähnt.

Beantwortet für unsere Scheibe einmal die folgenden Fragen:

1) Mit welcher Frequenz f dreht sich die Scheibe?

2) Könnt ihr einen Zusammenhang zwischen Periodendauer P der Drehung und der Frequenz f herstellen?

- Je mehr desto?

- Sogar eine Formel angeben?

3) Welche Bahngeschwindigkeit v besitzen die Punkte M, A, B und C?

4) Um wieviel Grad pro Sekunde dreht sich der Punkt M, der Punkt A, B oder C?

 Die Gradzahl der Drehung pro Sekunde nennt man auch die Winkelgeschwindigkeit ω.

5) Fällt Dir ein Zusammenhang auf zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Bahngeschwindigkeit v? Kannst Du ihn auch begründen?

Hinweis: Bei Drehbewegungen ist es üblich, Winkel nicht in Grad anzugeben, sondern im Bogenmaß b.

Du kennst das (hoffentlich) aus der Mathematik: 360° entsprechen 2π, 180° entspricht π.

Ihr habt vielleicht auch eine Formel für das Bogenmaß b kennengelernt (sie gilt für den Einheitskreis):

 b/(2π) = φ/360°.

Diese Verhältnisgleichung spricht man so:

Der Bogen b verhält sich zum gesamten Umfang 2π * 1 (des Einheitskreises) wie der Mittelpunktswinkel φ zu 360°: Der Teil zum Ganzen wie der andere Teil zum anderen Ganzen....

Wenn Du die Winkelgeschwindigkeit mit Bogenmaß statt Winkel angibst, erkennst Du vielleicht die Antwort zu 5) leichter.

6) a) Welches Bogenmaß gehört zu 45°, 30°, 10°, 400°?

    b) Welcher Winkel gehört zum Bogenmaß 1, zu 5, zu 45 zu 1000?

Lösungen im nächsten Post.

P 110: Unsichtbar und dennoch da?

 19.6 Dunkle Materie

Wir haben gelernt, dass das Gravitationsgesetz das Verhalten der Materie von cm bis hin zu vielen tausenden von Lichtjahren beschreibt.

Aber es gibt auch Abweichungen. Von denen möchte ich kurz berichten:

Problem 1: Galaxienhaufen sind noch da...

Die Galaxien in Galaxienhaufen schwirren so schnell hin- und her, dass diese Ansammlungen von Galaxien sich schon längst aufgelöst haben müssten. Das hat schon der Schweizer Physiker Fritz Zwicky (1898-1874) im Jahr 1933 erkannt und vermutet, dass die Galaxienhaufen durch riesige Mengen an nicht leuchtender und deshalb unsichtbarer Materie zusammengehalten werden.

Bild Galaxienhaufen (HST/NASA)

Problem 2: Galaxien drehen sich viel zu schnell

So schnell, dass sie sich schon aufgelöst haben müssten...

Man erklärt die hohen Drehgeschwindigkeiten in den Außenbereichen der Galaxien durch Halos (Umgebungen) aus nicht leuchtender und damit unsichtbarer Materie.

Problem 3: Wie so gibt es diese Welt überhaupt?

Beim Urknall gab es winzige Dichteschwankungen, aus denen sich die heutigen Galaxien entwickelt haben müssen. Gäbe es nur die durch das Gravitationsgesetz beschriebene Schwerkraft, wäre der Kosmos immer noch dabei, ganz langsam Verdichtungen aufzubauen, die vielleicht mal in einigen Milliarden Jahren zu Galaxien werden. Galaxien aber gab es schon 500 Millionen Jahre nach dem Urknall.

Bild Dichteschwankungen 400 000 Jahre nach dem Urknall, Stärke 1:100 000 (ESA)

Und das ist heute daraus geworden: Verteilung der Galaxien bis zu 2 Milliarden Lichtjahren Entfernung (SDSS):

Dieses schnelle Wachstum der Galaxien geht nur durch riesige Ansammlungen nicht leuchtender Materie.

Die Lösung: Es gibt etwas, was man nicht sieht....

Alle Probleme lassen sich lösen, in dem man nicht leuchtende Materie annimmt, in die Galaxien und Galaxienhaufen eingebettet sind, und die eine enorme Schwerkraftwirkung ausübt.

Man kann diese drei Probleme auch durch Abänderungen des Gravitationsgesetzes lösen, aber es müssten jeweils andere sein. Dann aber würden Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr verständlich sein.

Deswegen gehen die meisten Forschenden von der Existenz dieser Dunklen Materie DM aus.

Das einzige Problem: Trotz jahrzehntelanger Suche hat man noch keinen direkten Nachweis gefunden.

Die Objekte aus denen DM besteht, erzeugen Schwerkraft, aber sie reagieren sonst fats überhaupt nicht mit anderen Feldern und Strahlungen.

DM muss sechsmal (!) häufiger sein als die normale Materie und sie macht immerhin 25% der gesamten Substanz unseres Kosmos aus. Da die ebenfalls nicht näher bekannte Dunkle Energie etwa 71% der kosmischen Substanz ausmacht, bilden die etwa 300 Milliarden Galaxien aus jeweils 300 Milliarden Sternen mit Billionen von Planeten nur etwa 4% der Substanz des Kosmos.

Wir sehen nur die Spitze eines gigantischen Eisberges!

Bild DESY

Viele Forschenden versuchen die Objekte der DM direkt auf der Erde nachzuweisen:

Das Video habe ich 2015 bei einem Besuch des Experimentes DEAP 3600 im kanadischen Untergrundlabor SNOLAB in 2100 m Tiefe gedreht, es ist ein Ausschnitt eines längeren Dokumentarfilmes. Man glaubte sich kurz vor dem Nachweis der DM...aber es gab dazu seit fast 7 Jahren keine passende Erfolgsmeldung....

Mit dem nächsten Post fangen wir ein weiteres Kapitel der Drehbewegungen an, etwas stärker am Lehrplan orientiert.

P 108: Gravitationskonstante: Ist sie wirklich konstant?

 19.5 Die Gravitationskonstante

Letztlich hat Newton ja "nur" herausgefunden, dass die Schwerkraft proportional zu M*m/r² ist.

Die Proportionalitätskonstante G, die Gravitationskonstante, konnte er nicht angeben, da er seiner eigenen (guten!) Massenschätzung der Erde nicht getraut hat.

Über  100 Jahre später, 1798 war die Messtechnik so verbessert, dass Cavendish eine Gravitationswaage bauen konnte, mit der er die Schwerkraft zwischen Massen direkt messen konnte.

Er wollte eigentlich nur die mittlere Dichte der Erde bestimmen, die Gravitationskonstante war ein By-Produkt.

Die Grundidee: Man hänge zwei Massen (Bleikugeln mit etwa 0,1 kg) an einer Balkenwaage auf, die über einen Torsionsfaden gehalten wird.

Bringt man nun  zwei größere Massen so an, dass sie die kleinen Massen anziehen und den Draht verdrillen, so kann man aus der Drehung das Drehmoment und damit die Gravitationskraft berechnen.

Die geringen Drehbewegungen macht man über einen Spiegel sichtbar, der an dem Faden befestigt ist.

Ein von ihm reflektierter Lichtstrahl vergrößert die Bewegung, man sieht den Lichtfleck auf einer weit entfernten Wand richtig wandern.

Die Auswertung ist nicht einfach, insbesondere wenn man G aus der Periodendauer eine Schwingung bestimmt.

Schüler von mir haben aber folgendes Experiment aufgebaut:

An einem dünnen Stahldraht, der durch sehr langes Hängen mit einer großen Masse entdrillt wurde, haben sie den Versuch nachgebaut. Als Masse haben sie zwei große Tonnen mit Wasser genommen und kleine Kugeln an eine selbstgebaute Balkenvorrichtung gehängt.

Sie konnten wirklich, verstärkt durch einen Lichtzeiger, die Drehbewegung sichtbar machen.

Die Bilder aus wikipedia zeigen schön die Idee und den originalen Versuchsaufbau:

Ein sehr schönes Video hierzu:

Auch auf leifiphysik wird das sehr gut erklärt:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/gravitationsgesetz-und-feld/versuche/gravitationsdrehwaage

Messung der Gravitationskonstante

Lange Zeit war es auf diese Art nur möglich, Gravitation bei großen Massen und größeren Abständen zu bestimmen.

Aber wie verhält sich Gravitation im Abstandsbereich unter einem mm?

Ein ehemaliger Schüler von mir (Jonas Schmöle) hat dazu die Machbarkeitsstudie eines Experimentes entwickelt, das inzwischen auch durchgeführt wurde. Er erhielt 2018 den Hans-  Thirring - Preis der Universität Wien.

Die Durchführung hat dann Prof. Aspelmeyer in Wien gemacht: Er hat mit Massen von 91 mg und Abständen von wenigen mm gearbeitet und damit die Gravitationskonstante bestimmt.

Die Bewegungen fanden im Naometer-Bereich statt, die Kräfte lagen bei einem Billionstel Newton.

Sein Wert lag etwa 9% unter dem bisher angenommenen Wert. Ob das Zufall ist oder ob die Gravitation für kleine Massen und Abstände kleiner wird, das will er mit Messungen im atomaren Bereich herausfinden.

Die Bilder zeigen den Aufbau seiner Apparatur als Skizze und im Original (Universität Wien, nature)

Und zum Schluss noch mal der Literaturwert (für große Massen und Abstände):

G = 6,67 * 10^(-11)  N/kg² * m²

Im nächsten Post erfahren wir, dass das Gravitationsgesetz nicht jedes Verhalten von Massen deuten kann und dass man zu seiner Rettung eine Dunkle Materie erfinden muss....

Übrigens: Es lohnt sich noch mal in das Kapitel 11 zu schauen: "Was ist Masse?"

P 107: Wie weit ist der Mond entfernt?

 19.4.3 Bestimmung der Entfernung  Erde-Mond

Ich möchte zwei grundlegende Methoden kurz vorstellen.

Beginnen wir mit der einfachsten Methode, einer Laufzeitmessung:

- Fliege zum Mond und stelle dort einen großen Spiegel auf.

- Nimm einen schnell gepulsten (warum?) Laserstrahl und lenke ihn über ein Fernrohr auf den Spiegel, der auf dem Mond ist.

- Miss die Zeit zwischen Absenden eines Laserpulses und Registrieren des reflektierten Pulses.

- Multipliziere die Hälfte  (warum?) dieser  Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit und du hast die Entfernung zwischen Fernrohr und Spiegel.

- Aus der so erhaltenen Entfernung kannst Du über den Winkeldurchmesser der Mondscheibe leicht den Durchmesser des Mondes bestimmen und damit ist Dir der Abstand der Mittelpunkte von Erde und Mond bekannt. 

Das wird heute so gemacht. Schon die ersten Astronauten von Apollo11 hatten deshalb 1969 einen großen Spiegel dabei....Man spricht von lunar laser ranging...die Dauer der Laserpulse liegt bei 200 Picosekunden, die Laufzeit des Pulses bis zur Registrierung liegt bei etwa 2,6 Sekunden.

Damit kann man die Mondentfernung auf etwa einen Zentimeter  genau vermessen.

Der mittlere Wert liegt bei 384400 km. Da die Mondbahn eine Ellipse ist, kommt der Mond uns bis zu 356 400 km nahe. Sein größer Abstand liegt bei 406800 km.

Für unsere Mondrechnung arbeiten wir mit dem Mittelwert, da wir ja eine Kreisbahn annehmen.

Die zweite Methode beruht auf der sog. Parallaxe:

Man peilt den Mond aus unterschiedlichen Orten der Erde aus an und bestimmt die Winkelverschiebung gegen den Hintergrund der weit entfernten Sterne.

Ihr könnt die Idee leicht selbst ausprobieren:

Streckt euren Arm aus und peilt einen Finger mal mit dem rechten, mal mit dem linken Auge an. Ihr seht, wie der Finger sich vor dem entfernten Hintergrund verschiebt. Die Verschiebung wird um so größer, je näher ihr den Finger an das Auge holt.

Jede Parallaxenmessung benötigt eine bekannte Basislänge. Bei euch wäre das der Abstand der Augen.

Für die Mondentfernung muss man eine Strecke auf der Erde wählen, dazu muss der Erdradius bekannt sein und die Erde auch vermessen sein.

Die Trigonometrie dazu ist nicht einfach.

Das wird für euch keine Rolle im weiteren Unterricht spielen, deswegen gehen wir nicht näher darauf ein.

Aber in leifiphysik habe ich eine sehr gut vorgerechnete Methode gefunden:

https://www.leifiphysik.de/astronomie/sternbeobachtung/ausblick/mondentfernung-durch-triangulation

Zur Mondentfernung

Das Bild dazu solltet ihr euch auf alle Fälle mal ansehen, dann wird die Methode im Prinzip klar:

Damit haben wir jetzt alle Daten zusammen, die man zur Ausführung der Newtonschen Mondrechnung braucht.

Um aber die Gravitationskraft selbst Ausrechnen zu können, benötigt man die Gravitationskonstante. Wie diese gemessen wir, erkläre ich im nächsten Post.

P106: Wie groß ist die Erde?

 19.4.2 Bestimmung des Erdradius

Wir benötigen den Erdradius für die Bestimmung der Mondentfernung.

Die klassischen Verfahren beruhen auf einer einfachen Beobachtung:

Wenn wir auf der Erdoberfläche längs eines Längengrades immer weiter  nach Norden gehen, sinkt die Sonne am Himmel.

Wenn wir also bei verschiedenen geographischen Breiten, den Unterschied der Mittagshöhen der Sonne messen, so ist dieser gleich dem Breitenunterschied.

Wenn also am Äquator die Sonne im Zenit steht, dann muss sie am Nordpol im Horizont stehen (90° Unterschied).

Die Breitengrade sind auf der Erdoberfläche gedachte parallel Kreislinien, die jeweils 111 km zwischen zwei ganzen Breitengraden Abstand haben.

Durch die Beobachtung der Sonnenhöhe oder die Höhe des Polarsternes bei einer Breitenänderung längs eines Längengrades kann man schnell herausfinden, welche Strecke man auf der Erdoberfläche für eine Änderung von 1° in Breite zurücklegen muss: Es sind 111,3 km.

Nun kann man die Verhältnisgleichung aufstellen:

1°/360° = 111,3 km / (2πR), wobei R der Radius der Erdkugel ist.

Dabei kommt man auf R =6371 km (wenn man genauere Werte benutzt).

Zwei historische Methoden möchte ich ansprechen:

Al-Biruni hat auf einem Berg bekannter Höhe den Winkel zum Horizont am Fuß des Berges gemessen und daraus den Erdradius recht gut bestimmt.

Berühmt geworden ist die Idee von Eratosthenes, 220 Jahre vuZ:

Er hat durch Zufall beobachtet, dass am 21.3. (Frühlingsanfang) sich die Sonne im Brunnenwasser des Brunnens zu Syene spiegelt, sie also genau über ihm stehen muss.

Er wusste von früheren Reisen, dass zu der Zeit ein Obelisk in Alexandria einen Schatten wirft.

Aus der bekannten Höhe des Obelisken konnte er aus der Schattenlänge ausrechnen, dass die Sonne in Alexandria am 21.3. um 7,2° neben dem Zenit steht.

Da Alexandria und Syene auch etwa auf dem gleichen Längengrad liegen (um das zu überprüfen braucht man eine Uhr...), musste der Breitenunterschied beider Städte 7,2° betragen.

Die beiden Städte selbst sind 7000 Stadien (damaliges Längenmaß) voneinander entfernt. 1 Stadion sind etwa 157,5 m.

Berechne mit diesen Angaben den Erdradius (Antwort: 6267 km) und zeige, dass dieser Wert nur 1,6% vom richtigen Wert entfernt liegt.

                  Abbildung Lutz Clausnitzer

Damit hat die Vermessung der Erde begonnen.

Mit einer vermessenen Erde kann man nun die Mondentfernung bestimmen.

P 105: Wie lange ist ein Monat?

 19.4 Wie Newton die notwendigen Daten bekommt

19.4.1 Die Umlaufszeit des Mondes

Zur Berechnung der Bahngeschwindigkeit benötigen wir die Umlaufszeit des Mondes um die Erde.

Wir haben einen Monat etwa danach festgelegt, wie lange es von einem Neumondmond zum nächsten dauert. Das sind rund 29,5 Tage. Man nennt das die synodische Umlaufszeit.

Die wahre Umlaufszeit muss aber auf die Sterne bezogen werden, sie heißt deshalb siderische Periode Psid.

Nach 27,3 Tagen steht der Mond von uns aus betrachtet, wieder genau in Richtung eines bestimmten Sternes.

In dieser Zeit hat sich aber die Erde weiter um die Sonne bewegt. Deshalb muss der Mond noch etwas weiter um die Erde laufen, um wieder in die Neumondstellung zu kommen. Das sind die 2,2 Tage, die bis zur synodischen Periode Psyn fehlen.

                                                   Bild: Universität Wien                     

Mathematik dazu:

360°/Psid = 13,2°/Tag  legt der Mond täglich auf seiner Bahn zurück (in Grad angegeben).

360°/365Tage = 0,99 °/Tag  legt die Erde täglich auf ihrer Bahn um die Sonne zurück, bzw. die Sonne am Himmel.

Die Differenz beider Winkel/Tag muss genau den Winkel ergeben, den der Mond pro Tag relativ zur Sonne am Himmel zurücklegt, das sind 360°/Psyn, also 12,2°/Tag.

Damit erhält man die Formel:

360°/Psyn = 360°/Psid - 360°/365Tage

Wir teilen beide Seiten durch 360° und erhalten:

1/Psyn = 1/Psid - 1/365Tage

Diese Formel kannte Newton und er konnte aus der Zeit zwischen zwei Neumonden (Psyn) die richtige Umlaufszeit des Mondes Psid ausrechnen.

Überprüft das mal! Hier müsst natürlich die synodische Periode in tagen angeben und erhaltet dann die Tage der siderischen Periode.

Physik dazu:

360°/P nennen wir eine Winkelgeschwindigkeit ω, ein gedrehter Winkel pro Zeiteinheit (hier Tag).

Die scheinbare Winkelgeschwindigkeit des Mondes relativ zur Erde (360°/Psyn) ist gleich der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten des Mondes und der Erde auf ihren jeweiligen Bahnen.

Ganz einfach formuliert: Die Geschwindigkeit meines Autos relativ zu einem LKW ist die Differenz meiner Geschwindigkeit relativ zur Straße zur LKW-Geschwindigkeit relativ zur Straße. Daran ändert sich auch nichts, wenn wir alle im Kreis fahren.

Auch so kann man die Formel verstehen.

P104 Er hätte noch besser sein können...

Bitte erst die Aufgaben in P103 lesen und zumindest überdenken! 

Über die Lösungen der Aufgaben kommen wir zum Gravitationsgesetz:

a(R) ist die Fallbeschleunigung eines Körpers im Abstand R vom Erdzentrum, also an der Oberfläche. Den Wert kennen wir, den haben wir schon gemessen: g = 9,81 m/sec²

Wir könnten jetzt übrigens die Geschwindigkeit ausrechnen, mit der ein Körper unmittelbar an der Oberfläche um die Erde kreisen müsste, ohne herunter zu fallen: v² = g*R. Wir würden, wenn wir g und den Erdradius einsetzen v = 7,9 km/sec erhalten, das sind 28460 km/h.

Um die Fallbeschleunigung des Mondes, also seine Zentralbeschleunigung, zu bestimmen, müssen wir erst einmal seine Bahngeschwindigkeit kennen:

v = 2*π*r / P, dabei ist P = 27,3 Tage = 2358720 sec und r = 384000 km.

Wir erhalten v = 1,02 km/sec.

Damit erhalten wir nun die angegebene Zentralbeschleunigung am Ort der Mondbahn: 

a(r) = 0,0027 m/sec².

An der Erdoberfläche ist a(R)=g = 9,81m/sec²

Das Verhältnis a(R)/a(r) ist 33633, das ist ungefähr 60²!

Newton fiel auf, dass der Mond etwa 60 Erdradien vom Mittelpunkt der Erde entfernt ist:

r/R = 60

Damit ist r²/R² = 3600 = a(R)/a(r).

Das können wir umstellen: a(r) = a(R) * R²/r² = g* R² * 1/r²

Die Zentralbeschleunigung nimmt also mit dem Quadrat der Entfernung ab: a(r)~1/r².

Newton hat sinnvollerweise vermutet, dass die Zentralbeschleunigung natürlich proportional zur Masse des anziehenden Körpers ist, hier also zur Masse M der Erde.

Also hat er die folgende Proportionalität aufgestellt:

a(r) ~ M/r².

Durch Einfügen einer Proportionalitätskonstante kann man daraus eine Gleichung machen. Wir nennen die Konstante G, denn es ist die Gravitationskonstante:

a(r) = G*M/r².

Ihr seht übrigens, dass die Masse des fallenden Körpers keine Rolle spielt: Alle Körper fallen gleich schnell. An der Erdoberfläche können wir einen Schlüssel fallen lassen und weit draußen,  bei 384400 km, einen ganzen Mond...oder umgekehrt...

Nun müssen wir noch mit der Masse m des Mondes multiplizieren und erhalten die anziehende Kraft, die diese Zentralbeschleunigung hervorruft ( für die Kraft spielt die Masse des fallenden Körpers eine Rolle, das ist ja an der Erdoberfläche die Gewichtskraft):

F = m*a(r) = G * M * m / r²

Das ist Newtons berühmtes Gravitationsgesetz.

Rechnen konnte er damit nicht, denn er kannte die Gravitationskonstante nicht. Noch heute haben wir keine Theorie, die uns eine Berechnung gestattet.

Hätte Newton die Masse der Erde gekannt, dann hätte er G auch ausrechnen können. Er hätte als Abstand den Erdradius R genommen und als Beschleunigung die Fallbeschleunigung g.

Hätte...ja, er hat sogar!

Aus der Dichte der Gesteine und der Größe der Erde hat er sehr gut die Erdmasse abgeschätzt, sehr dicht am heutigen Wert. Aber er hat dieser Schätzung nie vertraut und damit die große Chance vertan, die Kräfte selbst auszurechnen.

Wie man 100 Jahre später die Gravitationskonstante gemessen hat, erfahren wir bald.

G ist eine winzig kleine Zahl, denn die Gravitation ist die schwächste aller Kräfte:

G = 6,6 * 10^-11 N*m²/kg² 

Das wir trotzdem unser eigenes Gewicht spüren, liegt nicht nur an unserem dicken Bauch, sondern an der gewaltigen Masse der Erde: Es braucht schon einen ganzen Planeten, damit wir etwas wiegen...

Wir kennen G auch nur für große Massen und große Abstände. Erst vor einem Jahr ist G im Bereich von mm-Abständen gemessen worden. Und da wir nicht wollen, dass das Gravitationsgesetz bei kosmischen Abständen seine Gültigkeit verliert, haben wir die Dunkle Materie erfunden.

Auch darüber bald mehr...

Wie geht es weiter?

Wir haben jetzt das Gravitationsgesetz gefunden, so ganz nebenbei wichtige Informationen über Kreisbewegungen erfahren.

Noch aber haben wir nicht besprochen, wie man die notwendigen Hilfsgrössen Erdradius, Mondumlaufszeit und Mondentfernung  bestimmt. Die kannte ja Newton schon, sonst hätte er nicht das Verhältnis der Zentralbeschleunigungen bilden können.

Dazu solltet ihr ja recherchieren...

Wir behandeln das in den nächsten Posts.

Abschließend geht es dann an die Messung der Gravitationskonstanten. Und zum Schluss erfahren wir etwas über die Dunkle Materie.

P103: Der große Wurf

 Wir haben im letzten Post gelernt, wie man durch eine geschickte Zerlegung der Kreisbahn des Mondes eine Formel für die Zentralbeschleunigung a(r)  herleiten kann. Mit dieser Beschleunigung, wir nehmen an, dass sie vom Abstand r abhängt, fällt der Mond ständig auf die Erde zu. Da er aber eine zusätzliche gleichförmige Tangentialbewegung ausführt, fällt er auf einer Kreisbahn and er Erde vorbei.

Hier nochmal die Formeln:

Zentralbeschleunigung a(r) = v²/r

Zentralkraft F(r) = m*a = m*v²/r

F(r) ist die Kraft, mit der die Erde den Mond mit der Masse m anzieht.

In den nächsten Posts werden wir lernen, wie Newton die notwendigen Daten erhalten hat. Ihr solltet dazu ja mal eine Recherche beginnen.

Ich denke, es ist aber einfacher für euch, wenn wir jetzt diese Daten einfach nachschlagen und Newtons weiteren Weg aufzeigen.

Danach werden wir dann lernen, wie man die notwendigen Daten des Mondes erhalten kann.

19.3 Newton findet das Gravitationsgesetz

Ich möchte Dich Schritt für Schritt anleiten, einmal Newtons Weg selbst zu finden:

Aufgabe 1:

Erläutere die Formel: a(R) = g, wobei R der Erdradius ist.

Aufgabe 2:

Um die Fallbeschleunigung a(r), also die Zentralbeschleunigung (denn der Mond fällt ja auf das Zentrum seiner Bahn zu) berechnen zu können, benötigen wir die Bahngeschwindigkeit v und den Mondabstand r.

Mondabstand r= 384400 km

Umlaufszeit: P = 27,3 Tage

Da wir ja eine Kreisbahn annehmen, kannst Du jetzt die Bahngeschwindigkeit ausrechnen.

Berechne damit die Bahngeschwindigkeit v.

Übrigens: Wundere Dich nicht über die Umlaufszeit des Mondes von 27 Tagen. Das ist weniger als die Zeit zwischen zwei Vollmonden von 29,5 Tagen. Diesen Unterschied kannte Newton, wir werden ihn in einem Extrapost besprechen.

Aufgabe 3:

Nun kannst Du die Fallbeschleunigung des Mondes ausrechnen.

Es sollte herauskommen: a(r) = 0,0027 m/sec².

Aufgabe 4:

Vergleiche diesen Wert mit g = 9.81 m/sec², der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche.

Warum darfst Du diesen Vergleich machen? Mir fällt doch höchstens mein Schlüssel aus der Hand, aber nicht der Mond...?

Vielleicht hilft Dir der Radius der Erde weiter: R = 6371 km.

                                                       Kronberggynasium Aschaffenburg

Aufgabe 5:

Fällt Dir was auf?

Kannst Du eine Aussage darüber treffen, wie die Gravitationskraft der Erde mit wachsendem Abstand r vom Erdzentrum sich verändert?

Wenn ja, dann bist Du kurz davor, das Gravitationsgesetz hinzuschreiben. Du brauchst nur noch etwas Mut...

Über all das sprechen wir im nächsten Post...aber versuchs doch mal selbst.

P102: Nun fällt uns auch noch der Mond auf den Kopf...

 Klären wir erst einmal einige der Fragen:

Eine wirklich geniale Leistung von Newton war, dass er annahm, auch der Mond wird von der Erde angezogen und muss deshalb auf die Erde zufallen.

Vor Newton gab es eine deutliche Trennung zwischen Erde und Himmel: Auf der Erde war der Mensch zuständig, und auch Naturwissenschaftler durften etwas über das sagen, was auf der Erde passiert.

Für den Himmel aber war ein Gott zuständig. Der konnte machen was er (oder sie?) wollte.

Und nun behauptet Newton doch tatsächlich was anderes: Auch im Himmel gelten die Gesetze der Erde, die die der Mensch dort findet. Der Himmel ist nichts besonderes mehr, die himmlische Welt unterliegt irdischen Regeln.

Also, auch der Mond fällt runter.

Warum trifft er nicht? Ganz einfach, weil er ständig vorbeifällt....

Der Mond hat bei seiner Entstehung eine Geschwindigkeit v bekommen, die ihn so von der Erde wegführt, dass er durch die Fallbewegung immer wieder auf seine Bahn zurückfällt.

We groß diese Mond-Fallbeschleunigung a ist, das müssen wir ausrechnen. Auch kennen wir keine Regel für die Bestimmung der "Ausgleichsgeschwindigkeit" v. Die müssen wir am Mond messen.

Und wenn wir dann damit herausfinden, wie die Fallbewegung des Mondes schwächer würde, wenn er weiter weg wäre, dann haben wir das Gravitationsgesetz gefunden.

Das ist  noch ein langer Weg...

19.2 Stufenweise zur Zentralbeschleunigung

Ich skizziere einmal Newtons Idee:

Wir sehen die Kreisbahn des Mondes mit dem Radus r  (ja, wir wissen er hat eine Ellipsenbahn, aber diese Vereinfache soll uns helfen, die Idee zu verstehen!).

Wir zerlegen die Kreisbewegung (das dürfen wir ja nach dem Unabhängigkeitsprinzip):

In einem sehr kurzen Zeitraum führt er eine gleichförmige tangentiale Bewegung aus (rot) und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (grün).

Da die Tangente rechtwinklig auf dem Radius steht, dürfen wir den Satz des Pythagoras anwenden

 (a² + b² = c²) und lassen nun alles weg, was so klein ist das es nicht stört (für Nerds: Wir führen einen Grenzübergang durch) und schon sind wir beim gewünschten Ergebnis.

Macht das erst einmal selbst...bevor ihr weiterlest.

Was sagt uns diese Formel aus?

Wir werden a bald Zentralbeschleunigung kennen und F = m*a = m*v²/r die Zentralkraft.

Solche Kräfte spielen in der Q-Phase bei Bewegungen in elektrischen und magnetischen Feldern eine große Rolle.

So, jetzt seit ihr dran...

Wir wollen a berechnen. Heute ist das kein Problem...man googelt die nötigen Werte nach.

Macht das erst einmal.

Aber Newton hatte kein Google der musste die Werte für v und r anders herausbekommen. Vielleicht findet ihr dazu ja bei Google auch Angaben oder Hinweise.

P101: Der Apfel fällt nicht weit vom Stamm

 Teil 4: Alles dreht sich

Ein wichtiger Teil der Mechanik sind Drehbewegungen oder Eigendrehungen von Gegenständen. Die Begriffe hat man sogar in die Atomphysik übernommen und spricht vom Spin der Elektronen, obwohl sich da überhaupt nichts dreht...

Aber der Spin der Elektronen sorgt dafür, dass eure Zettel mit kleinen Magneten am Kühlschrank haften. Er ist die Ursache der Magnetfelder von Permanentmagneten.

Endlich mal eine alltagsrelevante Anwendung...

19. Das Gravitationsgesetz

In diesem Kapitel wollen wir einen Weg kennenlernen, mit dem Newton sein Gravitationsgesetz gefunden haben könnte.

Dass er das wirklich so gemacht hat, wird bezweifelt....die Geschichte vom inspirierenden Apfelfall ist wohl nur eine Anekdote. Aber sie wird uns inspirieren.

Übrigens hat Newton diese Anekdote am 15.4.1726, ein Jahr vor seinem
Tod 1727, seinem Biographen William Stukely selbst erzählt. 

                                             Bild: WDR

Dass eine Gravitationskraft eine Kreisbahn hervorrufen kann (und deshalb steht dieses Kapitel am Anfang von Teil 4: Alles dreht sich), hat Newton eher militärisch gefunden: Was passiert, wenn man eine Kanone immer stärker macht, so dass die Kugel mit immer größerer Geschwindigkeit fortfliegt?

Vielleicht ist  auch das nur eine Anekdote. Es scheint aber sicher zu sein, dass Newton sein Gravitationsgesetz aus den schon vor ihm bekannten Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung herleiten konnte.

Wir gehen einen etwas anderen Weg und werden dann umgekehrt  zeigen, wie wir die Keplerschen Gesetze aus dem Gravitationsgesetz gewinnen können.

Auf unserem Weg werden wir aber auch, so wie Newton damals, die notwendigen Monddaten benötigen.

Wir werden lernen, wie man Abstand, Umlaufszeit und Bahngeschwindigkeit des Mondes erhält.

Zusammen mit Informationen zur Bestimmung der Gravitationskonstanten und einem Ausblick auf moderne Erkenntnisse (Gravitation bei kleinen Abständen, Dunkle Materie) werden wir uns mit einer ganz wichtigen Anwendung beschäftigen: Newtons Gesetz ist eine der ganz wenigen Möglichkeiten Massen von Sternen und Schwarzen Löchern zu bestimmen.

Dieses Kapitel zeigt die Anstrengungen von Menschen über 2500 Jahre hinweg...an dessen Ende die Massenbestimmung des Schwarzen Loches in unserer Galaxis steht.

An Newtons Mondrechnung (so nennt man dieses Vorgehen) erfahren wir 2500 Jahre Wissenschaftsgeschichte.

Viele der Themen hier stehen nicht unmittelbar im Zusammenhang mit Abiturprüfungen.

Obwohl, es gab mal eine Aufgabe, die an die Newtonsche Mondrechnung angelehnt war.

Aber alles, was wir hier lernen, wird in ähnlicher Form bei Bewegungen von Ladungen in elektrischen und magnetischen Feldern und in der Atomphysik benötigt.

19.1 Die Geschichte vom fallenden Apfel

Es ist Abend im Sommer 1665. Der damals 22-jährige  Newton entspannt sich, mit dem Rücken an den Stamm eines Apfelbaumes gelehnt. Da fällt ihm ein Apfel auf den Kopf....Autsch... ganz schön wirkungsvoll diese g = 9,81 m/sec².

Und der Apfel fällt immer runter, nie zur Seite oder gar nach oben. Er muss also von der Erde angezogen werden.

Alle Massen fallen gleich schnell...das wusste Newton schon vom Galilei...Und der Mond, der so schön auf diese Szene leuchtet? Wird er nicht auch von der Erde angezogen?

Müsste er nicht auch mit g = 9,81 m/sec² auf die Erde fallen?

Zwei Fragen tauchen erst einmal auf: Offensichtlich fällt der Mond so nicht auf die Erde...was macht er aber dann?

Und wenn die  Schwerkraft der Erde auch den den Mond anzieht, ist sie  dann genau so groß wie hier auf ihrer  Oberfläche?

Ganz offensichtloch tauchen insgesamt die  folgende Fragen auf:

- Fällt auch der Mond auf die Erde?

- Wenn ja, warum trifft er nie?

- Wenn ja, mit  welcher Beschleunigung fällt der Mond?

- Wie ändert sich die Fallbeschleunigung mit dem Abstand?

Fallen euch noch weitere Fragen ein?

Versucht einmal eigene Antworten zu geben, natürlich noch ohne Formeln. Aber vielleicht habt ihr schon zumindest qualitativ Vorstellungen.